Chargement…

Exercices — Première Série A — Dénombrement

Retour au cours — Première Série A · Dénombrement

Exercices — Dénombrement

Langage des ensembles & cardinal · Arrangements & permutations · Combinaisons & binôme

Première Série A · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre I — Langage des ensembles et cardinal

1

QCM — Cardinal et ensembles

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un village, sur 60 habitants, 35 pratiquent l'agriculture (A), 20 pratiquent l'élevage (E), 10 pratiquent les deux. $\text{card}(A\cup E)$ vaut :
a) 55   b) 45   c) 65   d) 25

2) Soit $E$ un ensemble de cardinal 8 et $A$ une partie de $E$ avec $\text{card}(A)=5$. $\text{card}(\overline A)$ vaut :
a) 3   b) 5   c) 8   d) 13

3) Un menu comporte 3 entrées et 5 desserts. Le nombre de combinaisons possibles (une entrée, un dessert) est :
a) 8   b) 15   c) 35   d) 53

4) Un ensemble $E$ a 6 éléments. Le nombre de parties de $E$ est :
a) 6   b) 12   c) 36   d) 64

1
Réponse : b. $\text{card}(A\cup E)=\text{card}(A)+\text{card}(E)-\text{card}(A\cap E)=35+20-10=45$.
2
Réponse : a. $\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)=8-5=3$.
3
Réponse : b. $\text{card}(\text{entrées}\times\text{desserts})=3\times5=15$.
4
Réponse : d. $\text{card}(\mathcal P(E))=2^6=64$.
2

Situation d’intégration — Coopérative agricole de Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
▼
Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole de la région de Bobo-Dioulasso regroupe 80 membres. Une enquête montre que 52 membres cultivent le maïs (\(M\)), 41 cultivent le coton (\(C\)), et 18 cultivent les deux. Le président de la coopérative souhaite savoir combien de membres cultivent au moins l'une des deux cultures, et surtout combien n'en cultivent aucune des deux — car un programme de sensibilisation à la diversification doit être lancé si plus de 15% des membres sont dans ce cas.

Consigne : Calculer $\text{card}(M\cup C)$, en déduire le nombre de membres qui ne cultivent ni maïs ni coton, calculer le pourcentage correspondant, et conclure si le président doit lancer le programme de sensibilisation.

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

1
Réunion. $\text{card}(M\cup C)=\text{card}(M)+\text{card}(C)-\text{card}(M\cap C)=52+41-18=75$.
2
Aucune des deux cultures. $80-75=5$ membres ne cultivent ni maïs ni coton.
3
Pourcentage. $\dfrac{5}{80}=6{,}25\%$.
4
Conclusion. $6{,}25\%<15\%$ : le président n'a pas besoin de lancer le programme de sensibilisation dans l'immédiat, le taux de membres non diversifiés reste sous le seuil fixé.
3

Problème — Tournoi scolaire et sous-comités

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème.

Partie A. Un lycée compte 150 élèves de Terminale. Parmi eux, 90 pratiquent le football ($F$), 60 pratiquent le basketball ($B$), et 25 pratiquent les deux sports.

1) Déterminer $\text{card}(F\cup B)$.
2) En déduire combien d'élèves ne pratiquent ni le football ni le basketball.

Partie B. Le comité d'organisation du tournoi est formé de 4 élèves $E=\{A;B;C;D\}$.
3) Combien de parties (sous-comités, y compris l'ensemble vide et $E$ tout entier) l'ensemble $E$ possède-t-il au total ?
4) Combien de ces parties comptent strictement plus de 2 membres (c'est-à-dire 3 ou 4 membres) ?

Partie C. Pour un match d'exhibition, le comité souhaite former un binôme composé d'un élève pratiquant uniquement le football et d'un élève pratiquant uniquement le basketball.
5) Combien de binômes (football-seul, basketball-seul) sont possibles ?

