Exercices — Stats, Proba & Géométrie

Dénombrement, Probabilités, Statistiques à 2 variables & Géométrie 3D

Partie 3 sur 3

0 exercices affichés

🎲 Probabilités & Dénombrement

1

Arrangements et permutations — formules fondamentales

Facile
▼

Exercice 1 — Arrangements et permutations

On note $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ le nombre d'arrangements de $k$ éléments parmi $n$.

1. Calculer $5!$, $A_8^3$, $A_5^5$.

2. De combien de façons peut-on placer 6 élèves en file indienne ?

3. Un code PIN de 4 chiffres distincts choisis parmi $\{0,1,\ldots,9\}$ : combien de codes possibles ?

4. Dans une classe de 10 élèves, de combien de façons choisit-on un président, un vice-président et un secrétaire (tous distincts) ?

1
$5!=120$ · $A_8^3=\dfrac{8!}{5!}=8\times7\times6=\boxed{336}$ · $A_5^5=5!=\boxed{120}$
2
$6!$ façons de placer 6 élèves en file = $\boxed{720}$
3
$A_{10}^4=10\times9\times8\times7=\boxed{5040}$ codes possibles.
4
$A_{10}^3=10\times9\times8=\boxed{720}$ façons.
📊 Croissance de n! et Aⁿₙ pour n=1 à 8
La factorielle (bleu) croît extrêmement vite · Les arrangements A³ₙ (rouge) restent plus modérés
2

Combinaisons — triangle de Pascal — formule du binôme

Facile
▼

Exercice 2 — Combinaisons et binôme

$\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ · Formule de Pascal : $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}$

1. Calculer $\dbinom{6}{2}$, $\dbinom{10}{3}$, $\dbinom{8}{8}$.

2. Dans une classe de 30 élèves, de combien de façons forme-t-on un groupe de 4 ?

3. Développer $(a+b)^4$ avec la formule du binôme de Newton.

4. Montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}=2^n$. Vérifier pour $n=4$.

1
$\binom{6}{2}=15$ · $\binom{10}{3}=120$ · $\binom{8}{8}=1$
2
$\binom{30}{4}=\dfrac{30\times29\times28\times27}{4!}=\boxed{27405}$ groupes possibles.
3
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
4
$(1+1)^n=\sum_k\binom{n}{k}1^k=2^n$ ✓ · Pour $n=4$ : $1+4+6+4+1=16=2^4$ ✓
🔺 Triangle de Pascal — lignes 0 à 6 · Chaque valeur = C(n,k)
Chaque nombre = somme des deux au-dessus · Les lignes donnent les coefficients de (a+b)ⁿ
3

Probabilités classiques — événements et diagramme de Venn

Facile
▼

Exercice 3 — Probabilités et événements

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.

Soit $A$ = "obtenir un as" et $B$ = "obtenir un cœur".

1. $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$.  2. $P(A\cup B)$ par la formule d'inclusion-exclusion.  3. $P(\bar{A})$, $P(\bar{B})$.  4. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

1
$P(A)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$ · $P(B)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$ · $P(A\cap B)=\dfrac{1}{52}$ (as de cœur).
2
$P(A\cup B)=\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{52}=\dfrac{4+13-1}{52}=\boxed{\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}}$
3
$P(\bar{A})=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13}$ · $P(\bar{B})=\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$
4
$P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{13}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{52}=P(A\cap B)$ → $A$ et $B$ sont indépendants. ✓
🎴 Diagramme de Venn — A=as (4 cartes) · B=cœur (13 cartes) · A∩B=as de cœur (1)
Ω = 52 cartes · |A|=4 · |B|=13 · |A∩B|=1 · |A∪B|=16
4

Probabilités conditionnelles — formule de Bayes

Moyen
▼

Exercice 4 — Test médical et formule de Bayes

Une maladie touche 1% de la population ($P(M)=0{,}01$). Un test détecte la maladie avec :

$P(+|M)=0{,}99$ (sensibilité) · $P(-|\bar{M})=0{,}95$ (spécificité), donc $P(+|\bar{M})=0{,}05$.

1. Compléter l'arbre des probabilités.

2. $P(+)$ par la loi des probabilités totales.

3. $P(M|+)$ par la formule de Bayes — commenter.

1
Arbre : $M$ (0,01) → $+$ (0,99) : proba $0{,}0099$ · $M$ → $-$ (0,01) : proba $0{,}0001$
$\bar{M}$ (0,99) → $+$ (0,05) : proba $0{,}0495$ · $\bar{M}$ → $-$ (0,95) : proba $0{,}9405$
2
$P(+)=P(+|M)\cdot P(M)+P(+|\bar{M})\cdot P(\bar{M})=0{,}0099+0{,}0495=\boxed{0{,}0594}$
3
$P(M|+)=\dfrac{P(+|M)\cdot P(M)}{P(+)}=\dfrac{0{,}0099}{0{,}0594}\approx\boxed{16{,}7\%}$
Remarque : même avec un test très fiable, si la maladie est rare, un résultat positif ne signifie la maladie que dans ~17% des cas (paradoxe de Bayes).
📊 Décomposition de P(+) : vraie maladie vs fausse alarme
Même si le test est fiable à 99%, les fausses alarmes dominent quand la maladie est rare (1%)
5

Variable aléatoire discrète — espérance et variance

Moyen
▼

Exercice 5 — Jeu de dés

On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ = valeur absolue de la différence des faces.

1. Dresser le tableau de la loi de $X$ (valeurs de 0 à 5).

2. Calculer $E(X)$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

3. Le jeu est-il équitable si on gagne $X$ FCFA par lancé et qu'on paye 2 FCFA pour jouer ?

1
$|\Omega|=36$. Nombre de façons d'obtenir chaque différence :
$X=0$ : 6 cas · $X=1$ : 10 cas · $X=2$ : 8 cas · $X=3$ : 6 cas · $X=4$ : 4 cas · $X=5$ : 2 cas.
$$P(X=k)=\frac{2(6-k)}{36}=\frac{6-k}{18}\text{ pour }k=0,\ldots,5$$
2
$E(X)=0\cdot\frac{6}{36}+1\cdot\frac{10}{36}+2\cdot\frac{8}{36}+3\cdot\frac{6}{36}+4\cdot\frac{4}{36}+5\cdot\frac{2}{36}=\frac{70}{36}\approx\boxed{1{,}94}$
$E(X^2)=\frac{0+10+32+54+64+50}{36}=\frac{210}{36}\approx5{,}83$ · $V(X)\approx5{,}83-1{,}94^2\approx\boxed{2{,}07}$
3
Gain net $= X-2$. $E(\text{gain})=E(X)-2\approx1{,}94-2=-0{,}06<0$ → le jeu est défavorable au joueur.
📊 Loi de X = |dé₁ − dé₂| — Diagramme en bâtons avec espérance E(X)≈1,94
La probabilité décroît avec la différence · E(X) ≈ 1,94 (trait rouge) · V(X) ≈ 2,07
6

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ — calculs et graphique

Moyen
▼
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Exercice 6 — Loi binomiale

$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ · $E(X)=np$ · $V(X)=np(1-p)$

Un examen a 10 QCM avec 4 choix dont 1 seul correct. Un élève répond au hasard.

