Exercices — Algèbre & Complexes

Nombres Complexes, Équations Différentielles & Courbes Paramétrées

Partie 2 sur 3

0 exercices affichés

🔵 Nombres Complexes — Partie I

1

Forme algébrique — parties réelle et imaginaire

Facile
▼

Exercice 1 — Forme algébrique et opérations de base

On donne $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.

1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et $z_2$.

2. Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$. Mettre sous forme algébrique $a + ib$.

3. Calculer $z_1 \times z_2$. Développer et simplifier en utilisant $i^2 = -1$.

1
Parties réelle et imaginaire :
$z_1 = 3 + 2i$ : $\text{Re}(z_1) = 3$  ·  $\text{Im}(z_1) = 2$
$z_2 = 1 - 4i$ : $\text{Re}(z_2) = 1$  ·  $\text{Im}(z_2) = -4$
2
Somme et différence : $$z_1 + z_2 = (3+1) + (2-4)i = \boxed{4 - 2i}$$ $$z_1 - z_2 = (3-1) + (2-(-4))i = \boxed{2 + 6i}$$
3
Produit : $$z_1 \times z_2 = (3+2i)(1-4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2$$ $$= 3 - 10i - 8(-1) = 3 + 8 - 10i = \boxed{11 - 10i}$$
🔵 Plan de Gauss — z₁ (bleu) · z₂ (rouge) · z₁+z₂ (vert) · z₁−z₂ (violet)
Chaque nombre complexe a+ib est représenté par le point (a, b) dans le plan · Glissez z₁ et z₂ pour explorer !
z₁ = 3+2i (déplaçable) z₂ = 1−4i (déplaçable) z₁+z₂ = 4−2i z₁−z₂ = 2+6i
2

Conjugué, module et interprétation géométrique

Facile
▼

Exercice 2 — Conjugué, module et géométrie

On donne $z = 3 - 4i$.

1. Calculer le conjugué $\bar{z}$.

2. Calculer le module $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$.

3. Vérifier que $z \times \bar{z} = |z|^2$.

4. Interpréter géométriquement $\bar{z}$ par rapport à $z$ dans le plan.

1
Conjugué de $z = 3-4i$ :
Le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : $$\boxed{\bar{z} = 3 + 4i}$$
2
Module : $$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \boxed{5}$$
3
Vérification $z \times \bar{z} = |z|^2$ : $$z \times \bar{z} = (3-4i)(3+4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = |z|^2 \checkmark$$
4
Interprétation géométrique :
$z$ et $\bar{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe réel (axe des abscisses). Géométriquement, on obtient $\bar{z}$ en réfléchissant $z$ par rapport à la droite $\text{Im}=0$.
🔵 Plan de Gauss — z = 3−4i (bleu) · z̄ = 3+4i (symétrique, rouge) · Cercle de rayon |z|=5
Déplacez z (bleu) → z̄ (rouge) se met à jour automatiquement par symétrie axiale · Le cercle a pour rayon |z|
z = 3−4i (déplaçable) z̄ = 3+4i (symétrique / axe réel) Cercle |z| = 5
3

Division — forme algébrique du quotient

Moyen
▼

Exercice 3 — Division de nombres complexes

On rappelle la méthode : pour écrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme $a+ib$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.

On donne $z_1 = 5 + i$ et $z_2 = 2 + 3i$.

1. Calculer $\overline{z_2}$ et $|z_2|^2$.

2. Calculer $z_1 \times \overline{z_2}$.

3. En déduire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique $a + ib$.

4. Vérifier en calculant $\dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$ et en retrouvant $z_1$.

1
Conjugué et module au carré :
$\overline{z_2} = 2 - 3i$   ·   $|z_2|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
2
Produit $z_1 \times \overline{z_2}$ : $$z_1 \times \overline{z_2} = (5+i)(2-3i) = 10 - 15i + 2i - 3i^2$$ $$= 10 - 13i + 3 = 13 - 13i$$
3
Quotient : $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \times \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{13 - 13i}{13} = \boxed{1 - i}$$
4
Vérification : $$(1-i)(2+3i) = 2 + 3i - 2i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i = z_1 \checkmark$$
🔵 Plan de Gauss — z₁ = 5+i (bleu) · z₂ = 2+3i (rouge) · z₁/z₂ = 1−i (vert)
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| — le quotient est "plus petit" que z₁ · arg(z₁/z₂) = arg(z₁)−arg(z₂)
4

Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$ — discriminant négatif

Moyen
▼
🔒 Débloquer

Exercice 4 — Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

1. $z^2 + 4 = 0$

2. $z^2 - 2z + 5 = 0$

3. $2z^2 + z + 1 = 0$

Pour chacune, calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta < 0$, écrire $\Delta = -|\Delta|$ et utiliser $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$.

