Exercices — Analyse, Suites & Fonctions
Fonctions numériques · Suites · Logarithme & Exponentielle · Équations
Partie 1 sur 2 · Terminale A
🔵 Chapitre I — Fonctions numériques : limites
Limite d'un polynôme
FacileExercice 1 — Limite d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.
$$5x^3-2x+1 = x^3\left(5-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right).$$
$x^3\to+\infty$ et le facteur entre parenthèses $\to5$, donc la limite vaut $+\infty$.
Limite d'une fraction rationnelle
FacileExercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.
$$\frac{3x-2}{x+5} = \frac{3-2/x}{1+5/x}.$$
Quand $x\to+\infty$, $2/x\to0$ et $5/x\to0$, donc la limite vaut $\dfrac{3}{1}=3$.
Quantité conjuguée
MoyenExercice 3 — Quantité conjuguée
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.
$$\sqrt{x+4}-\sqrt{x} = \frac{(x+4)-x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}.$$
Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $0$.
Limites à gauche et à droite d'un pôle
DifficileExercice 4 — Limites à gauche et à droite
Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.
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Quand $x\to(3/2)^{+}$, $2x-3\to0^{+}$, donc $f(x)\to+\infty$.
Quand $x\to(3/2)^{-}$, $2x-3\to0^{-}$, donc $f(x)\to-\infty$.
Les limites à gauche et à droite sont différentes ($-\infty \neq +\infty$) : $f$ n'a pas de limite globale en $\dfrac32$.
Domaine et limites d'une composée avec racine
DifficileExercice 5 — Domaine et limites
Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.
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Il faut $3x-5\ge0$, soit $x\ge\dfrac53$ : domaine $=\left[\dfrac53\,;+\infty\right[$.
$3x-5\to+\infty$, donc $\sqrt{3x-5}\to+\infty$.
Quand $x\to(5/3)^{+}$, $3x-5\to0^{+}$, donc $\sqrt{3x-5}\to0$.
Limite en $-\infty$ d'une expression irrationnelle
DifficileExercice 6 — Limite en $-\infty$
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.
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Quand $x\to-\infty$, $\sqrt{x^2+1}\to+\infty$ et $x\to-\infty$ : forme $\infty-\infty$.
$$\sqrt{x^2+1}+x = \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}.$$
Quand $x\to-\infty$, $-x\to+\infty$ et $\sqrt{x^2+1}\to+\infty$ également : le dénominateur tend vers $+\infty$.
La limite vaut $0$.
🔵 Chapitre II — Fonctions numériques : dérivation
Dérivée d'une fonction composée affine
FacileExercice 1 — Dérivée composée
Calculer la dérivée de $f(x)=(3x-2)^4$.
Avec $u(x)=3x-2$ (donc $a=3$) : $$f'(x) = 4\times3\times(3x-2)^3.$$
$f'(x) = 12(3x-2)^3$.
Équation d'une tangente
FacileExercice 2 — Équation d'une tangente
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.
$f(1)=1-3+2=0$. $f'(x)=2x-3$, donc $f'(1)=-1$.
$$y = f'(1)(x-1)+f(1) = -1(x-1)+0 = -x+1.$$
Signe de la dérivée et variations
MoyenExercice 3 — Signe de la dérivée
Étudier le signe de $g'(x)$ et les variations de $g(x)=(1-3x)^2$ sur $\mathbb{R}$.
Avec $u=1-3x$, $u'=-3$ : $$g'(x) = 2u\,u' = 2(1-3x)(-3) = 6(3x-1).$$
$g'(x)>0 \iff x>\dfrac13$ ; $g'(x)<0 \iff x<\dfrac13$.
$g$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac13\right]$, croissante sur $\left[\dfrac13\,;+\infty\right[$, minimum $g\!\left(\dfrac13\right)=0$.
Dérivée et domaine d'une racine composée
DifficileExercice 4 — Dérivée et domaine
Calculer la dérivée de $f(x)=\sqrt{4-2x}$, puis déterminer le domaine de définition de $f$ et de $f'$.
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$4-2x\ge0 \iff x\le2$ : domaine $=\ ]-\infty\,;2]$.
