Ensembles, Cardinaux & Combinaisons
Langage des ensembles et cardinal d'un ensemble fini — arrangements et permutations — combinaisons, relations et formule du binôme. Programme officiel de Première Série A.
Langage des ensembles et cardinal
I.1 — Langage des ensembles
Pour \(A\) une partie d'un ensemble \(E\), le complémentaire de \(A\) dans \(E\), noté \(\overline A\), est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\). Une partition de \(E\) est un découpage de \(E\) en parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est \(E\) tout entier. Le produit cartésien \(A\times B\) est l'ensemble des couples \((x;y)\) avec \(x\in A\) et \(y\in B\).
I.2 — Cardinal d'un ensemble fini
Le cardinal d'un ensemble fini \(A\), noté \(\text{card}(A)\), est son nombre d'éléments (\(\text{card}(\varnothing)=0\)). Pour \(A\), \(B\) parties d'un ensemble fini \(E\), et \(F\) un autre ensemble fini :
\[ \text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B), \qquad \text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A), \] \[ \text{card}(A\times F)=\text{card}(A)\times\text{card}(F), \qquad \text{card}(A^p)=\bigl(\text{card}(A)\bigr)^p. \]Dans un club de lecture de \(40\) membres, \(22\) lisent des romans (\(R\)), \(15\) lisent de la poésie (\(P\)), et \(9\) lisent les deux. Combien de membres lisent au moins l'un des deux genres ? Combien n'en lisent aucun ?
\[ \text{card}(R\cup P)=22+15-9=28. \]Membres ne lisant ni romans ni poésie : \(40-28=12\).
Figure — Diagramme de Venn de l'exemple (club de 40 membres)
\(13\) membres ne lisent que des romans, \(6\) que de la poésie, \(9\) les deux, \(12\) aucun des deux — total \(13+9+6+12=40\).
Produit cartésien. Un artisan propose \(5\) motifs de pagne et \(3\) couleurs de teinture. Nombre de combinaisons (motif, couleur) possibles : \(5\times3=15\).
Parties. Un festival propose \(4\) types de spectacle \(E=\{\text{théâtre};\text{danse};\text{conte};\text{musique}\}\). Nombre de programmes possibles (tout sous-ensemble de spectacles retenus, y compris aucun ou tous) : \(2^4=16\).
I.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Dans une classe de Première A de \(45\) élèves, \(30\) étudient l'anglais, \(20\) étudient l'espagnol, \(12\) étudient les deux langues. Combien étudient au moins une des deux langues ? Combien n'en étudient aucune ?
\(\text{card}(A\cup E)=30+20-12=38\). Aucune des deux langues : \(45-38=7\).
Question 2. Un digicode comporte \(2\) anneaux, chacun réglable sur un chiffre de \(0\) à \(9\). Combien de codes différents existe-t-il ?
\(10^2=100\) codes.
Question 3. Soit \(E\) un ensemble à \(5\) éléments. Combien de parties possède \(E\) au total ? Combien de parties propres non vides (on exclut \(\varnothing\) et \(E\)) ?
\(2^5=32\) parties au total. En retirant \(\varnothing\) et \(E\) : \(32-2=30\).
\(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)\).
\(\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)\).
\(\text{card}(A\times F)=\text{card}(A)\times\text{card}(F)\).
\(2^n\) parties d'un ensemble à \(n\) éléments ; \(\text{card}(A^p)=n^p\).