👁 Aperçu — Racines complexes de z²−2z+5=0 (corrigé complet en Premium)
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1
$z^2 + 4 = 0$
$z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$
$\Delta = 0 - 16 = -16 < 0$ · $\sqrt{-\Delta} = 4$
$$\boxed{z_1 = 2i \quad \text{et} \quad z_2 = -2i}$$
2
$z^2 - 2z + 5 = 0$
$\Delta = (-2)^2 - 4\times 5 = 4 - 20 = -16 < 0$
$\sqrt{-\Delta} = 4$, donc $\sqrt{\Delta} = 4i$
$$z = \frac{2 \pm 4i}{2} \Rightarrow \boxed{z_1 = 1 + 2i \quad \text{et} \quad z_2 = 1 - 2i}$$ Vérification : $z_1 + z_2 = 2 = -b/a$ ✓ · $z_1 z_2 = 1+4 = 5 = c/a$ ✓
3
$2z^2 + z + 1 = 0$
$\Delta = 1 - 8 = -7 < 0$ · $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{7}$
$$z = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{4} \Rightarrow \boxed{z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{4} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{7}}{4}}$$ Les racines sont toujours conjuguées lorsque les coefficients sont réels.
📐 Plan complexe — racines des trois équations
Les racines complexes d'une équation à coefficients réels sont toujours symétriques par rapport à l'axe réel
5

Forme trigonométrique — module et argument — type Bac

Difficile
▼
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Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac

On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.

1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.

3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.

5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.

👁 Aperçu — z₁ = 1+i√3 et z₂ = √3−i sur le plan d'Argand (corrigé en Premium)
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1
Modules
$|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \boxed{2}$
$|z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \boxed{2}$
$|z_1 z_2| = |z_1|\cdot|z_2| = 2\times 2 = \boxed{4}$
$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} = \dfrac{2}{2} = \boxed{1}$
2
Arguments
$z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ : $\cos\theta_1 = \dfrac{1}{2}$, $\sin\theta_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \arg(z_1) = \boxed{\dfrac{\pi}{3}}$
$z_2 = \sqrt{3} - i$ : $\cos\theta_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta_2 = -\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow \arg(z_2) = \boxed{-\dfrac{\pi}{6}}$
3
Formes trigonométriques
$$z_1 = 2\!\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}$$ $$z_2 = 2\!\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2e^{-i\pi/6}$$
4
Arguments du produit et du quotient
$\arg(z_1 z_2) = \dfrac{\pi}{3} + \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{2\pi-\pi}{6} = \boxed{\dfrac{\pi}{6}}$
$\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \dfrac{\pi}{3} - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
Vérification algébrique :
$z_1 z_2 = (1+i\sqrt{3})(\sqrt{3}-i) = \sqrt{3}-i+3i-i^2\sqrt{3} = \sqrt{3}+2i+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}+2i$
$|z_1 z_2|=4$ ✓ · $\arg = \arctan\!\left(\dfrac{2}{2\sqrt{3}}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{\pi}{6}$ ✓
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2e^{i\pi/3}}{2e^{-i\pi/6}}=e^{i\pi/2}=i \Rightarrow \arg=\dfrac{\pi}{2}$ ✓
5
Placement dans le plan complexe
$z_1=1+i\sqrt{3}$ · $z_2=\sqrt{3}-i$ · $z_1z_2=2\sqrt{3}+2i$ · $\dfrac{z_1}{z_2}=i$
Les quatre points sont placés sur le graphique ci-dessous avec leurs arcs.
📐 Plan complexe — z₁, z₂, z₁z₂ et z₁/z₂ sur le cercle trigonométrique
|z₁|=|z₂|=2 · |z₁z₂|=4 · z₁/z₂=i (module 1) · Les arcs matérialisent les arguments
6

Équations et lieu géométrique dans $\mathbb{C}$ — niveau Bac

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 6 — Équations et lieu géométrique — niveau Bac

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe ($x, y \in \mathbb{R}$).