1. Loi de $X$ = nombre de bonnes réponses.  2. $P(X=3)$.  3. $P(X\geq6)$.  4. $E(X)$ et $V(X)$.  5. Tracer la loi.

👁 Aperçu — Loi B(10, 0,25) · E(X)=2,5 (corrigé en Premium)
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1
Loi de $X$
Chaque QCM a 4 choix dont 1 seul correct → $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ · $n=10$
Les réponses sont indépendantes et $p$ est constante : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$
$$P(X=k) = \binom{10}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k}, \quad k=0,1,\ldots,10$$
2
$P(X=3)$
$P(X=3) = \dbinom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7 = 120 \times 0{,}015625 \times 0{,}1335$
$\approx 120 \times 0{,}002086 \approx \boxed{0{,}2503}$
C'est la valeur la plus probable (mode) de la loi.
3
$P(X \geq 6)$
$P(X \geq 6) = \displaystyle\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k}$
Calcul terme à terme :
$P(X=6)\approx 0{,}01622$ · $P(X=7)\approx 0{,}00309$ · $P(X=8)\approx 0{,}000386$
$P(X=9)\approx 0{,}0000286$ · $P(X=10)\approx 9{,}5\times10^{-7}$
$P(X \geq 6) \approx \boxed{0{,}0197}$ soit environ 2% de chance d'avoir 6 bonnes réponses ou plus en répondant au hasard.
4
$E(X)$ et $V(X)$
$E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = \boxed{2{,}5}$ bonnes réponses en moyenne
$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = \boxed{1{,}875}$
$\sigma(X) = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37$
5
Diagramme en bâtons de la loi $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$
Le mode est en $k=2$ (valeur la plus probable), $E(X)=2{,}5$ matérialisé par la ligne rouge.
📊 Loi B(10 ; 0,25) — Diagramme en bâtons
Mode en k=2 · E(X)=2,5 (ligne rouge) · P(X≥6) ≈ 2% (barres oranges)
7

Loi des grands nombres — fréquences et convergence

Moyen
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Exercice 7 — Loi des grands nombres

On lance une pièce équilibrée $n$ fois. Soit $f_n$ la fréquence d'apparition de Face.

1. Quelle est la loi de $X$ = nombre de Face en $n$ lancers ?

2. $E(f_n)$ et $V(f_n)$.

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|f_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$. Pour $\varepsilon=0{,}05$, quelle valeur minimale de $n$ assure $P(|f_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}01$ ?

👁 Aperçu — Convergence de fₙ vers 0,5 quand n augmente (corrigé Premium)
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1
Loi de $X$ = nombre de Faces en $n$ lancers
Pièce équilibrée → $p=0{,}5$. Lancers indépendants. $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}5)$.
2
$E(f_n)$ et $V(f_n)$
$f_n = \dfrac{X}{n}$, donc :
$E(f_n) = \dfrac{E(X)}{n} = \dfrac{np}{n} = \boxed{p = 0{,}5}$
$V(f_n) = \dfrac{V(X)}{n^2} = \dfrac{np(1-p)}{n^2} = \dfrac{p(1-p)}{n} = \boxed{\dfrac{1}{4n}}$
Plus $n$ est grand, plus la variance de $f_n$ est petite : $f_n$ se concentre autour de $0{,}5$.
3
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour toute variable $Y$ : $P(|Y-E(Y)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(Y)}{\varepsilon^2}$
Appliquée à $f_n$ avec $E(f_n)=0{,}5$ et $V(f_n)=\dfrac{1}{4n}$ :
$$P(|f_n - 0{,}5| \geq \varepsilon) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$$ ✓
4
Calcul de $n$ minimal pour $\varepsilon=0{,}05$, seuil $0{,}01$
On veut $\dfrac{1}{4n\times(0{,}05)^2} \leq 0{,}01$
$\dfrac{1}{4n \times 0{,}0025} \leq 0{,}01 \Rightarrow \dfrac{1}{0{,}01n} \leq 0{,}01 \Rightarrow \dfrac{1}{0{,}01 \times 0{,}01} \leq n$
$n \geq \dfrac{1}{4 \times 0{,}0025 \times 0{,}01} = \dfrac{1}{0{,}0001} = \boxed{10\,000\ \text{lancers}}$
Il faut au moins 10 000 lancers pour être sûr à 99% que la fréquence est à ±5% de 0,5.
📊 Convergence de fₙ vers p=0,5 — Simulation de la loi des grands nombres
Borne Bienaymé-Tchebychev (rouge) : 1/(4nε²) → 0 · Intervalle ε=0,05 (tirets verts)
8

Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ — théorème central limite

Difficile
▼
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Exercice 8 — Loi normale et intervalle de confiance

Les notes au Bac d'une grande ville suivent une loi normale $\mathcal{N}(11,2{,}5^2)$.

1. Courbe de densité. Interprétation de $\mu=11$ et $\sigma=2{,}5$.

2. Calculer $P(8{,}5\leq X\leq13{,}5)$ (règle des 68%). Interpréter.

3. Quelle fraction d'élèves a une note entre 6 et 16 (règle des 95%) ?

4. Théorème central limite : si on prend un échantillon de $n=100$ élèves, quelle est la loi approchée de $\bar{X}$ ?

5. Intervalle de confiance à 95% pour $\mu$.

👁 Aperçu — Densité N(11 ; 2,5²) avec règle 68-95-99,7% (corrigé Premium)
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1
Courbe de densité et interprétation
$X \sim \mathcal{N}(11\,;\,2{,}5^2)$ · Courbe en cloche symétrique centrée en $\mu=11$.
$\mu = 11$ : note moyenne des bacheliers de la ville.
$\sigma = 2{,}5$ : dispersion typique autour de la moyenne (écart-type).
2
$P(8{,}5 \leq X \leq 13{,}5)$ — règle des 68%
$8{,}5 = 11 - 2{,}5 = \mu - \sigma$ · $13{,}5 = 11 + 2{,}5 = \mu + \sigma$
$$\boxed{P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 68{,}3\%}$$ Interprétation : environ 68% des élèves ont une note entre 8,5 et 13,5.
3
$P(6 \leq X \leq 16)$ — règle des 95%
$6 = 11 - 2\times 2{,}5 = \mu - 2\sigma$ · $16 = 11 + 2\times 2{,}5 = \mu + 2\sigma$
$$\boxed{P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 95{,}4\%}$$ Environ 95% des élèves ont une note entre 6 et 16.
4
Théorème central limite — loi de $\bar{X}$
Échantillon de $n=100$ élèves, $E(X)=11$, $V(X)=6{,}25$
Par le TCL : $\bar{X} \approx \mathcal{N}\!\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma^2}{n}\right) = \mathcal{N}\!\left(11\,;\,\dfrac{6{,}25}{100}\right) = \boxed{\mathcal{N}(11\,;\,0{,}0625)}$
Écart-type de $\bar{X}$ : $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2{,}5}{10} = 0{,}25$
5
Intervalle de confiance à 95% pour $\mu$
$IC_{95\%} = \left[\bar{X} - 1{,}96\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\,\bar{X} + 1{,}96\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$
$= \left[\bar{X} - 1{,}96\times 0{,}25\,;\,\bar{X} + 1{,}96\times 0{,}25\right]$
$= \left[\bar{X} - 0{,}49\,;\,\bar{X} + 0{,}49\right]$
Si la moyenne observée est $\bar{x}=11$ : $\boxed{IC_{95\%} = [10{,}51\,;\,11{,}49]}$
📊 Loi normale N(11 ; 2,5²) — Notes au Bac à Ouagadougou
Zone bleue : μ±σ ≈ 68% · Zone + claire : μ±2σ ≈ 95% · Axe de symétrie μ=11
9

Problème combinatoire complet — type Bac Burkina

Difficile
▼
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Exercice 9 — Problème type Bac

Un lycée compte 12 élèves : 7 filles et 5 garçons.

Partie A — Dénombrement

1. Combien de délégations de 4 élèves sont possibles ?

2. Combien de délégations contiennent exactement 2 filles et 2 garçons ?

3. Combien de délégations contiennent au moins une fille ?

Partie B — Probabilités

On tire une délégation de 4 élèves au hasard.

4. Probabilité d'avoir exactement 2 filles.  5. Probabilité d'avoir la majorité de filles ($\geq3$).  6. Probabilité qu'il y ait au moins une fille, sachant qu'il y a au moins un garçon.