Avec $a=-2$ : $$f'(x) = \frac{-2}{2\sqrt{4-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{4-2x}}.$$
Il faut $4-2x>0$ (dénominateur non nul), soit $x<2$ : domaine $=\ ]-\infty\,;2[$ (borne exclue, contrairement à $f$).
Dérivée d'une exponentielle composée
DifficileExercice 5 — Exponentielle composée
Soit $f(x)=e^{-2x+3}$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Avec $a=-2$ : $f'(x) = -2e^{-2x+3}$.
$e^{-2x+3}>0$ pour tout $x$, donc $f'(x)<0$ pour tout $x$.
$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Synthèse : logarithme composé et signe
DifficileExercice 6 — Synthèse logarithme
Soit $f(x)=\ln(2x+6)-x$. Déterminer le domaine de définition, calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $f$.
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$2x+6>0 \iff x>-3$ : domaine $=\ ]-3\,;+\infty[$.
$$f'(x) = \frac{2}{2x+6}-1 = \frac{2-(2x+6)}{2x+6} = \frac{-2x-4}{2x+6} = -\frac{x+2}{x+3}.$$
Sur le domaine, $x+3>0$ toujours : le signe de $f'$ est celui de $-(x+2)$. $f'(x)>0$ sur $]-3\,;-2[$, $f'(x)<0$ sur $]-2\,;+\infty[$.
$f$ est croissante sur $]-3\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;+\infty[$ ; maximum $f(-2)=\ln(2)+2$.
🔵 Chapitre III — Fonctions numériques : travaux pratiques
Variations d'un polynôme du second degré
FacileExercice 1 — Variations d'un polynôme
Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^2-4x+3$ et en déduire ses variations sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 2x-4 = 2(x-2)$.
$f'(x)>0 \iff x>2$. $f$ décroît sur $]-\infty\,;2]$, croît sur $[2\,;+\infty[$.
$f(2) = 4-8+3 = -1$.
Asymptotes d'une fonction rationnelle
FacileExercice 2 — Asymptotes
Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.
$$f(x) = \frac{(x+1)-3}{x+1} = 1-\frac{3}{x+1}.$$
En $x=-1$ (le dénominateur s'annule) : asymptote $x=-1$.
Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{3}{x+1}\to0$, donc $f(x)\to1$ : asymptote $y=1$.
Étude complète d'un polynôme de degré 3
MoyenExercice 3 — Étude complète
Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).
$f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$.
$f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f'(x)<0$ sur $]-1\,;1[$, $f'(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.
$f$ croît, décroît, croît ; maximum local $f(-1)=2$, minimum local $f(1)=-2$.
Fonction rationnelle : domaine, asymptotes, variations
DifficileExercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle
Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).
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Domaine $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. $$f(x) = \frac{2(x-2)+1}{x-2} = 2+\frac{1}{x-2}.$$
Verticale $x=2$ ; horizontale $y=2$ (car $\frac{1}{x-2}\to0$ en $\pm\infty$).
Avec $u=2x-3$, $u'=2$, $v=x-2$, $v'=1$ : $$f'(x) = \frac{2(x-2)-(2x-3)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}.$$
$f'(x)<0$ pour tout $x\neq2$ : $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Étude complète d'un polynôme de degré 4
DifficileExercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4
Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.
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$f'(x) = 4x^3-16x = 4x(x-2)(x+2)$.
$f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;-2[$, $f'(x)>0$ sur $]-2\,;0[$, $f'(x)<0$ sur $]0\,;2[$, $f'(x)>0$ sur $]2\,;+\infty[$.
$f$ décroît, croît, décroît, croît ; minimums $f(-2)=f(2)=-9$, maximum local $f(0)=7$.
Synthèse : fraction rationnelle et dérivée composée
DifficileExercice 6 — Synthèse
Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).
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Domaine $\mathbb{R}\setminus\{3\}$. En écrivant $3x+2=\dfrac32(2x-6)+11$ : $$f(x) = \frac32+\frac{11}{2x-6}.$$
Verticale $x=3$ ; horizontale $y=\dfrac32$ (car $\dfrac{11}{2x-6}\to0$ en $\pm\infty$).
$\dfrac{11}{2x-6} = 11\times\dfrac{1}{2x-6}$, dont la dérivée est $11\times\left(-\dfrac{2}{(2x-6)^2}\right) = -\dfrac{22}{(2x-6)^2}$.