Partie A — Équation dans $\mathbb{C}$

1. Résoudre $z^2 = -3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$. (Poser $z = a+ib$ et identifier les parties réelle et imaginaire.)

2. En déduire les solutions de $Z^2 + 2Z + (1+i) = 0$ dans $\mathbb{C}$, où $Z \in \mathbb{C}$.

Partie B — Lieu géométrique

3. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.

4. Quelle est la nature de cet ensemble ? Le tracer dans le plan.

5. Déterminer l'ensemble des points tels que $|z - 2| \leq 3$. Nature géométrique ?

👁 Aperçu — |z−1|=|z+i| est une droite · |z−2|≤3 est un disque (Premium)
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1
Résoudre $z^2 = -3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$
On pose $z = a + ib$ ($a,b\in\mathbb{R}$). Alors :
$a^2 - b^2 = -3$ · $2ab = 4 \Rightarrow b = \dfrac{2}{a}$
Substitution : $a^2 - \dfrac{4}{a^2} = -3 \Rightarrow a^4 + 3a^2 - 4 = 0$
Posons $X = a^2$ : $(X+4)(X-1) = 0 \Rightarrow X = 1$ (car $X \geq 0$)
$a = \pm 1$ · Si $a=1$ : $b=2$ · Si $a=-1$ : $b=-2$
$$\boxed{z = 1+2i \quad \text{ou} \quad z = -1-2i}$$
2
Solutions de $Z^2 + 2Z + (1+i) = 0$
$\Delta = 4 - 4(1+i) = -4i$
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4i}$ : posons $|-4i|=4$, $\arg(-4i)=-\dfrac{\pi}{2}$, donc $\sqrt{-4i} = 2e^{-i\pi/4} = \sqrt{2}-i\sqrt{2}$ (ou son opposé).
$$Z = \frac{-2 \pm (\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{2} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$$ $$\boxed{Z_1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad Z_2 = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
3
Ensemble $|z-1| = |z+i|$
Avec $z = x+iy$ : $(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+1)^2$
$x^2-2x+1+y^2 = x^2+y^2+2y+1$
$-2x = 2y \Rightarrow \boxed{y = -x}$
C'est la médiatrice du segment $[AB]$ où $A(1)$ et $B(-i)$.
4
Nature : droite $y = -x$
L'ensemble est la droite de pente $-1$ passant par l'origine.
Elle est perpendiculaire à $AB$ et passe par le milieu de $[AB]$, qui est $M\!\left(\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$. ✓
5
Ensemble $|z-2| \leq 2$
$(x-2)^2 + y^2 \leq 4$ : c'est le disque fermé de centre $\Omega(2\,;\,0)$ et de rayon $2$.
Il contient les points à distance $\leq 2$ de l'affixe $2$.
📐 Plan complexe — droite y=−x (médiatrice) et disque |z−2|≤2
Droite verte = |z−1|=|z+i| · Disque bleu = |z−2|≤2 · Points A(1;0) et B(0;−1)

🔵 Nombres Complexes — Partie II

1

Forme exponentielle — formule d'Euler

Facile
▼

Exercice 1 — Forme exponentielle

Formule d'Euler : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

Écrire sous forme $re^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in]{-\pi;\pi}]$) :

1. $z_1=1+i$  2. $z_2=-\sqrt{3}+i$  3. $z_3=-2i$

Mettre sous forme algébrique : $z_4=3e^{i\pi/6}$

1
$|z_1|=\sqrt{2}$, $\arg=\dfrac{\pi}{4}$ → $\boxed{z_1=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}}$
2
$|z_2|=2$, $\arg=\dfrac{5\pi}{6}$ → $\boxed{z_2=2\,e^{i5\pi/6}}$
3
$|z_3|=2$, $\arg=-\dfrac{\pi}{2}$ → $\boxed{z_3=2\,e^{-i\pi/2}}$
4
$z_4=3\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i}$
🔵 Plan de Gauss — z₁ (bleu) · z₂ (rouge) · z₃ (vert)
Chaque reⁱᶿ est à distance r de l'origine, à l'angle θ de l'axe réel
z₁=√2·eⁱᵖⁱ/⁴ z₂=2·e^i5π/6 z₃=2·e^−iπ/2
2

Puissances et formule de De Moivre

Facile
▼

Exercice 2 — De Moivre

$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$

1. $(1+i)^8$  2. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)^{12}$  3. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ : exprimer $\cos3\theta$, $\sin3\theta$.