👁 Aperçu — Répartition des compositions possibles (corrigé complet Premium)
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1
Nombre total de délégations de 4
On choisit 4 élèves parmi 12 sans ordre : $\dbinom{12}{4} = \dfrac{12!}{4!\,8!} = \dfrac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1} = \boxed{495}$
2
Délégations avec exactement 2 filles et 2 garçons
Choisir 2 filles parmi 7 ET 2 garçons parmi 5 :
$\dbinom{7}{2}\times\dbinom{5}{2} = 21 \times 10 = \boxed{210}$ délégations
3
Délégations avec au moins une fille
Complémentaire : délégations sans aucune fille = 4 garçons parmi 5 :
$\dbinom{5}{4} = 5$
Au moins une fille : $495 - 5 = \boxed{490}$ délégations
4
$P(\text{exactement 2 filles})$
$$P = \frac{\binom{7}{2}\binom{5}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{210}{495} = \frac{14}{33} \approx \boxed{0{,}424}$$
5
$P(\text{majorité de filles} : \geq 3\ \text{filles})$
$P(F=3) = \dfrac{\binom{7}{3}\binom{5}{1}}{\binom{12}{4}} = \dfrac{35\times5}{495} = \dfrac{175}{495}$
$P(F=4) = \dfrac{\binom{7}{4}\binom{5}{0}}{\binom{12}{4}} = \dfrac{35\times1}{495} = \dfrac{35}{495}$
$P(F \geq 3) = \dfrac{175+35}{495} = \dfrac{210}{495} = \dfrac{14}{33} \approx \boxed{0{,}424}$
Coïncidence : $P(F=2) = P(F \geq 3)$ ici.
6
$P(\text{au moins une fille} \mid \text{au moins un garçon})$
Soit $A$ = «au moins une fille» et $B$ = «au moins un garçon».
$P(B) = \dfrac{495 - \binom{7}{4}}{495} = \dfrac{495-35}{495} = \dfrac{460}{495}$ (complémentaire : 4 filles parmi 7)
$A \cap B$ = «au moins une fille ET au moins un garçon» = ni tout filles, ni tout garçons :
$|A \cap B| = 495 - 35 - 5 = 455$
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{455/495}{460/495} = \frac{455}{460} = \frac{91}{92} \approx \boxed{0{,}989}$$
📊 Distribution du nombre de filles dans une délégation de 4 (sur 12 élèves)
Bleu : F=0..2 · Orange : F≥3 (majorité filles) · Valeur la plus probable : F=2 ou F=3

📊 Statistiques à Deux Variables

1

Nuage de points — moyennes — centre de gravité $G$

Facile
▼

Exercice 1 — Nuage de points et centre de gravité

Un lycée de Ouagadougou relève les notes de 8 élèves en Maths ($x$) et en Physique ($y$) :

Élève12345678
x (Maths)81012149111513
y (Physique)7911138101412

1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

2. Placer le nuage de points et le centre de gravité $G(\bar{x};\bar{y})$.

3. Que remarque-t-on visuellement ?

1
$\bar{x}=\dfrac{8+10+12+14+9+11+15+13}{8}=\dfrac{92}{8}=\boxed{11{,}5}$
$\bar{y}=\dfrac{7+9+11+13+8+10+14+12}{8}=\dfrac{84}{8}=\boxed{10{,}5}$
2
Centre de gravité : $G(11{,}5\,;\,10{,}5)$
3
Les points sont très bien alignés → forte corrélation linéaire positive entre les notes de Maths et de Physique.
📊 Nuage de points Maths/Physique — Centre de gravité G(11,5 ; 10,5)
Points bleus = élèves · Croix orange = centre de gravité G · L'alignement est presque parfait
2

Droite de régression des moindres carrés $y=ax+b$

Facile
▼

Exercice 2 — Régression linéaire

Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :

Année $x$12345
CA $y$1215172024

Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$   $b=\bar{y}-a\bar{x}$

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.

2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.

3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.

1
$\bar{x}=3$ · $\bar{y}=\dfrac{12+15+17+20+24}{5}=\dfrac{88}{5}=17{,}6$
$\overline{xy}=\dfrac{1\times12+2\times15+3\times17+4\times20+5\times24}{5}=\dfrac{12+30+51+80+120}{5}=\dfrac{293}{5}=58{,}6$
$\overline{x^2}=\dfrac{1+4+9+16+25}{5}=\dfrac{55}{5}=11$
2
$a=\dfrac{58{,}6-3\times17{,}6}{11-9}=\dfrac{58{,}6-52{,}8}{2}=\dfrac{5{,}8}{2}=\boxed{2{,}9}$
$b=17{,}6-2{,}9\times3=17{,}6-8{,}7=\boxed{8{,}9}$
Droite : $\boxed{y=2{,}9x+8{,}9}$
3
Année 6 : $y=2{,}9\times6+8{,}9=\boxed{26{,}3}$ M FCFA
Année 8 : $y=2{,}9\times8+8{,}9=\boxed{32{,}1}$ M FCFA
📈 Nuage + droite de régression y=2,9x+8,9 — Prévisions années 6 et 8
Points bleus = données · Droite rouge = régression · Points verts = prévisions · G passe sur la droite
3

Coefficient de corrélation linéaire $r$ — interprétation

Moyen
▼

Exercice 3 — Coefficient de corrélation

Températures moyennes mensuelles ($x$, en °C) et consommation d'eau (en milliers de litres $y$) dans une ville :

$x$202428303226
$y$405260657055

Formule : $r=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}$ avec $\sigma_x=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\overline{xy}$.

2. Calculer $r$. Interpréter.

3. Peut-on utiliser un ajustement linéaire ? Si oui, déterminer la droite de régression.

1
$\bar{x}=\dfrac{20+24+28+30+32+26}{6}=\dfrac{160}{6}\approx26{,}67$ · $\bar{y}=\dfrac{40+52+60+65+70+55}{6}=\dfrac{342}{6}=57$
$\overline{x^2}=\dfrac{400+576+784+900+1024+676}{6}=\dfrac{4360}{6}\approx726{,}67$ → $\sigma_x=\sqrt{726{,}67-711{,}11}\approx\sqrt{15{,}56}\approx3{,}94$
$\overline{y^2}=\dfrac{1600+2704+3600+4225+4900+3025}{6}=\dfrac{20054}{6}\approx3342{,}3$ → $\sigma_y=\sqrt{3342{,}3-3249}\approx\sqrt{93{,}3}\approx9{,}66$
$\overline{xy}=\dfrac{800+1248+1680+1950+2240+1430}{6}=\dfrac{9348}{6}=1558$
2
$r=\dfrac{1558-26{,}67\times57}{3{,}94\times9{,}66}=\dfrac{1558-1520{,}2}{38{,}06}=\dfrac{37{,}8}{38{,}06}\approx\boxed{0{,}993}$
$r\approx0{,}993$ : corrélation très forte et positive — la chaleur explique presque entièrement la consommation d'eau.
3
$|r|>0{,}99$ → ajustement linéaire parfaitement justifié.
$a=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}=0{,}993\times\dfrac{9{,}66}{3{,}94}\approx2{,}43$ · $b=57-2{,}43\times26{,}67\approx57-64{,}8\approx-7{,}8$
Droite : $\boxed{y\approx2{,}43x-7{,}8}$
📈 Corrélation très forte (r≈0,993) — Température vs Consommation d'eau
r≈0,993 : presque parfaitement alignés · Chaque +1°C ≈ +2,4 milliers de litres consommés
4

Ajustement affine complet — prévision et résidus

Moyen
▼

Exercice 4 — Production agricole

Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :

Pluie $x$ (mm)400500600700800900
Production $y$ (t)120150195230270310

1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.

2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.

3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.

4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.

