Probabilités & Statistiques
Variables aléatoires, espérance, variance — puis statistiques (révision et approfondissement du programme de Première A). Seconde partie du programme de Terminale Série A.
Probabilités
VII.1 — Rappels : probabilité et équiprobabilité
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont on ne peut pas prévoir à l'avance l'issue. L'ensemble de toutes les issues possibles est l'univers, noté \(\Omega\). Un événement est n'importe quel sous-ensemble de \(\Omega\) ; l'événement certain est \(\Omega\) lui-même, et l'événement impossible est l'ensemble vide \(\emptyset\).
Une probabilité est une fonction \(P\) qui associe à chaque événement \(A \subseteq \Omega\) un réel \(P(A) \in [0\,;1]\), vérifiant : \(P(\Omega)=1\), et pour deux événements incompatibles \(A\) et \(B\) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Pour tous événements \(A\) et \(B\) d'un univers fini :
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \]La première formule est dite de l'événement contraire : elle est souvent plus rapide que calculer \(P(A)\) directement quand \(A\) est compliqué.
Lorsque toutes les issues de \(\Omega\) sont également probables (situation dite d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement se calcule par un simple comptage :
\[ P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre total d'issues de }\Omega}. \]Avant toute chose, vérifier que le contexte garantit l'équiprobabilité : dé non pipé, tirage au sort, urne dont on mélange les boules… Si ce n'est pas précisé, les probabilités sont données explicitement dans l'énoncé et l'on travaille directement avec elles.
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair.
L'univers est \(\Omega = \{1,2,3,4,5\}\), avec \(|\Omega|=5\) issues équiprobables. L'événement « obtenir un nombre pair » est \(A=\{2,4\}\), d'où \(|A|=2\). On obtient :
\[P(A) = \frac{2}{5}.\]On lance un dé équilibré. Soit \(A\) = « obtenir un multiple de 2 » et \(B\) = « obtenir un multiple de 3 ». Calculer \(P(A \cup B)\).
\(A = \{2,4,6\}\), \(P(A)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\) ; \(B = \{3,6\}\), \(P(B)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}\) ; \(A \cap B = \{6\}\), \(P(A \cap B)=\tfrac{1}{6}\). Donc :
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne pratique aucun sport ?
Soit \(A\) = « pratiquer un sport ». \(P(A) = \tfrac{18}{30} = \tfrac{3}{5}\). Alors :
\[P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.\]Ce calcul par l'événement contraire est ici plus direct que compter les non-sportifs (même si \(30-18=12\) donne le même résultat).
Oublier de soustraire \(P(A \cap B)\) dans la formule de réunion est une erreur classique. On compte alors deux fois les issues qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)), alors \(P(A \cap B) = 0\) et la formule se simplifie, mais ce cas particulier doit être justifié.
Diagramme de Venn interactif — Opérations sur les événements
\(B\)
\(A \cap B\)
VII.2 — Opérations sur les événements
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si leur réalisation simultanée est impossible, c'est-à-dire si \(A \cap B = \emptyset\). Dans ce cas, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), est l'événement « \(A\) ne se réalise pas ». On a toujours \(A\) et \(\bar{A}\) incompatibles, et \(A \cup \bar{A} = \Omega\), d'où \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
| Opération | Notation | Interprétation | Formule probabiliste |
|---|---|---|---|
| Intersection | \(A \cap B\) | \(A\) et \(B\) | Dépend de la situation (cf. probabilités conditionnelles) |
| Réunion | \(A \cup B\) | \(A\) ou \(B\) (ou les deux) | \(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) |
| Contraire | \(\bar{A}\) | Ni \(A\) | \(1 - P(A)\) |
| Incompatibles | \(A \cap B = \emptyset\) | \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble | \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)\) |
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes ordinaires. Soit \(C\) = « obtenir un cœur » et \(R\) = « obtenir un roi ». Calculer \(P(C \cup R)\).