1
$1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ → $(1+i)^8=16e^{i2\pi}=\boxed{16}$
2
$e^{i\pi/6}$ → $(e^{i\pi/6})^{12}=e^{i2\pi}=\boxed{1}$
3
$\boxed{\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta}$ · $\boxed{\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta}$
🔵 Spirale des puissances de (1+i) — (1+i)⁸=16 (rouge)
Chaque ×(1+i) tourne de π/4 et multiplie le module par √2 · Au 8ème : réel positif = 16
3

De Moivre et formules trigonométriques

Moyen
▼

Exercice 3 — Trigonométrie via De Moivre

1. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$ : $\cos4\theta$ et $\sin4\theta$.

2. Exprimer $\cos4\theta$ en fonction de $\cos\theta$ seul.

3. Montrer $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$.

4. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$.

1
$\cos4\theta=\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta$ · $\sin4\theta=4\cos\theta\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$
2
$\boxed{\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1}$
3
$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ → $\cos^2\theta=\frac{2\cos2\theta+2}{4}=\boxed{\dfrac{1+\cos2\theta}{2}}$
4
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}$
📈 cos²θ = (1+cos2θ)/2 — Aire sur [0 ; π/2] = π/4 ≈ 0,785
Bleu = cos²θ · Orange = (1+cos2θ)/2 · Les deux courbes sont identiques · Aire colorée = π/4
4

Racines $n$-ièmes de l'unité — polygones réguliers

Moyen
▼
🔒 Débloquer

Exercice 4 — Racines $n$-ièmes de l'unité

Les $n$ racines de $z^n=1$ sont $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, $k=0,\ldots,n-1$.

1. 4 racines de $z^4=1$  2. Racines cubiques — somme nulle  3. Géométrie  4. $z^6=-64$

👁 Aperçu — Les 4 racines 4-ièmes forment un carré (corrigé Premium)
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1
4 racines de $z^4 = 1$
$\omega_k = e^{ik\pi/2}$, $k = 0,1,2,3$ :
$$\omega_0=1 \quad \omega_1=e^{i\pi/2}=i \quad \omega_2=e^{i\pi}=-1 \quad \omega_3=e^{i3\pi/2}=-i$$ Ces 4 points forment un carré inscrit dans le cercle unité.
2
Racines cubiques — somme nulle
$j = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · $j^2 = e^{4i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$1 + j + j^2 = 0$ car c'est la somme de toutes les racines de $z^3-1=0$, et le coefficient de $z^2$ est nul.
Vérification : $1 + (-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = 1-1 = 0$ ✓
Ces 3 points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
3
Géométrie — polygone régulier
Les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec un sommet en $(1,0)$.
4
Racines de $z^6 = -64$
$z^6 = 64e^{i\pi}$ (car $-64 = 64\cdot e^{i\pi}$)
$|z|^6 = 64 \Rightarrow |z| = 64^{1/6} = (2^6)^{1/6} = 2$
$\arg(z) = \dfrac{\pi + 2k\pi}{6}$ pour $k = 0,1,2,3,4,5$ :
$$z_k = 2\,e^{i\frac{(2k+1)\pi}{6}} \quad k = 0,1,2,3,4,5$$ Les 6 racines forment un hexagone régulier de rayon 2, tourné de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l'hexagone standard.
📐 Racines de l'unité — carré (z⁴=1) · triangle (z³=1) · hexagone (z⁶=−64)
Bleu = z⁴=1 (carré) · Vert = z³=1 (triangle équilatéral) · Orange = z⁶=−64 (hexagone rayon 2)
5

Transformations du plan complexe — type Bac

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 5 — Similitude : $f(z)=(1+i)z+2-i$