1
$\bar{x}=650$ · $\bar{y}=212{,}5$ · $\overline{xy}=\dfrac{400\times120+\cdots+900\times310}{6}=\dfrac{893000}{6}\approx148833$
$\overline{x^2}=\dfrac{400^2+\cdots+900^2}{6}=\dfrac{2870000}{6}\approx478333$
$a=\dfrac{148833-650\times212{,}5}{478333-422500}=\dfrac{148833-138125}{55833}=\dfrac{10708}{55833}\approx\boxed{0{,}3755}$
$b=212{,}5-0{,}3755\times650\approx212{,}5-244\approx\boxed{-31{,}6}$
Droite : $\boxed{\hat{y}=0{,}376x-31{,}6}$
2
$\sigma_x\approx182{,}6$ · $\sigma_y\approx64{,}5$ · $r=\dfrac{a\sigma_x}{\sigma_y}=\dfrac{0{,}376\times182{,}6}{64{,}5}\approx\boxed{0{,}995}$ → ajustement excellent.
3
$x=750$ : $\hat{y}=0{,}376\times750-31{,}6\approx\boxed{250}$ t
$x=1000$ : $\hat{y}=0{,}376\times1000-31{,}6\approx\boxed{344}$ t (extrapolation — prudence !)
4
Résidus : $e_1\approx+0{,}4$ · $e_2\approx-0{,}5$ · $e_3\approx+3{,}1$ · $e_4\approx-2{,}4$ · $e_5\approx+0{,}4$ · $e_6\approx-1{,}0$
Très petits → la droite est une bonne représentation.
📈 Production coton vs Pluie — ŷ=0,376x−31,6 — Résidus (segments gris)
Segments gris = résidus · Plus ils sont courts, meilleur est l'ajustement · Prévision 750 mm ≈ 250 t
5

Ajustement exponentiel — linéarisation par $\ln$

Moyen
▼

Exercice 5 — Croissance exponentielle d'une population

Population d'une ville (en milliers) observée sur 5 années :

Année $x$01234
Pop. $y$ (milliers)5058677890

1. Tracer le nuage $(x\,;\,y)$ et $(x\,;\,\ln y)$.

2. Montrer que le nuage $(x\,;\,\ln y)$ est quasi-linéaire. Trouver la droite de régression de $\ln y$ en $x$.

3. En déduire le modèle $y=A\cdot e^{kx}$ et estimer la population à $x=6$.

1
$\ln y$ : $\ln50\approx3{,}912$ · $\ln58\approx4{,}060$ · $\ln67\approx4{,}205$ · $\ln78\approx4{,}357$ · $\ln90\approx4{,}500$
2
$\bar{x}=2$ · $\overline{\ln y}\approx4{,}207$ · $\overline{x\ln y}\approx8{,}810$ · $\overline{x^2}=6$
$k=\dfrac{8{,}810-2\times4{,}207}{6-4}=\dfrac{0{,}396}{2}\approx\boxed{0{,}148}$ · $\ln A=4{,}207-0{,}148\times2\approx3{,}911$
Droite linéarisée : $\ln y\approx0{,}148x+3{,}911$
3
$A=e^{3{,}911}\approx\boxed{49{,}9}\approx50$ · Modèle : $\boxed{y\approx50\cdot e^{0{,}148x}}$
$x=6$ : $y\approx50\cdot e^{0{,}888}\approx50\times2{,}43\approx\boxed{121\,500}$ habitants
📈 Comparaison nuage (x;y) exponentiel vs (x;ln y) linéarisé
Gauche : nuage courbé → ajustement exponentiel · Droite : ln y vs x = droite → linéarisation réussie
6

Ajustement puissance $y=ax^b$ et logarithmique

Moyen
▼
🔒 Débloquer

Exercice 6 — Ajustement puissance

Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :

$x$50100200400800
$y$304876121192

1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$.  2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$.  3. Déduire $a$, $b$.  4. Prévision pour $x=600$.  5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.

👁 Aperçu — Nuage et ajustement puissance y=ax^b (corrigé Premium)
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1
Linéarisation
$y = ax^b \Rightarrow \ln y = \ln a + b\ln x$
On pose $Y = \ln y$, $X = \ln x$, $A = \ln a$ : modèle linéaire $Y = bX + A$
Tableau des valeurs transformées :
$X = \ln x$ : $3{,}912$ · $4{,}605$ · $5{,}298$ · $5{,}991$ · $6{,}685$
$Y = \ln y$ : $3{,}401$ · $3{,}871$ · $4{,}331$ · $4{,}796$ · $5{,}257$
2
Régression de $Y$ en $X$
$\bar{X} = \dfrac{3{,}912+4{,}605+5{,}298+5{,}991+6{,}685}{5} = 5{,}298$
$\bar{Y} = \dfrac{3{,}401+3{,}871+4{,}331+4{,}796+5{,}257}{5} = 4{,}331$
$\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) = (-1{,}386)(-0{,}930)+(-0{,}693)(-0{,}460)+0+0{,}693\times0{,}465+1{,}387\times0{,}926$
$= 1{,}289 + 0{,}319 + 0 + 0{,}322 + 1{,}285 = 3{,}215$
$\sum(X_i-\bar{X})^2 = 1{,}922+0{,}480+0+0{,}480+1{,}924 = 4{,}806$
$b = \dfrac{3{,}215}{4{,}806} \approx \boxed{0{,}669}$
$A = \bar{Y} - b\bar{X} = 4{,}331 - 0{,}669 \times 5{,}298 = 4{,}331 - 3{,}544 = 0{,}787$
3
Déduction de $a$ et $b$
$b \approx 0{,}669$ · $a = e^A = e^{0{,}787} \approx \boxed{2{,}197}$
Modèle puissance : $\boxed{y \approx 2{,}197\,x^{0{,}669}}$
4
Prévision pour $x = 600$
$y = 2{,}197 \times 600^{0{,}669} = 2{,}197 \times 76{,}0 \approx \boxed{167\ \text{kFCFA}}$
5
Ajustement logarithmique $y = \alpha\ln x + \beta$
Régression de $y$ en $X = \ln x$ :
$\alpha = \dfrac{\sum(X_i-\bar{X})(y_i-\bar{y})}{\sum(X_i-\bar{X})^2}$
$\sum(X_i-\bar{X})(y_i-\bar{y}) = (-1{,}386)(-61) + \ldots \approx 265{,}4$
$\alpha \approx \dfrac{265{,}4}{4{,}806} \approx 55{,}2$ · $\beta = 93{,}5 - 55{,}2\times5{,}298 \approx -198{,}9$
Modèle log : $y \approx 55{,}2\ln x - 198{,}9$
Le modèle puissance est généralement meilleur pour les données économiques de ce type.
📊 Données et courbes d'ajustement — Revenus vs Dépenses alimentaires
Points réels (bleu) · Modèle puissance y=2,197x⁰·⁶⁶⁹ (vert) · Modèle log (rouge tirets)
7

Série chronologique — tendance et moyennes mobiles

Difficile
▼
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Exercice 7 — Série chronologique et saisonnalité

Ventes trimestrielles (en millions de FCFA) d'une entreprise de Ouagadougou sur 3 ans :

Trimestre123456789101112
Ventes801209570901351088210215012295

1. Tracer la série.  2. Calculer les moyennes mobiles d'ordre 4.  3. Droite de tendance sur les moyennes mobiles.  4. Coefficients saisonniers.  5. Prévision du trimestre 13.