\(P(C) = \tfrac{13}{52} = \tfrac{1}{4}\) ; \(P(R) = \tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13}\) ; l'intersection \(C \cap R\) = « le roi de cœur » : \(P(C \cap R) = \tfrac{1}{52}\).
\[ P(C \cup R) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0{,}308. \]Dès que l'énoncé contient les mots « au moins un », « au moins une fois » ou « aucun », penser immédiatement à l'événement contraire. Calculer \(P(\text{aucun}) = 1 - P(\text{au moins un})\) est presque toujours plus simple que la méthode directe.
VII.3 — Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire \(X\) définie sur \(\Omega\) est une fonction qui associe un réel à chaque issue de \(\Omega\). On dit que \(X\) est discrète lorsqu'elle ne prend qu'un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs \(x_1 < x_2 < \cdots < x_n\).
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée, pour chaque valeur \(x_i\), de la probabilité \(p_i = P(X = x_i)\). Elle se présente sous forme d'un tableau, et la somme de toutes les probabilités vaut nécessairement 1 :
\[ \sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1. \]Pour dresser la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\), on suit systématiquement les étapes suivantes : (1) lister toutes les valeurs distinctes que peut prendre \(X\) ; (2) pour chaque valeur \(x_i\), identifier l'événement \(\{X = x_i\}\) en termes d'issues de \(\Omega\) ; (3) calculer sa probabilité ; (4) vérifier que la somme des \(p_i\) est bien égale à 1.
On lance un dé équilibré à 6 faces. On définit le gain \(X\) (en francs) par : \(X = 100\) si le résultat est 6 ; \(X = 20\) si le résultat est 2 ou 4 ; \(X = 0\) dans tous les autres cas (1, 3 ou 5).
| \(x_i\) | 0 | 20 | 100 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
Vérification : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\). ✓
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire 2 boules simultanément. Soit \(X\) le nombre de boules rouges obtenues.
Le nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 5 est \(\binom{5}{2} = 10\). Les valeurs possibles de \(X\) sont 0, 1 et 2.
- \(P(X=0)\) : choisir 2 noires parmi 2 : \(\binom{2}{2}=1\), soit \(\tfrac{1}{10}\).
- \(P(X=1)\) : choisir 1 rouge parmi 3 et 1 noire parmi 2 : \(\binom{3}{1}\binom{2}{1}=6\), soit \(\tfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}\).
- \(P(X=2)\) : choisir 2 rouges parmi 3 : \(\binom{3}{2}=3\), soit \(\tfrac{3}{10}\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{1}{10}\) | \(\dfrac{3}{5}\) | \(\dfrac{3}{10}\) |
Vérification : \(\tfrac{1}{10}+\tfrac{6}{10}+\tfrac{3}{10}=1\). ✓
Attention à ne pas confondre les valeurs prises par \(X\) (qui peuvent être très grandes, comme 100 F ou 10 000 F) avec les probabilités correspondantes (qui sont toujours dans \([0\,;1]\)). Le tableau de la loi doit toujours avoir deux lignes clairement distinctes.
Histogramme de la loi de probabilité — Jeu de dé modifiable
VII.4 — Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire \(X\) est la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[F(x) = P(X \le x).\]C'est une fonction en escalier, croissante au sens large, qui vaut 0 avant la plus petite valeur de \(X\) et vaut 1 à partir de la plus grande. À chaque valeur \(x_i\), elle fait un saut d'amplitude \(p_i = P(X = x_i)\).
La fonction de répartition permet de calculer directement des probabilités d'intervalles :
\[ P(X \le b) = F(b) \qquad P(X > a) = 1 - F(a) \qquad P(a < X \le b) = F(b) - F(a). \]Attention : la convention habituelle est \(F(x) = P(X \le x)\), qui inclut la valeur \(x\). Ainsi \(P(X < x) = F(x) - P(X = x)\) (différent de \(F(x)\) si \(X\) prend la valeur \(x\) avec une probabilité non nulle).
