Épures : point, droite et plan
Représentation d'un point, d'une droite, d'un plan par double projection (méthode de Monge) — intersections de droites et de plans, droites et plans orthogonaux en épure. Thème exclusif au programme officiel de Première Série E, absent de la Série C.
Principes de l'épure : point, droite, plan
1.1 — La ligne de terre et l'épure d'un point
La géométrie descriptive représente l'espace sur une seule feuille plane à l'aide de deux plans de projection perpendiculaires : le plan horizontal \(PH\) et le plan vertical \(PV\). Leur intersection est une droite appelée ligne de terre, notée \(LT\). Pour dessiner sur une seule feuille, on rabat \(PH\) autour de \(LT\) par une rotation de \(90°\) : après rabattement, \(PV\) occupe la partie au-dessus de \(LT\) et \(PH\) rabattu occupe la partie en dessous.
Un point \(M\) de l'espace, repéré par son abscisse \(x\) (position le long de \(LT\)), son éloignement \(y\) (distance à \(PV\)) et sa cote \(z\) (distance à \(PH\), la hauteur), possède deux projections :
- sa projection horizontale \(m\) sur \(PH\), notée en minuscule ;
- sa projection verticale \(m'\) sur \(PV\), notée avec un prime.
Après rabattement, \(m\) et \(m'\) sont toujours situés sur une même verticale, appelée ligne de rappel — c'est la règle fondamentale de toute épure. La cote de \(M\) se lit directement sur l'épure comme la distance de \(m'\) à \(LT\) (au-dessus) ; l'éloignement se lit comme la distance de \(m\) à \(LT\) (en dessous).
Figure — Épure du point \(M\) d'abscisse \(3\), éloignement \(2\), cote \(4\)
\(m'\) (en haut, dans \(PV\)) et \(m\) (en bas, dans \(PH\) rabattu) sont alignés sur la même ligne de rappel verticale, en pointillés — c'est cette propriété qui permet de retrouver \(m'\) à partir de \(m\), et réciproquement.
- Ne pas confondre cote (hauteur, lue au-dessus de \(LT\) sur \(m'\)) et éloignement (profondeur, lue en dessous de \(LT\) sur \(m\)) — les deux sont des distances positives, mais mesurées dans deux vues différentes.
- La ligne de rappel est toujours verticale sur l'épure, quelle que soit la position du point : c'est une conséquence directe du rabattement, pas une coïncidence à vérifier au cas par cas.
1.2 — Épure d'une droite et d'un plan
Une droite \(D\) est déterminée par deux de ses points \(A,B\). Son épure est formée de sa projection verticale \(d'=(a'b')\) et de sa projection horizontale \(d=(ab)\) — chacune obtenue en reliant les projections homonymes de \(A\) et \(B\), chaque couple \((a,a')\) et \((b,b')\) restant sur sa propre ligne de rappel.
\(A\) d'abscisse \(1\), éloignement \(1\), cote \(3\) ; \(B\) d'abscisse \(4\), éloignement \(3\), cote \(1\). On place \(a'(1;3)\), \(b'(4;1)\) au-dessus de \(LT\) et on trace \(d'\) ; on place \(a(1;-1)\), \(b(4;-3)\) en dessous et on trace \(d\).
Un plan \(P\) (non parallèle à \(LT\)) coupe \(PH\) selon une droite appelée trace horizontale \(t_h\), et coupe \(PV\) selon une droite appelée trace verticale \(t_v\). Ces deux traces se coupent toujours en un même point de \(LT\), puisque \(LT=PH\cap PV\) appartient à la fois à \(t_h\) et à \(t_v\) dès que \(LT\subset P\)... plus précisément : le point commun de \(t_h\) et \(t_v\) est le point où \(P\) traverse \(LT\). Le plan \(P\) est représenté sur l'épure par le simple dessin de \(t_h\) (en dessous de \(LT\)) et \(t_v\) (au-dessus), sécantes sur \(LT\).
Figure — Épure de la droite \((AB)\) et d'un plan \(P\) par ses traces \(t_h,t_v\)
\(d'=(a'b')\) et \(d=(ab)\) : les deux projections de la droite \((AB)\). \(t_h\) et \(t_v\) : les deux traces du plan \(P\), sécantes en un point \(I\) de \(LT\).
1.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Le point \(M\) a pour abscisse \(2\), éloignement \(3\), cote \(1\). Donner les coordonnées de \(m\) et \(m'\) sur l'épure (avec \(LT\) comme axe des abscisses).
\(m'(2;1)\) au-dessus de \(LT\) (cote \(1\)) ; \(m(2;-3)\) en dessous de \(LT\) (éloignement \(3\)). Les deux points partagent la même abscisse \(2\) : ils sont bien sur la même ligne de rappel.
Question 2. Sur une épure, \(m(5;-2)\) et \(m'(5;4)\) sont donnés. Quelles sont l'éloignement et la cote de \(M\) ?
Éloignement \(=2\) (distance de \(m\) à \(LT\)) ; cote \(=4\) (distance de \(m'\) à \(LT\)).
Question 3. Deux points \(m(1;-2)\) et \(n(1;-5)\) ont-ils pu être obtenus à partir d'un seul et même point de l'espace ?
Non : deux points distincts \(m\ne n\) ne peuvent pas être la projection horizontale d'un seul point \(M\) (une projection est unique). Ils correspondent nécessairement à deux points différents de l'espace, tous deux d'abscisse \(1\).
\(LT=PH\cap PV\) ; \(PH\) rabattu en dessous, \(PV\) au-dessus.
\(m\) et \(m'\) toujours sur la même verticale.
\(d'=(a'b')\) au-dessus, \(d=(ab)\) en dessous.
Traces \(t_h,t_v\) sécantes en un point de \(LT\).