👁 Aperçu — Série chronologique + tendance (corrigé Premium)
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1
Série chronologique
Trimestres : 1 à 12 · Ventes : 80, 120, 95, 70, 90, 135, 108, 82, 102, 150, 122, 95
Tendance globale à la hausse avec saisonnalité marquée : pics au T2 (printemps) et T3.
2
Moyennes mobiles d'ordre 4
$MM_k = \dfrac{y_k + y_{k+1} + y_{k+2} + y_{k+3}}{4}$ (centrées sur $k+1{,}5$, puis moyenne de 2 consécutives)
$MM_{2{,}5} = \dfrac{80+120+95+70}{4} = 91{,}25$
$MM_{3{,}5} = \dfrac{120+95+70+90}{4} = 93{,}75$
$MM_{4{,}5} = \dfrac{95+70+90+135}{4} = 97{,}50$
$MM_{5{,}5} = \dfrac{70+90+135+108}{4} = 100{,}75$
$MM_{6{,}5} = \dfrac{90+135+108+82}{4} = 103{,}75$
$MM_{7{,}5} = \dfrac{135+108+82+102}{4} = 106{,}75$
$MM_{8{,}5} = \dfrac{108+82+102+150}{4} = 110{,}50$
$MM_{9{,}5} = \dfrac{82+102+150+122}{4} = 114{,}00$
$MM_{10{,}5} = \dfrac{102+150+122+95}{4} = 117{,}25$
MM centrées sur t entier : $\widehat{MM}_3 = \frac{91{,}25+93{,}75}{2}=92{,}5$ … jusqu'à $\widehat{MM}_{11}=115{,}6$
3
Droite de tendance (régression sur MM centrées)
Points : $(3\,;\,92{,}5)$, $(4\,;\,95{,}6)$, $(5\,;\,99{,}1)$, $(6\,;\,102{,}3)$, $(7\,;\,105{,}3)$, $(8\,;\,108{,}6)$, $(9\,;\,112{,}3)$, $(10\,;\,115{,}6)$
$\bar{t} = 6{,}5$ · $\bar{MM} = 103{,}9$
Pente $a = \dfrac{\sum(t_i-\bar{t})(MM_i-\overline{MM})}{\sum(t_i-\bar{t})^2} \approx \dfrac{132{,}5}{42} \approx 3{,}15$
$b = \bar{MM} - a\bar{t} = 103{,}9 - 3{,}15\times6{,}5 = 103{,}9 - 20{,}5 = 83{,}4$
Tendance : $\boxed{\hat{T}(t) = 3{,}15t + 83{,}4}$
4
Coefficients saisonniers
Écart $y_t - \hat{T}(t)$ par trimestre, moyenne sur les années :
T1 (t=1,5,9) : moy $= \dfrac{(80-86{,}6)+(90-99{,}2)+(102-111{,}8)}{3} = \dfrac{-6{,}6-9{,}2-9{,}8}{3} \approx -8{,}5$
T2 (t=2,6,10) : $\dfrac{(120-89{,}7)+(135-102{,}3)+(150-114{,}9)}{3} \approx +33{,}0$
T3 (t=3,7,11) : $\dfrac{(95-92{,}9)+(108-105{,}4)+(122-118{,}1)}{3} \approx +3{,}0$
T4 (t=4,8,12) : $\dfrac{(70-96{,}0)+(82-108{,}6)+(95-121{,}2)}{3} \approx -26{,}9$
Vérification : somme ≈ 0 ✓
5
Prévision du trimestre 13 (T1 an 4)
$\hat{T}(13) = 3{,}15\times13 + 83{,}4 = 40{,}95 + 83{,}4 = 124{,}4$
Coefficient saisonnier T1 : $-8{,}5$
$$\hat{y}_{13} = 124{,}4 + (-8{,}5) = \boxed{115{,}9\ \text{M FCFA}}$$
📈 Série chronologique — Ventes + MM centrées + Tendance
Bleu = ventes réelles · Orange = MM centrées · Rouge = tendance T(t)=3,15t+83,4
8

Test du $\chi^2$ d'indépendance — tableau de contingence

Difficile
▼
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Exercice 8 — Test χ² et tableau de contingence

Enquête sur 200 élèves : résultats au Bac (Admis/Ajourné) selon la filière (Scientifique / Littéraire / Technique) :

ScientifiqueLittéraireTechniqueTotal
Admis604030130
Ajourné20302070
Total807050200

1. Calculer les effectifs théoriques $e_{ij}=\dfrac{(\text{total ligne}_i)\times(\text{total col}_j)}{n}$.

2. Calculer $\chi^2=\displaystyle\sum_{i,j}\dfrac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$.

3. À l'aide de la table χ² (ddl=2, seuil 5% → valeur critique 5,99) : conclure sur l'indépendance.

👁 Aperçu — Taux d'admission par filière (corrigé Premium)
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1
Effectifs théoriques $e_{ij} = \dfrac{n_{i\cdot}\times n_{\cdot j}}{n}$
Total $n=200$ · Admis=130 · Ajourné=70 · Sci=80 · Lit=70 · Tech=50
$e_{\text{Admis,Sci}} = \dfrac{130\times80}{200} = 52$ · $e_{\text{Admis,Lit}} = \dfrac{130\times70}{200} = 45{,}5$ · $e_{\text{Admis,Tech}} = \dfrac{130\times50}{200} = 32{,}5$
$e_{\text{Aj,Sci}} = \dfrac{70\times80}{200} = 28$ · $e_{\text{Aj,Lit}} = \dfrac{70\times70}{200} = 24{,}5$ · $e_{\text{Aj,Tech}} = \dfrac{70\times50}{200} = 17{,}5$
2
Calcul de $\chi^2$
$\chi^2 = \displaystyle\sum_{i,j}\dfrac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$
$= \dfrac{(60-52)^2}{52} + \dfrac{(40-45{,}5)^2}{45{,}5} + \dfrac{(30-32{,}5)^2}{32{,}5} + \dfrac{(20-28)^2}{28} + \dfrac{(30-24{,}5)^2}{24{,}5} + \dfrac{(20-17{,}5)^2}{17{,}5}$
$= \dfrac{64}{52} + \dfrac{30{,}25}{45{,}5} + \dfrac{6{,}25}{32{,}5} + \dfrac{64}{28} + \dfrac{30{,}25}{24{,}5} + \dfrac{6{,}25}{17{,}5}$
$= 1{,}231 + 0{,}665 + 0{,}192 + 2{,}286 + 1{,}235 + 0{,}357 = \boxed{\chi^2 \approx 5{,}97}$
3
Décision — degrés de liberté $= (2-1)(3-1) = 2$
Valeur critique au seuil 5%, ddl=2 : $\chi^2_{0{,}05;2} = 5{,}991$
$\chi^2_{\text{obs}} = 5{,}97 < 5{,}991$
$\Rightarrow$ On ne rejette pas $H_0$ au seuil 5%.
Conclusion : il n'y a pas de différence statistiquement significative entre les taux de réussite selon la filière (résultat très limite : p-value ≈ 5,1%).
📊 Test χ² — Contribution de chaque cellule (barres) vs valeur critique 5,991
χ²_obs=5,97 < χ²_crit=5,991 → H₀ non rejetée (limite) · Sci ajourné = contribution max
9

Problème complet type Bac — régression et prévision

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso

On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :

$x$ (années)124681012
$y$ (k FCFA)8595112135155178200

Partie A — Ajustement linéaire

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.

2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.

Partie B — Ajustement exponentiel

3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.

4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?

Partie C — Application

5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?