Pour construire le graphe de \(F\) : (1) écrire les valeurs \(x_i\) dans l'ordre croissant ; (2) calculer les paliers de \(F\) en cumulant les probabilités de gauche à droite (\(F(x_i) = p_1 + p_2 + \cdots + p_i\)) ; (3) tracer des segments horizontaux avec un point plein à gauche et un cercle vide à droite (convention de continuité à droite).
Pour \(X\) définie par \(P(X=0)=\tfrac{1}{2}\), \(P(X=20)=\tfrac{1}{3}\), \(P(X=100)=\tfrac{1}{6}\), la fonction de répartition est :
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\[4pt] \dfrac{1}{2} & \text{si } 0 \le x < 20, \\[6pt] \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} & \text{si } 20 \le x < 100, \\[6pt] 1 & \text{si } x \ge 100. \end{cases} \]Par exemple : \(P(X \le 50) = F(50) = \tfrac{5}{6}\) (on tient compte des cas \(X=0\) et \(X=20\)) ; \(P(X > 20) = 1 - F(20) + P(X=20)\) … attention ici à la convention ! Comme \(F(20) = P(X \le 20) = \tfrac{5}{6}\), on obtient \(P(X > 20) = 1 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}\).
Fonction de répartition — Loi de X interactive
Curseur \(t\)
VII.5 — Espérance, variance, écart-type
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \((x_i, p_i)\). On définit :
\[ E(X) = \sum_{i} x_i\,p_i \qquad V(X) = \sum_{i} p_i\,x_i^{2} - \bigl[E(X)\bigr]^{2} \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}. \]L'espérance \(E(X)\) est la moyenne théorique : c'est la valeur que l'on obtiendrait en moyenne sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience. La variance \(V(X)\) mesure l'écart quadratique moyen aux valeurs de \(X\) par rapport à leur espérance. L' écart-type \(\sigma(X)\) est l'écart-type, exprimé dans la même unité que \(X\), et quantifie la dispersion des valeurs autour de \(E(X)\).
La formule \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) est équivalente à la définition. En pratique, on calcule d'abord \(E(X)\), puis \(E(X^2) = \sum p_i x_i^2\), et on soustrait le carré de l'espérance.
Étape 1 : dresser le tableau de la loi \((x_i, p_i)\). Étape 2 : calculer \(E(X) = \sum x_i p_i\) (chaque valeur multipliée par sa probabilité, puis on somme). Étape 3 : calculer \(E(X^2) = \sum x_i^2 p_i\) de la même façon. Étape 4 : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). Étape 5 : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\) (souvent laissé sous forme approchée).
Pour \(X\) avec \(P(X=0)=\tfrac{1}{2}\), \(P(X=20)=\tfrac{1}{3}\), \(P(X=100)=\tfrac{1}{6}\) :
\[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 20 \cdot \frac{1}{3} + 100 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{20}{3} + \frac{100}{6} = \frac{40}{6} + \frac{100}{6} = \frac{140}{6} \approx 23{,}33 \text{ F}. \] \[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 400 \cdot \frac{1}{3} + 10000 \cdot \frac{1}{6} = \frac{800}{6} + \frac{10000}{6} = \frac{10800}{6} = 1800. \] \[ V(X) = 1800 - \left(\frac{140}{6}\right)^{\!2} = 1800 - \frac{19600}{36} \approx 1800 - 544{,}44 \approx 1255{,}56. \qquad \sigma(X) \approx 35{,}43 \text{ F}. \]L'espérance indique qu'un joueur gagne en moyenne environ 23,33 F par partie, mais l'écart-type de 35,43 F montre que les résultats sont très dispersés autour de cette moyenne.