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

A.1
$\text{card}(F\cup B)=90+60-25=125$.
A.2
Élèves ne pratiquant aucun des deux sports : $150-125=25$.
B.3
$\text{card}(\mathcal P(E))=2^4=16$ parties au total (en comptant $\varnothing$ et $E$).
B.4
Parties à 3 membres : on en obtient une pour chaque membre exclu, soit $4$ parties (par exemple $\{B;C;D\}$ en excluant $A$, etc.). Partie à 4 membres : $E$ lui-même, soit $1$. Total strictement plus de 2 membres : $4+1=5$.
C.5
Football uniquement : $90-25=65$ élèves. Basketball uniquement : $60-25=35$ élèves. Nombre de binômes (produit cartésien) : $65\times35=2\,275$.

Chapitre II — Arrangements et permutations

1

QCM — Arrangements et permutations

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le nombre de façons de ranger 6 objets distincts en ligne est :
a) 36   b) 120   c) 720   d) 46656

2) $A_7^2$ vaut :
a) 42   b) 49   c) 21   d) 14

3) Un jury distingue, dans l'ordre, un 1er, un 2e et un 3e prix parmi 9 candidats. Le nombre de podiums possibles est :
a) 504   b) 729   c) 84   d) 27

4) Le mot-clé qui signale un arrangement (et non une combinaison) est :
a) l'ordre ne compte pas   b) les rôles ou rangs sont distincts   c) répétition autorisée   d) aucun ordre

1
Réponse : c. $6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$.
2
Réponse : a. $A_7^2=7\times6=42$.
3
Réponse : a. $A_9^3=9\times8\times7=504$.
4
Réponse : b. Quand les rôles ou les rangs sont distincts, échanger deux éléments change le résultat : l'ordre compte, c'est un arrangement.
2

Situation d’intégration — Radio culturelle de Ouagadougou

Moyen Situation
▼
Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une radio de Ouagadougou prépare la diffusion d'un compte à rebours musical pour un festival culturel : elle doit choisir, dans l'ordre exact de diffusion, 5 chansons parmi une playlist de 12 morceaux traditionnels déjà sélectionnés. Le producteur hésite entre programmer l'ordre manuellement ou investir dans un logiciel d'aide à la programmation — il estime qu'au-delà de 500 ordres possibles, la programmation manuelle est trop risquée pour trouver le meilleur enchaînement.

Consigne : Calculer le nombre d'ordres de diffusion possibles pour les 5 chansons choisies parmi les 12, puis conseiller le producteur : doit-il investir dans le logiciel ?

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

1
L'ordre de diffusion compte (ce n'est pas juste un choix de 5 chansons, mais leur ordre exact) : il s'agit d'un arrangement de 5 éléments parmi 12.
2
$A_{12}^5=12\times11\times10\times9\times8$.
3
$12\times11=132$, $132\times10=1\,320$, $1\,320\times9=11\,880$, $11\,880\times8=95\,040$.
4
Conclusion. $95\,040$ ordres possibles, très largement supérieur au seuil de $500$ : le producteur doit investir dans le logiciel d'aide à la programmation.
3

Problème — Bureau du comité des élèves

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème. Un comité de 10 élèves doit élire un bureau composé de trois rôles distincts : un président, un vice-président et un secrétaire.

Partie A.
1) Combien de bureaux différents (président, vice-président, secrétaire) sont possibles au total ?

Partie B. Parmi les 10 élèves, 4 sont en Terminale D et 6 sont en Terminale C. Le règlement impose que le président soit obligatoirement en Terminale D (les deux autres rôles restant ouverts à n'importe lequel des 9 élèves restants, tous niveaux confondus).
2) Combien de bureaux respectant cette contrainte sont possibles ?

Partie C.
3) Pour la photo de fin d'année, les 10 élèves du comité sont alignés côte à côte. Combien de dispositions différentes sont possibles ?