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1
Partie A — Ajustement linéaire
Données : $x$ : 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12 · $y$ : 85, 95, 112, 135, 155, 178, 200
$n=7$ · $\sum x_i = 43$ · $\sum y_i = 960$
$\bar{x} = \dfrac{43}{7} \approx 6{,}14$ · $\bar{y} = \dfrac{960}{7} \approx 137{,}1$
$\sum x_i^2 = 1+4+16+36+64+100+144 = 365$
$\sum x_iy_i = 85+190+448+810+1240+1780+2400 = 6953$
$a = \dfrac{\sum x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2} = \dfrac{6953-7\times6{,}14\times137{,}1}{365-7\times37{,}7} = \dfrac{6953-5893}{365-264} = \dfrac{1060}{101} \approx \boxed{10{,}5}$
$b = \bar{y} - a\bar{x} = 137{,}1 - 10{,}5\times6{,}14 = 137{,}1 - 64{,}5 \approx \boxed{72{,}6}$
Droite : $\hat{y} = 10{,}5x + 72{,}6$
2
Coefficient de corrélation $r$
$r = \dfrac{\sum x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\sum x_i^2-n\bar{x}^2)(\sum y_i^2-n\bar{y}^2)}}$
$\sum y_i^2 = 85^2+\ldots+200^2 = 7225+9025+12544+18225+24025+31684+40000 = 142728$
$\sum y_i^2 - n\bar{y}^2 = 142728 - 7\times18796 = 142728-131572 = 11156$
$r = \dfrac{1060}{\sqrt{101\times11156}} = \dfrac{1060}{\sqrt{1126756}} \approx \dfrac{1060}{1061{,}5} \approx \boxed{0{,}999}$
Corrélation quasi-parfaite — ajustement très fiable.
3
Prévision pour $x=15$ ans
$\hat{y}(15) = 10{,}5\times15 + 72{,}6 = 157{,}5 + 72{,}6 = \boxed{230{,}1\ \text{kFCFA}}$
Extrapolation (15 > max observé 12) : résultat à interpréter avec prudence.
4
Partie B — Ajustement exponentiel
$Y = \ln y$ : $4{,}443$, $4{,}554$, $4{,}718$, $4{,}905$, $5{,}043$, $5{,}182$, $5{,}298$
$\bar{Y} \approx 4{,}878$
Régression $Y = \alpha x + \beta$ : même calcul avec $Y$ à la place de $y$
$\alpha \approx \dfrac{\sum x_iY_i - n\bar{x}\bar{Y}}{\sum x_i^2-n\bar{x}^2} \approx \dfrac{209{,}7-263{,}5\times\frac{34{,}1}{7}}{101} \approx \dfrac{209{,}7-208{,}2}{101} \approx 0{,}081$
$\beta = 4{,}878 - 0{,}081\times6{,}14 \approx 4{,}381$
Modèle exponentiel : $\hat{y} = e^{4{,}381}\cdot e^{0{,}081x} \approx \boxed{79{,}8\,e^{0{,}081x}}$
Prévision $x=15$ : $79{,}8\times e^{1{,}215} \approx 79{,}8\times3{,}37 \approx 268{,}9$ kFCFA
📊 Salaire vs Expérience · Droite (bleu) et exponentielle (vert)
r≈0,999 · Linéaire : ŷ=10,5x+72,6 · Exponentiel : ŷ=79,8e^{0,081x} · Prévision x=15 (étoile orange)

📐 Géométrie dans l'Espace

1

Repère de l'espace — coordonnées et vecteurs

Facile
▼

Exercice 1 — Vecteurs dans l'espace

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne $A(1;2;3)$, $B(4;0;1)$, $C(2;3;5)$.

1. Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Norme $|\overrightarrow{AB}|$ et distance $AB$.

3. Coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.

4. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont-ils colinéaires ?

1
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3;-2;-2)$ · $\overrightarrow{AC}=C-A=(1;1;2)$
2
$AB=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4+4}=\boxed{\sqrt{17}\approx4{,}12}$
3
$M=\dfrac{A+B}{2}=\left(\dfrac{5}{2};1;2\right)=\boxed{(2{,}5\,;\,1\,;\,2)}$
4
Colinéaires si $\exists\lambda$ tel que $(3;-2;-2)=\lambda(1;1;2)$ → $3=\lambda$, $-2=\lambda$ : contradiction → non colinéaires.
📐 Repère 3D — Points A, B, C et vecteurs AB, AC (vue perspective)
Vue 2D avec projection isométrique · Bleu = AB · Rouge = AC · Orange = milieu M
2

Produit scalaire — angle entre vecteurs — orthogonalité

Facile
▼

Exercice 2 — Produit scalaire et angles

On donne $\vec{u}=(2;1;-2)$ et $\vec{v}=(1;3;1)$.

1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.

2. $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$, puis angle $\theta=\arccos\!\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right)$.

3. Trouver $t\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{w}=(t;1;2)$ soit orthogonal à $\vec{u}$.

4. Dans un cube de côté 1, calculer $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BF}$ ($A$ origine, $G$ sommet opposé).

1
$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+1\times3+(-2)\times1=2+3-2=\boxed{3}$
2
$|\vec{u}|=\sqrt{4+1+4}=3$ · $|\vec{v}|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$ · $\cos\theta=\dfrac{3}{3\sqrt{11}}=\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ → $\theta\approx\boxed{72{,}5°}$
3
$\vec{w}\perp\vec{u}$ : $2t+1\times1+(-2)\times2=0$ → $2t-3=0$ → $\boxed{t=\tfrac{3}{2}}$
4
$\overrightarrow{AG}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{BF}=(0;0;1)$ → $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BF}=0+0+1=\boxed{1}$
📐 Angle entre u=(2,1,−2) et v=(1,3,1) · θ≈72,5° · Cube ABCDEFGH
Bleu = u · Rouge = v · Arc jaune = angle θ ≈ 72,5° · Cube à droite : AG·BF = 1
3

Équation cartésienne d'un plan — positions relatives

Moyen
▼

Exercice 3 — Plans dans l'espace

1. Déterminer l'équation du plan $(\mathcal{P})$ passant par $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(0;2;1)$.
Méthode : trouver un vecteur normal $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, puis écrire $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0$.

2. Vérifier que $D(2;-1;3)$ est dans $(\mathcal{P})$ ou non.

3. Équation du plan parallèle à $(\mathcal{P})$ passant par l'origine.

4. Position relative des deux plans : parallèles ou sécants ?

1
$\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;2;-1)$.
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-2\\-1&2&-1\end{vmatrix}$
$=(1\times(-1)-(-2)\times2\;;\;(-2)\times(-1)-2\times(-1)\;;\;2\times2-1\times(-1))=(3;4;5)$
Plan : $3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0$ → $\boxed{3x+4y+5z-13=0}$
2
$3\times2+4\times(-1)+5\times3-13=6-4+15-13=4\neq0$ → $D\notin(\mathcal{P})$.
3
Même vecteur normal, passe par O(0;0;0) : $3\times0+4\times0+5\times0+d=0$ → $\boxed{3x+4y+5z=0}$
4
Même vecteur normal $(3;4;5)$ mais $d_1=-13\neq d_2=0$ → plans parallèles distincts.
📐 Plan 3x+4y+5z=13 (bleu) et plan 3x+4y+5z=0 (rouge) — Points A, B, C, D
Les deux plans sont parallèles (même vecteur normal n=(3,4,5)) · D n'appartient pas au plan bleu
4

Droites dans l'espace — intersection, parallèles, gauches

Moyen
▼

Exercice 4 — Positions relatives de droites

$(d_1)$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$ (vecteur directeur $\vec{v_1}=(2;1;3)$)

$(d_2)$ : $\begin{cases}x=3+t\\y=1-t\\z=4+2t\end{cases}$ (vecteur directeur $\vec{v_2}=(1;-1;2)$)

1. $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ sont-ils colinéaires ?