Reprenons \(X\) = nombre de boules rouges tirées (2 boules parmi 5 = 3R+2N) : \(P(X=0)=\tfrac{1}{10}\), \(P(X=1)=\tfrac{3}{5}\), \(P(X=2)=\tfrac{3}{10}\).
\[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2. \] \[ E(X^2) = 0 + 1 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = 1{,}8. \] \[ V(X) = 1{,}8 - (1{,}2)^2 = 1{,}8 - 1{,}44 = 0{,}36. \qquad \sigma(X) = 0{,}6. \]On retrouve ici que l'espérance 1,2 coïncide avec le résultat intuitif : dans une urne de 5 boules dont \(\tfrac{3}{5}\) sont rouges, en tirant 2, on en espère \(2 \times \tfrac{3}{5} = 1{,}2\) de rouges.
La variance est toujours positive ou nulle (nulle uniquement si \(X\) est constante). Si l'on obtient un résultat négatif, c'est qu'une erreur de calcul s'est glissée, le plus souvent dans le calcul de \(E(X)^2\) ou dans la somme des \(p_i x_i^2\).
Un jeu est dit équitable lorsque \(E(X) = 0\) (le gain moyen est nul). Si le prix de participation est \(c\) francs et que le gain brut est \(G\), le gain net est \(X = G - c\) ; le jeu est équitable si \(E(G) = c\). C'est une question classique de Bac.
Espérance et écart-type — Visualisation dynamique
VII — Exercice type Bac
Énoncé. Une cible circulaire est divisée en trois zones concentriques. La probabilité d'atteindre la zone centrale (rouge) est \(\tfrac{1}{5}\), celle d'atteindre la zone intermédiaire (bleue) est \(\tfrac{2}{5}\), et celle d'atteindre la zone extérieure (blanche) est \(\tfrac{2}{5}\). Un joueur lance une fléchette et reçoit 150 F s'il touche le rouge, 50 F s'il touche le bleu, et 0 F s'il touche le blanc. Le coût de participation est de 40 F.
Soit \(G\) le gain brut (avant soustraction du coût) et \(X = G - 40\) le gain net du joueur.
Question 1 — Loi de probabilité de G.
Les valeurs de \(G\) sont directement données par les gains de chaque zone. La loi de \(G\) est donc :
| \(g_i\) | 0 | 50 | 150 |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
Vérification : \(\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{5} = 1\). ✓
Question 2 — Espérance de G.
En moyenne, le joueur gagne brut 50 F par partie.
Question 3 — Loi de X et espérance de X.
Le gain net est \(X = G - 40\). On en déduit les valeurs de \(X\) : \(X = 0 - 40 = -40\) si blanc ; \(X = 50 - 40 = 10\) si bleu ; \(X = 150 - 40 = 110\) si rouge.
| \(x_i\) | \(-40\) | 10 | 110 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
On calcule alors :
\[ E(X) = (-40) \cdot \frac{2}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} + 110 \cdot \frac{1}{5} = \frac{-80+20+110}{5} = \frac{50}{5} = 10 \text{ F}. \]Remarque : on pouvait aussi utiliser la linéarité de l'espérance : \(E(X) = E(G) - 40 = 50 - 40 = 10\) F. Les deux méthodes s'accordent.
Question 4 — Le jeu est-il favorable au joueur ?
Un jeu est favorable au joueur si \(E(X) > 0\). Ici \(E(X) = 10 > 0\) : le jeu est favorable au joueur — en moyenne, il gagne 10 F par partie. Ce n'est pas un jeu équitable (\(E(X) \ne 0\)).
Question 5 — Variance et écart-type du gain net.
L'écart-type de 54,77 F est bien supérieur à l'espérance de 10 F : les résultats sont très dispersés, ce qui traduit une forte part d'aléatoire dans ce jeu.
\(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) — valable uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Tableau \((x_i, p_i)\) avec \(\sum p_i = 1\). Toujours vérifier la somme des probabilités.
\(F(x) = P(X \le x)\) — fonction en escalier croissante de 0 à 1, paliers cumulés de gauche à droite.
\(E(X) = \sum x_i p_i\). \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Si \(X\) est le gain net : jeu équitable \(\Leftrightarrow\) \(E(X)=0\). Favorable au joueur \(\Leftrightarrow\) \(E(X)>0\).