$f'(x)=-\dfrac{22}{(2x-6)^2}<0$ pour tout $x\neq3$ : $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
🔵 Chapitre IV — Suites numériques
Suite arithmétique
FacileExercice 1 — Suite arithmétique
Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-4$ et $u_0=30$. Calculer $u_{12}$ et déterminer le signe de $u_{20}$.
$u_{12} = 30+12\times(-4) = 30-48 = -18$.
$u_{20} = 30+20\times(-4) = 30-80 = -50$ : négatif.
Suite géométrique
FacileExercice 2 — Suite géométrique
Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.
$u_6 = u_0\,q^6 = 3\times2^6$.
$u_6 = 3\times64 = 192$.
Détermination d'une suite arithmétique
MoyenExercice 3 — Détermination d'une suite arithmétique
Soit $(u_n)$ arithmétique telle que $u_3=17$ et $u_7=33$. Déterminer $u_0$ et la raison $r$, puis calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$.
$u_7-u_3=4r=33-17=16$, donc $r=4$.
$u_3=u_0+3r=17 \Rightarrow u_0=17-12=5$.
$u_{10}=u_0+10r=5+40=45$. $$S = \frac{11\times(5+45)}{2} = \frac{11\times50}{2} = 275.$$
Somme géométrique et limite
DifficileExercice 4 — Somme géométrique et limite
Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.
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$$S = 64\times\frac{1-(1/2)^8}{1-1/2} = 128\times\left(1-\frac{1}{256}\right) = 128\times\frac{255}{256}.$$
$S = \dfrac{128\times255}{256} = 127{,}5$.
Comme $\left|\dfrac12\right|<1$, $\left(\dfrac12\right)^n\to0$, donc $u_n=64\times(1/2)^n \to 0$.
Application : intérêts composés
DifficileExercice 5 — Intérêts composés
On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.
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$(u_n)$ est géométrique de raison $1{,}05$ : $u_n = 100\,000\times(1{,}05)^n$.
$(1{,}05)^5 \approx 1{,}27628$, donc $u_5 \approx 127\,628$ F.
On cherche $n$ tel que $(1{,}05)^n > 1{,}5$. Par calculs successifs : $(1{,}05)^8\approx1{,}477<1{,}5$ et $(1{,}05)^9\approx1{,}551>1{,}5$.
Le capital dépasse $150\,000$ F à partir de la $9^{e}$ année.
Limite d'une suite rationnelle
DifficileExercice 6 — Limite d'une suite rationnelle
Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.
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$n^2+1 = (n+2)(n-2)+5$, donc $$u_n = (n-2)+\frac{5}{n+2}.$$
$(n-2)\to+\infty$ et $\dfrac{5}{n+2}\to0$ quand $n\to+\infty$.
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
🔵 Chapitre V — Fonction ln et exponentielle
Équation avec logarithme
FacileExercice 1 — Équation avec logarithme
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)=3$.
$\ln(x)=3 \iff x=e^{3}$ (réciprocité de $\ln$ et $\exp$).
$\mathbb{S}=\{e^{3}\}$.
Équation avec exponentielle
FacileExercice 2 — Équation avec exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=7$.
$e^{x}=7 \iff x=\ln 7$.
$\mathbb{S}=\{\ln 7\}$.
Propriétés algébriques du logarithme
MoyenExercice 3 — Propriétés algébriques
Calculer, sans calculatrice, $\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right)$.
$\ln 8=\ln(2^3)=3\ln2$ ; $\ln\!\left(\dfrac14\right)=\ln(2^{-2})=-2\ln2$.
$$3\ln2-\ln2-2\ln2 = (3-1-2)\ln2 = 0.$$
$\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right) = 0$.
Variations de $\ln(x)-x^2$
DifficileExercice 4 — Étude de variations
Étudier les variations de $f(x)=\ln(x)-x^{2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (dérivée, signe, valeur du maximum).
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$$f'(x) = \frac1x-2x = \frac{1-2x^2}{x}.$$
Sur $]0;+\infty[$, $x>0$ : le signe de $f'$ est celui de $1-2x^2$, nul en $x=\dfrac{1}{\sqrt2}$. $f'(x)>0$ sur $\left]0\,;\dfrac{1}{\sqrt2}\right[$, $f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{1}{\sqrt2}\,;+\infty\right[$.