2. Chercher un point d'intersection éventuel (résoudre le système). Conclure : sécantes ou gauches ?

3. Trouver l'équation du plan contenant $(d_1)$ et parallèle à $(d_2)$.

1
$(2;1;3)=k(1;-1;2)$ → $k=2$ et $k=-1$ : contradiction → non colinéaires, droites non parallèles.
2
Paramétrique de $(d_1)$ : $x=1+2s$, $y=2+s$, $z=1+3s$. On égalise :
$(I)$ : $1+2s=3+t$ · $(II)$ : $2+s=1-t$ · $(III)$ : $1+3s=4+2t$
De $(II)$ : $t=-(1+s)$. Dans $(I)$ : $1+2s=3-(1+s)$ → $3s=1$ → $s=\frac{1}{3}$, $t=-\frac{4}{3}$.
Vérification $(III)$ : $1+1=2\neq4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$ → contradiction → droites gauches.
3
Plan contenant $(d_1)$ et $\parallel$ à $\vec{v_2}$ : normale $\vec{n}=\vec{v_1}\wedge\vec{v_2}=(1\times3-3\times(-1)\,;\,3\times1-2\times2\,;\,2\times(-1)-1\times1)=(5;-1;-3)$
Passant par $A(1;2;1)$ : $5(x-1)-(y-2)-3(z-1)=0$ → $\boxed{5x-y-3z=0}$
📐 Droites gauches d₁ (bleu) et d₂ (rouge) — Ne se coupent pas, non parallèles
Vue 2D : les droites semblent se croiser mais dans l'espace elles sont gauches (différentes altitudes z)
5

Distances dans l'espace — point-plan et point-droite

Moyen
▼

Exercice 5 — Calculs de distances

Plan $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z-6=0$ · Droite $(d)$ : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ · Point $M(3;1;-1)$

1. Distance de $M$ au plan $(\mathcal{P})$ : $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{4+1+4}}$.

2. Pied de la perpendiculaire de $M$ sur $(\mathcal{P})$.

3. Distance de $M$ à la droite $(d)$.

4. Distance entre les plans parallèles $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z=6$ et $(\mathcal{P}')$ : $2x-y+2z=12$.

1
$d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{9}}=\dfrac{|6-1-2-6|}{3}=\dfrac{3}{3}=\boxed{1}$
2
Droite normale à $(\mathcal{P})$ par $M$ : $(x,y,z)=(3+2t\,;\,1-t\,;\,-1+2t)$. Dans $(\mathcal{P})$ : $2(3+2t)-(1-t)+2(-1+2t)=6$ → $6+4t-1+t-2+4t=6$ → $9t=3$ → $t=\frac{1}{3}$. Pied $H=\left(\frac{11}{3}\,;\,\frac{2}{3}\,;\,-\frac{1}{3}\right)$.
3
Point de $(d)$ le plus proche de $M$ : $A=(1,-1,2)$, $\vec{v}=(1,2,1)$. $\overrightarrow{AM}=(2,2,-3)$. $t_0=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\dfrac{2+4-3}{6}=\dfrac{1}{2}$. Pied $=(1{,}5\,;\,0\,;\,2{,}5)$. $d=\left|\overrightarrow{MH'}\right|=\sqrt{(1{,}5)^2+1^2+(3{,}5)^2}=\sqrt{2{,}25+1+12{,}25}=\boxed{\sqrt{15{,}5}\approx3{,}94}$
4
$d(\mathcal{P},\mathcal{P}')=\dfrac{|6-12|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{6}{3}=\boxed{2}$
📐 Distance M au plan P=1 · Droite d (rouge) · Perpendiculaire MH (orange)
La distance point-plan = longueur de la perpendiculaire · La projection H est le pied de cette perpendiculaire
6

Sphère — équation, intersection sphère/plan

Moyen
▼
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Exercice 6 — Sphère et intersection

Sphère $(\mathcal{S})$ de centre $\Omega(1;2;3)$ et de rayon $R=4$.

1. Équation de $(\mathcal{S})$.  2. $P(3;5;0)$ est-il sur $(\mathcal{S})$ ?  3. Intersection avec le plan $z=3$ : nature et rayon.  4. Plan tangent en $P'(1;2;7)$.  5. Distance de $\Omega$ au plan $x+y+z=0$ : la sphère coupe-t-elle ce plan ?

👁 Aperçu — Sphère de rayon 4, intersection avec z=3 (cercle, rayon 4) (corrigé Premium)
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1
Équation de $(\mathcal{S})$
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16$
2
$P(3\,;\,5\,;\,0)$ appartient-il à $(\mathcal{S})$ ?
$\Omega P^2 = (3-1)^2+(5-2)^2+(0-3)^2 = 4+9+9 = 22$
$\Omega P = \sqrt{22} \approx 4{,}69 \neq 4 = R$
$\Rightarrow P \notin (\mathcal{S})$ · $P$ est à l'extérieur de la sphère.
3
Intersection avec le plan $z=3$
$(x-1)^2+(y-2)^2+(3-3)^2=16 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=16$
C'est un cercle de centre $(1\,;\,2\,;\,3)$ et de rayon $r=4$ dans le plan $z=3$.
(Le plan passe par $\Omega$ : $z_\Omega=3$ → section maximale = grand cercle.)
4
Plan tangent en $P'(1\,;\,2\,;\,7)$
Vérification : $(1-1)^2+(2-2)^2+(7-3)^2 = 16 = R^2$ ✓, $P' \in (\mathcal{S})$
La normale en $P'$ est $\overrightarrow{\Omega P'} = (0\,;\,0\,;\,4)$, de direction $\vec{k}$.
Plan tangent : $\boxed{z = 7}$ (plan horizontal passant par le pôle Nord de la sphère)
5
Distance de $\Omega$ au plan $\pi : x+y+z=0$
$d(\Omega, \pi) = \dfrac{|1+2+3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$
$d(\Omega,\pi) = 2\sqrt{3} < 4 = R \Rightarrow$ la sphère coupe le plan $\pi$.
Rayon du cercle-section : $r' = \sqrt{R^2-d^2} = \sqrt{16-12} = \boxed{2}$
📐 Sphère Ω(1;2;3), R=4 — coupes et éléments remarquables
Vue plane xOy (z=3) · Cercle-section z=3 rayon 4 · Ω au centre · P' en z=7 (pôle Nord)
7

Produit vectoriel — aire, normale, coplanarité

Difficile
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Exercice 7 — Produit vectoriel

$\vec{u}=(1;2;-1)$, $\vec{v}=(3;0;2)$, $A(0;1;0)$, $B(2;3;1)$, $C(1;-1;3)$, $D(4;2;2)$.

1. Calculer $\vec{u}\wedge\vec{v}$. Vérifier l'orthogonalité.  2. Aire du parallélogramme $(\vec{u},\vec{v})$.  3. Équation du plan $(ABC)$.  4. $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ?  5. Volume du tétraèdre $ABCD$.

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1
$\vec{u} \wedge \vec{v}$
$\vec{u}=(1;2;-1)$, $\vec{v}=(3;0;2)$
$\vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&-1\\3&0&2\end{vmatrix}$
$= \vec{i}(2\cdot2-(-1)\cdot0) - \vec{j}(1\cdot2-(-1)\cdot3) + \vec{k}(1\cdot0-2\cdot3)$
$= \vec{i}(4) - \vec{j}(2+3) + \vec{k}(-6) = \boxed{(4\,;\,-5\,;\,-6)}$
Vérification : $\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = 4-10+6 = 0$ ✓ · $\vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = 12+0-12 = 0$ ✓
2
Aire du parallélogramme $(\vec{u},\vec{v})$
$\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx \boxed{8{,}77}$ u.a.
3
Équation du plan $(ABC)$
$\overrightarrow{AB} = (2\,;\,2\,;\,1)$ · $\overrightarrow{AC} = (1\,;\,-2\,;\,3)$
Normale : $\vec{n} = \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$
$n_x = 2\cdot3-1\cdot(-2)=8$ · $n_y = 1\cdot1-2\cdot3=-5$ · $n_z = 2\cdot(-2)-2\cdot1=-6$
$\vec{n} = (8\,;\,-5\,;\,-6)$
Plan passant par $A(0;1;0)$ : $8(x-0)-5(y-1)-6(z-0)=0$
$\boxed{8x - 5y - 6z + 5 = 0}$
4
$A$, $B$, $C$, $D$ coplanaires ?
On vérifie si $D(4;2;2)$ appartient au plan $(ABC)$ :
$8\cdot4-5\cdot2-6\cdot2+5 = 32-10-12+5 = 15 \neq 0$
$\Rightarrow D \notin (ABC)$ → les 4 points sont non coplanaires.
5
Volume du tétraèdre $ABCD$
$V = \dfrac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AD})\right|$
$\overrightarrow{AD} = (4;1;2)$
$\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-2&3\\4&1&2\end{vmatrix} = (-4-3\,;\,12-2\,;\,1+8) = (-7\,;\,10\,;\,9)$
$\overrightarrow{AB}\cdot(-7;10;9) = 2\cdot(-7)+2\cdot10+1\cdot9 = -14+20+9 = 15$
$V = \dfrac{|15|}{6} = \boxed{\dfrac{5}{2} = 2{,}5\ \text{u.v.}}$
📐 Plan (ABC) · D hors du plan · Vecteur normal n=(8;−5;−6)
Vue projection xOy · Triangle ABC (bleu) · D (rouge, hors plan) · Normale au plan
8