Statistiques
VIII.1 — Vocabulaire et représentations
On appelle série statistique à une variable la donnée d'un ensemble de valeurs \(x_1 < x_2 < \cdots < x_p\) d'un caractère numérique, chacune étant associée à un effectif \(n_i\) représentant le nombre d'individus de la population qui présentent cette valeur. L'effectif total de la série est \(N = \displaystyle\sum_{i=1}^{p} n_i\).
La fréquence de la valeur \(x_i\) est \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\). On vérifie toujours que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p} f_i = 1\). L'effectif cumulé croissant \(N_i\) est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à \(x_i\) : \(N_i = n_1 + n_2 + \cdots + n_i\).
Le mode d'une série statistique est la valeur (ou les valeurs) dont l'effectif est le plus grand. Il existe une seule valeur modale si un effectif est strictement plus grand que tous les autres ; on parle de série bimodale si deux valeurs partagent le même effectif maximal.
Vingt élèves ont obtenu les notes suivantes à un contrôle :
| \(x_i\) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 |
| \(N_i\) | 3 | 8 | 14 | 18 | 20 |
| \(f_i\) | 0,15 | 0,25 | 0,30 | 0,20 | 0,10 |
Le mode est \(12\) (effectif le plus élevé : \(n_3 = 6\)). La somme des fréquences vaut bien \(0{,}15+0{,}25+0{,}30+0{,}20+0{,}10 = 1\).
Figure 1 — Diagramme en bâtons : effectifs de la série de notes
Mode
Le diagramme en bâtons convient aux séries à valeurs discrètes isolées. Pour des données groupées en classes (caractère continu), on utilise un histogramme : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence divisée par l'amplitude de la classe, de sorte que l'aire totale des rectangles vaut 1.
Confondre effectif cumulé et effectif simple est l'une des erreurs les plus fréquentes. Rappel : \(N_i\) est la somme de tous les effectifs jusqu'à \(x_i\), et non seulement \(n_i\). Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, \(N_3 = 3+5+6 = 14\) et non \(6\).
VIII.2 — Paramètres de position
La moyenne arithmétique d'une série à effectifs est le quotient de la somme des produits \(n_i x_i\) par l'effectif total \(N\) :
\[ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i = \sum_{i=1}^{p} f_i x_i. \]La médiane \(M_e\) est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. On la détermine à partir des effectifs cumulés croissants :
- si \(N\) est impair, \(M_e\) est la valeur occupant le rang \(\dfrac{N+1}{2}\) ;
- si \(N\) est pair, \(M_e\) est la moyenne des valeurs aux rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).
Étape 1. Dresser le tableau des \(n_i x_i\) et calculer \(\sum n_i x_i\), puis diviser par \(N\).
Étape 2. Calculer les effectifs cumulés \(N_i\). Trouver le rang médian \(r = \frac{N}{2}\) (ou \(\frac{N+1}{2}\) si \(N\) impair).
Étape 3. Repérer la première valeur \(x_i\) telle que \(N_i \geq r\) : c'est la médiane (si \(N\) impair), ou l'une des deux valeurs à moyenner (si \(N\) pair).
Moyenne :
\[ \bar{x} = \frac{3\times8 + 5\times10 + 6\times12 + 4\times14 + 2\times16}{20} = \frac{24+50+72+56+32}{20} = \frac{234}{20} = 11{,}7. \]Médiane : \(N = 20\) est pair, on cherche la moyenne des valeurs aux rangs 10 et 11. D'après les effectifs cumulés (\(3, 8, 14, \ldots\)), les rangs 9 à 14 correspondent à la valeur \(x_3 = 12\). Les rangs 10 et 11 sont donc tous deux dans ce groupe. La médiane est \(M_e = 12\).
| \(x_i\) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 1 | 3 | 2 | 1 |
| \(N_i\) | 1 | 4 | 6 | 7 |
\(N = 7\) (impair) ; rang médian \(= \frac{7+1}{2} = 4\). \(N_2 = 4 \geq 4\) et \(N_1 = 1 < 4\), donc la médiane est \(x_2 = 4\).