$f$ croît puis décroît : maximum en $x=\dfrac{1}{\sqrt2}$.
$$f\!\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)-\frac12 = -\frac12\ln2-\frac12 = -\frac12(\ln2+1).$$
Équation quadratique en $e^x$
DifficileExercice 5 — Équation quadratique en $e^x$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-e^{x}-6=0$.
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$t=e^{x}>0$ : $t^2-t-6=0$.
$\Delta=1+24=25$, $\sqrt\Delta=5$ : $t=\dfrac{1\pm5}{2}$, soit $t=3$ ou $t=-2$.
Seul $t=3>0$ est valide. $e^x=3 \Rightarrow x=\ln3$.
$\mathbb{S}=\{\ln3\}$.
Une inégalité classique : $\ln x < x$
DifficileExercice 6 — Une inégalité classique
Étudier $g(x)=x-\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, montrer que $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln(x) < x$ pour tout $x>0$.
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$g'(x) = 1-\dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}$.
$g'(x)<0$ sur $]0;1[$, $g'(x)>0$ sur $]1;+\infty[$ : $g$ admet un minimum en $x=1$, avec $g(1)=1-\ln1=1$.
Le minimum de $g$ vaut $1$, donc $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, soit $x-\ln(x)\ge1$, c'est-à-dire $\ln(x)\le x-1$.
Comme $x-1<x$ pour tout $x$, on obtient $\ln(x)\le x-1<x$, donc $\mathbf{\ln(x)<x}$ pour tout $x>0$.
🔵 Chapitre VI — Équations, inéquations et systèmes avec ln et exp
Équation exponentielle directe
FacileExercice 1 — Équation exponentielle directe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x+1}=e^{7}$.
$e^{3x+1}=e^{7} \iff 3x+1=7$.
$3x=6 \iff x=2$. $\mathbb{S}=\{2\}$.
Équation logarithmique directe
FacileExercice 2 — Équation logarithmique directe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(5x-3)=\ln(x+9)$.
$5x-3>0$ et $x+9>0$, soit $x>\dfrac35$.
$5x-3=x+9 \iff 4x=12 \iff x=3$. Comme $3>\dfrac35$, la solution est valide.
$\mathbb{S}=\{3\}$.
Inéquation exponentielle
MoyenExercice 3 — Inéquation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x-1}\le e^{5}$.
$e^{2x-1}\le e^{5} \iff 2x-1\le5$ (exp strictement croissante).
$2x\le6 \iff x\le3$. $\mathbb{S}=\ ]-\infty\,;3]$.
Équation avec changement de variable
DifficileExercice 4 — Équation avec changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-4e^{x}+3=0$.
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$t=e^{x}>0$ : $t^2-4t+3=0=(t-1)(t-3)$.
$t=1$ ou $t=3$, toutes deux valides ($>0$).
$e^x=1 \Rightarrow x=0$ ; $e^x=3 \Rightarrow x=\ln3$.
$\mathbb{S}=\{0\,;\,\ln3\}$.
Inéquation logarithmique
DifficileExercice 5 — Inéquation logarithmique
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x+1) > 2$.
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$3x+1>0 \iff x>-\dfrac13$.
$\ln(3x+1)>2 \iff 3x+1>e^{2}$.
$x > \dfrac{e^{2}-1}{3}$.
Comme $\dfrac{e^2-1}{3}\approx2{,}13>-\dfrac13$, le domaine est automatiquement respecté : $\mathbb{S}=\left]\dfrac{e^2-1}{3}\,;+\infty\right[$.
Système avec exponentielle
DifficileExercice 6 — Système avec exponentielle
Résoudre le système $\begin{cases} x+y=7 \\ e^{x}=e^{3}\,e^{y} \end{cases}$.
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$e^{x}=e^{3}e^{y}=e^{3+y}$, donc par injectivité de l'exponentielle : $x=3+y$.
$(3+y)+y=7 \iff 2y=4 \iff y=2$.
$x=3+2=5$. Solution : $(x\,;y)=(5\,;2)$.