Pyramide à base carrée — volume, hauteur, sections planes

Difficile
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Exercice 8 — Pyramide à base carrée

Pyramide $SABCD$ : base $ABCD$ carrée de côté $a=4$, sommet $S$ situé au-dessus du centre $O$ de la base à hauteur $h=6$. Repère : $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, $S(2;2;6)$.

1. Volume $V=\frac{1}{3}\times\text{Aire base}\times h$.  2. Longueur de l'arête latérale $SA$.  3. Équation du plan $(SAB)$.  4. Section par le plan $z=3$ : nature et dimensions.  5. Apothème de la pyramide.

👁 Aperçu — Pyramide SABCD vue isométrique (corrigé complet Premium)
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1
Volume de la pyramide
$\mathcal{A}_{\text{base}} = 4^2 = 16$ · $h = 6$
$V = \dfrac{1}{3}\times16\times6 = \boxed{32\ \text{u.v.}}$
2
Longueur de l'arête latérale $SA$
$A(0;0;0)$, $S(2;2;6)$
$SA = \sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2+(6-0)^2} = \sqrt{4+4+36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \approx \boxed{6{,}63}$
3
Équation du plan $(SAB)$
$\overrightarrow{AS} = (2;2;6)$ · $\overrightarrow{AB} = (4;0;0)$
$\vec{n} = \overrightarrow{AS}\wedge\overrightarrow{AB}$
$n_x = 2\cdot0-6\cdot0=0$ · $n_y = 6\cdot4-2\cdot0=24$ · $n_z = 2\cdot0-2\cdot4=-8$
$\vec{n} = (0;24;-8)$, simplifier par 8 : $\vec{n} = (0;3;-1)$
Plan par $A(0;0;0)$ : $3y - z = 0 \Rightarrow \boxed{3y - z = 0}$
4
Section par le plan $z=3$
À la hauteur $z=3 = h/2$, la section est un carré homothétique de la base, de rapport $\dfrac{h-z}{h} = \dfrac{6-3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Côté de la section : $a' = 4\times\dfrac{1}{2} = \boxed{2}$
Section : carré de côté 2, centré en $(2;2;3)$, parallèle à la base.
5
Apothème de la pyramide
L'apothème est la hauteur d'une face triangulaire latérale.
Milieu de $AB$ : $M(2;0;0)$. $\overrightarrow{SM} = (2-2;0-2;0-6) = (0;-2;-6)$
Apothème $= \|\overrightarrow{SM}\| = \sqrt{0+4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx \boxed{6{,}32}$
📐 Pyramide SABCD — Vue xOy + section z=3
Base bleue · Section rouge (z=3) · S au centre en haut · V=32 u.v.
9

Problème complet type Bac — plans, droites, distances

Difficile
▼
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Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso

Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points :

$A(2;1;3)$, $B(0;3;1)$, $C(4;-1;5)$, $D(1;2;-1)$

Partie A — Étude du plan $(ABC)$

1. Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.

2. Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. Vérifier que $D\notin(ABC)$. Calculer $d(D,(ABC))$.

Partie B — Droite et intersection

4. Équation de la droite $(BD)$. Trouver l'intersection de $(BD)$ avec $(ABC)$.

5. Le point $E$ est le pied de la perpendiculaire de $D$ sur $(ABC)$. Trouver les coordonnées de $E$.

Partie C — Volume

6. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

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1
A, B, C non alignés
$\overrightarrow{AB} = (-2;2;-2)$ · $\overrightarrow{AC} = (2;-2;2)$
$\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}$ → les vecteurs sont colinéaires mais dans des directions opposées.
Attends : $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$ et $\overrightarrow{AC}=(4-2;-1-1;5-3)=(2;-2;2) = -\overrightarrow{AB}$
Remarque importante : ici $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}$, donc $A$, $B$, $C$ sont en fait alignés ! $C = 2A - B$.
Vérif : $2A-B = (4-0;2-3;6-1)=(4;-1;5)=C$ ✓
Correction de l'énoncé : pour ce type de problème, prenons $C = (4;1;5)$ :
$\overrightarrow{AC'}=(2;0;2)$ · $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC'} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-2&2&-2\\2&0&2\end{vmatrix}=(4;0;-4) \neq \vec{0}$ → non alignés ✓
Dans tous les sujets Bac réels, vérifier que les points ne sont pas alignés avant de démarrer.
2
Équation cartésienne du plan $(ABC)$ — avec $C'(4;1;5)$
$\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$, $\overrightarrow{AC'}=(2;0;2)$
$\vec{n} = \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC'} = (4;0;-4)$, simplifié : $\vec{n}=(1;0;-1)$
Plan par $A(2;1;3)$ : $(x-2)-0-(z-3)=0 \Rightarrow \boxed{x - z + 1 = 0}$
Vérif : $A$: $2-3+1=0$ ✓ · $B$: $0-1+1=0$ ✓ · $C'$: $4-5+1=0$ ✓
3
$D \notin (ABC)$ et distance $d(D,(ABC))$
$D(1;2;-1)$ : $1-(-1)+1 = 1+1+1 = 3 \neq 0 \Rightarrow D \notin (ABC)$ ✓
$d(D,(ABC)) = \dfrac{|1\cdot1+0\cdot2+(-1)(-1)+1|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}} = \dfrac{|1+1+1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx \boxed{2{,}12}$
4
Droite $(BD)$ et intersection avec $(ABC)$
$B(0;3;1)$, $D(1;2;-1)$, $\overrightarrow{BD}=(1;-1;-2)$
Paramétrique : $(BD) : \begin{cases}x=t\\y=3-t\\z=1-2t\end{cases}$
Intersection avec $x-z+1=0$ : $t-(1-2t)+1=0 \Rightarrow 3t = 0 \Rightarrow t=0$
Point d'intersection : $(0;3;1) = B$ lui-même.
$B$ appartient au plan $(ABC)$ — l'intersection est $B$.
5
Pied de la perpendiculaire de $D$ sur $(ABC)$
La perpendiculaire depuis $D(1;2;-1)$ a pour direction $\vec{n}=(1;0;-1)$ :
$\begin{cases}x=1+s\\y=2\\z=-1-s\end{cases}$
Dans $x-z+1=0$ : $(1+s)-(-1-s)+1=0 \Rightarrow 3+2s=0 \Rightarrow s=-\dfrac{3}{2}$
Pied : $E = \left(-\dfrac{1}{2}\,;\,2\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$
Vérif : $d(D,E) = \sqrt{(3/2)^2+0+(3/2)^2} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ✓
📐 Plan (ABC) · Distance de D au plan · Pied de perpendiculaire E
Vue projection xOy · Plan x−z+1=0 (tirets) · A, B, C' sur le plan · D hors du plan · E = pied ⊥
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Bonjour ! Sur quel exercice avez-vous besoin d'aide ? 😊
Je ne comprends pas la question 2
Bien ! Commençons par identifier ce qui est donné… ✓