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

A.1
Les trois rôles sont distincts (ordre important) : $A_{10}^3=10\times9\times8=720$ bureaux possibles.
B.2
Le président doit être l'un des 4 élèves de Terminale D : 4 choix. Les rôles de vice-président et secrétaire sont ensuite choisis parmi les 9 élèves restants (ordonnés) : $A_9^2=9\times8=72$. Total : $4\times72=288$ bureaux possibles.
C.3
Aligner les 10 élèves revient à les permuter tous : $10!=3\,628\,800$ dispositions possibles.

Chapitre III — Combinaisons, relations et binôme

1

QCM — Combinaisons et binôme

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom93$ vaut :
a) 84   b) 504   c) 27   d) 729

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, $\binom{10}4$ est égal à :
a) $\binom{10}4$   b) $\binom{10}5$   c) $\binom{10}6$   d) $\binom{10}{10}$

3) En développant $(x+2)^3$ à l'aide du triangle de Pascal, le coefficient du terme en $x$ (c'est-à-dire de $x^1$) est :
a) 3   b) 6   c) 8   d) 12

4) $\binom52+\binom53$ vaut :
a) 15   b) 20   c) 25   d) 30

1
Réponse : a. $\binom93=\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=\dfrac{504}6=84$.
2
Réponse : c. $\binom{10}4=\binom{10}{10-4}=\binom{10}6$.
3
Réponse : d. Ligne $n=3$ du triangle : $1,3,3,1$. $(x+2)^3=x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$ : le coefficient de $x$ est $12$.
4
Réponse : b. $\binom52=10$, $\binom53=10$, somme $=20$ (cohérent avec $\binom63=20$ par la relation de Pascal).
2

Situation d’intégration — Coopérative de karité de Koudougou

Moyen Situation
▼
Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de femmes de Koudougou, spécialisée dans la transformation du beurre de karité, compte 12 membres formées à la présentation de leurs produits. Pour une foire régionale, elle doit désigner une délégation de 3 membres (aucun rôle particulier n'est attribué : la délégation est un simple groupe).

Consigne : Calculer le nombre de délégations possibles, puis vérifier ce résultat à l'aide de la relation de Pascal $\binom np=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}p$.

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

1
L'ordre n'a pas d'importance (une délégation est un groupe, pas une liste de rôles) : c'est une combinaison. $\binom{12}3=\dfrac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=\dfrac{1\,320}6=220$ délégations possibles.
2
Vérification par la relation de Pascal (avec $n=12$, $p=3$) : $\binom{12}3=\binom{11}2+\binom{11}3$.
3
$\binom{11}2=\dfrac{11\times10}2=55$ et $\binom{11}3=\dfrac{11\times10\times9}6=165$.
4
$55+165=220$ : on retrouve bien $\binom{12}3=220$, la relation est vérifiée.
3

Problème — Développement et comité mixte

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème.

Partie A.
1) Développer $(2x-1)^4$ à l'aide du triangle de Pascal (ligne $n=4$).

Partie B. Une coopérative de 15 membres, dont 6 femmes et 9 hommes, doit former un comité de gestion de 4 personnes.
2) Combien de comités de 4 personnes sont possibles au total (sans contrainte) ?
3) Combien de ces comités comptent exactement 2 femmes et 2 hommes ?

Contenu réservé aux membres Premium

Connectez-vous ou passez Premium pour voir ce corrigé.

A.1
Ligne $n=4$ du triangle de Pascal : $1,4,6,4,1$. $(2x-1)^4=(2x)^4-4(2x)^3(1)+6(2x)^2(1)^2-4(2x)(1)^3+1^4$.
A.1 (suite)
$=16x^4-4\times8x^3+6\times4x^2-8x+1=16x^4-32x^3+24x^2-8x+1$.
B.2
$\binom{15}4=\dfrac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}=\dfrac{32\,760}{24}=1\,365$ comités possibles.
B.3
Choisir 2 femmes parmi 6 et 2 hommes parmi 9 (deux choix indépendants, on multiplie) : $\binom62\times\binom92=15\times36=540$ comités possibles avec exactement 2 femmes et 2 hommes.
Mode hors-ligne — données en cache