\[ \bar{x} = \frac{1\times2 + 3\times4 + 2\times6 + 1\times8}{7} = \frac{2+12+12+8}{7} = \frac{34}{7} \approx 4{,}86. \]Figure 2 — Effet d'une valeur extrême sur la moyenne et la médiane
Médiane \(M_e\)
Bâtons (effectifs)
La figure ci-dessus illustre une propriété fondamentale : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, tandis que la médiane y est robuste. En pratique, pour caractériser un salaire typique ou un prix médian, on préfère souvent la médiane précisément parce qu'une valeur atypique très élevée (ou très basse) la fait peu varier.
Si \(N\) est pair et que les deux valeurs centrales sont distinctes, la médiane est leur moyenne : elle peut donc prendre une valeur qui n'appartient pas à la série. Par exemple, avec les rangs centraux donnant \(10\) et \(12\), la médiane est \(11\), valeur absente du tableau. Ce n'est pas une erreur.
VIII.3 — Paramètres de dispersion
L'étendue d'une série est la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale : \(e = x_{\max} - x_{\min}\). C'est le plus simple des indicateurs de dispersion, mais aussi le plus sensible aux valeurs extrêmes.
La variance \(V\) mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\[ V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i^2 - \bar{x}^2. \]L'écart-type est la racine carrée de la variance : \(\sigma = \sqrt{V}\). Il est exprimé dans la même unité que les données. Plus \(\sigma\) est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne ; la série est dite homogène.
La deuxième expression de la variance (dite formule de König-Huygens) est celle qu'on utilise en pratique car elle évite de calculer les \((x_i - \bar{x})^2\) un par un :
\[ V = \underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i} n_i x_i^2}_{\text{moyenne des }x_i^2} - \underbrace{\bar{x}^2}_{\text{carré de la moyenne}}. \]Étape 1. Calculer \(\bar{x}\).
Étape 2. Dresser le tableau des \(n_i x_i^2\) et calculer \(\displaystyle\sum n_i x_i^2\), puis diviser par \(N\) pour obtenir la moyenne des carrés.
Étape 3. Soustraire \(\bar{x}^2\) : \(V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2\).
Étape 4. \(\sigma = \sqrt{V}\) (toujours positif ou nul).
| \(x_i\) | \(n_i\) | \(n_i x_i\) | \(x_i^2\) | \(n_i x_i^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 3 | 24 | 64 | 192 |
| 10 | 5 | 50 | 100 | 500 |
| 12 | 6 | 72 | 144 | 864 |
| 14 | 4 | 56 | 196 | 784 |
| 16 | 2 | 32 | 256 | 512 |
| Total | 20 | 234 | 2852 |
L'étendue est \(e = 16 - 8 = 8\). Avec un écart-type d'environ \(2{,}39\), la série est assez homogène par rapport à la plage de valeurs possibles.
Considérons deux séries A et B, toutes deux de moyenne \(\bar{x} = 10\) :
| Valeurs | Effectifs | \(\sigma\) | |
|---|---|---|---|
| Série A | 8, 10, 12 | 5, 10, 5 | 1,41 |
| Série B | 4, 10, 16 | 5, 10, 5 | 4,24 |
Les deux séries ont la même moyenne, mais des dispersions très différentes. La série A est bien plus homogène que la série B, ce que reflète un écart-type trois fois plus petit.
Figure 3 — Dispersion autour de la moyenne : effet de l'écart-type
Moyenne \(\bar x\)
\(\bar x \pm \sigma\)
La variance \(V\) s'exprime en unités au carré (par exemple en points² si les données sont des notes). L'écart-type \(\sigma = \sqrt{V}\) est en revanche homogène aux données et donc directement interprétable. On ne compare jamais deux séries via leur variance si les données sont dans des unités différentes.
La variance est toujours positive ou nulle. Si votre calcul donne une valeur négative, vous avez commis une erreur — le plus souvent en calculant \(\bar{x}^2\) plutôt que \((\bar{x})^2\), ou en vous trompant sur le signe lors de la soustraction. Recommencez depuis \(\bar{x}\).
VIII.4 — Exercice type Bac
Une enquête porte sur les revenus mensuels (en milliers de francs CFA) de \(N = 40\) ménages d'un quartier. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
| Revenu \(x_i\) (en milliers FCFA) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
Question 1 — Tableau des effectifs cumulés et mode. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants \(N_i\) et déterminer le mode de la série.
| \(x_i\) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
| \(N_i\) | 4 | 14 | 28 | 36 | 40 |
Le mode est \(150\) (effectif maximal : \(n_3 = 14\)).
Question 2 — Médiane. Déterminer la médiane \(M_e\) de cette série.
\(N = 40\) est pair. On cherche la moyenne des valeurs aux rangs \(\frac{40}{2} = 20\) et \(\frac{40}{2}+1 = 21\).
D'après le tableau des cumulés : \(N_2 = 14 < 20\) et \(N_3 = 28 \geq 20\). Les rangs 20 et 21 appartiennent donc tous deux au groupe \(x_3 = 150\).
\[ M_e = \frac{150 + 150}{2} = 150 \text{ (milliers FCFA)}. \]Question 3 — Moyenne arithmétique. Calculer la moyenne \(\bar{x}\) des revenus.
La moyenne des revenus est \(\bar{x} = 147{,}5\) milliers de francs CFA.
Question 4 — Variance et écart-type. Calculer la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\). Interpréter.
| \(x_i\) | \(n_i\) | \(x_i^2\) | \(n_i x_i^2\) |
|---|---|---|---|
| 50 | 4 | 2500 | 10000 |
| 100 | 10 | 10000 | 100000 |
| 150 | 14 | 22500 | 315000 |
| 200 | 8 | 40000 | 320000 |
| 250 | 4 | 62500 | 250000 |
| Total | 40 | 995000 |
L'écart-type est d'environ \(55{,}85\) milliers de francs CFA. Cela signifie que les revenus s'écartent en moyenne d'environ \(55\,850\) FCFA de la moyenne \(\bar{x} = 147\,500\) FCFA. La dispersion est modérée (environ \(38\%\) de la moyenne), indiquant une certaine hétérogénéité dans les revenus du quartier.
Question 5 — Comparaison avec un autre quartier. Dans un quartier voisin, une enquête similaire sur 40 ménages donne une moyenne de \(147{,}5\) milliers FCFA et un écart-type de \(12{,}3\).
Les deux quartiers ont exactement la même moyenne : \(\bar{x} = 147{,}5\) milliers FCFA. La différence est dans la dispersion : le quartier voisin a un écart-type de \(12{,}3\), soit environ cinq fois plus petit que \(55{,}85\).
Cela signifie que dans le quartier voisin, les revenus sont bien plus homogènes (concentrés autour de la moyenne), tandis que dans notre quartier, les revenus varient beaucoup plus entre ménages, révélant de plus fortes inégalités. La comparaison des seules moyennes aurait été trompeuse ; l'écart-type est ici l'indicateur décisif.
Effectif total \(N = \sum n_i\). Fréquence \(f_i = n_i/N\). Effectif cumulé croissant \(N_i = n_1 + \cdots + n_i\). Mode : valeur d'effectif maximal.
\(\bar x = \dfrac1N\sum n_i x_i\). Médiane via les cumulés : rang \(\frac{N+1}{2}\) si \(N\) impair, moyenne des rangs \(\frac N2\) et \(\frac N2+1\) si \(N\) pair.
Étendue \(e = x_{\max}-x_{\min}\). Variance \(V = \dfrac1N\sum n_i x_i^2 - \bar x^2\). Écart-type \(\sigma = \sqrt{V}\). Plus \(\sigma\) est petit, plus la série est homogène.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; préférer la médiane pour des distributions asymétriques. Deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes : toujours calculer \(\sigma\) pour comparer.