1. Rapport $k$, angle  2. Point fixe $\Omega$  3. $f(1+2i)$  4. Image de $|z-1|=2$  5. $f\circ f$

👁 Aperçu — Cercle original (bleu) et image (rouge), k=√2, angle π/4 (corrigé Premium)
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1
Rapport $k$ et angle $\theta$
$f(z) = az + b$ avec $a = 1+i$.
$k = |a| = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \boxed{\sqrt{2}}$ (agrandissement de rapport $\sqrt{2}$)
$\theta = \arg(a) = \arg(1+i) = \boxed{\dfrac{\pi}{4}}$ (rotation d'angle $45°$)
C'est une similitude directe de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$.
2
Point fixe $\Omega$
$f(\Omega) = \Omega \Rightarrow (1+i)\Omega + 2-i = \Omega \Rightarrow i\Omega = -(2-i) = -2+i$
$\Omega = \dfrac{-2+i}{i} = \dfrac{(-2+i)\cdot(-i)}{i\cdot(-i)} = \dfrac{2i-i^2}{1} = 1 + 2i$
$$\boxed{\Omega = 1+2i}$$ Le centre de la similitude est le point $\Omega(1\,;\,2)$.
3
Image de $z_0 = 1+2i$
$f(1+2i) = (1+i)(1+2i) + 2-i$
$(1+i)(1+2i) = 1+2i+i+2i^2 = 1+3i-2 = -1+3i$
$f(1+2i) = -1+3i+2-i = \boxed{1+2i}$ ✓ (c'est bien $\Omega$, point fixe)
4
Image du cercle $|z-1|=2$
Le cercle a pour centre $\omega_0 = 1$ (d'affixe 1) et rayon $r=2$.
Image du centre : $f(1) = (1+i)\cdot 1 + 2-i = 1+i+2-i = 3$
Image du rayon : $k\cdot r = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}$
L'image est le cercle de centre 3 et de rayon $2\sqrt{2}$, soit $|z-3| = 2\sqrt{2}$.
5
$f \circ f$
$f(f(z)) = (1+i)[(1+i)z+2-i]+2-i = (1+i)^2 z + (1+i)(2-i)+2-i$
$(1+i)^2 = 2i$ · $(1+i)(2-i) = 2-i+2i-i^2 = 2+i+1 = 3+i$
$f\circ f(z) = 2iz + (3+i) + (2-i) = 2iz + 5$
$$\boxed{f\circ f(z) = 2iz + 5}$$ C'est une similitude de rapport $|2i|=2$ et d'angle $\arg(2i)=\dfrac{\pi}{2}$.
📐 f(z)=(1+i)z+2−i · Cercle original et image · Point fixe Ω(1;2)
Cercle bleu : |z−1|=2 · Cercle rouge : image |z−3|=2√2 · Point fixe Ω(1;2) · Rapport √2, angle π/4
6

Géométrie dans le plan complexe — niveau Bac

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$

$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.

👁 Aperçu — Triangle ABC et médianes (corrigé Premium)
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1
Calcul de $\dfrac{b-a}{c-a}$ et nature du triangle
$a=2$, $b=2i$, $c=-1+i$
$b-a = 2i-2 = -2+2i$ · $c-a = -1+i-2 = -3+i$
$\dfrac{b-a}{c-a} = \dfrac{-2+2i}{-3+i}\cdot\dfrac{-3-i}{-3-i} = \dfrac{(-2+2i)(-3-i)}{10} = \dfrac{6+2i-6i-2i^2}{10} = \dfrac{8-4i}{10} = \dfrac{4-2i}{5}$
$\left|\dfrac{b-a}{c-a}\right| = \dfrac{\sqrt{16+4}}{5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \neq 1$ : triangle non isocèle en $A$.
Angle droit en B : $\dfrac{a-b}{c-b} = \dfrac{2-2i}{-1+i-2i} = \dfrac{2-2i}{-1-i}\cdot\dfrac{-1+i}{-1+i} = \dfrac{(2-2i)(-1+i)}{2} = \dfrac{-2+2i+2i-2i^2}{2} = \dfrac{2i^2\cdot(-1)+4i}{2}$
Plus simplement : $(2-2i)/(-1-i) = (2-2i)(-1+i)/2 = (-2+2i+2i+2)/2 = 4i/2 = 2i$
$\arg(2i) = \dfrac{\pi}{2}$ → angle droit en $B$ ✓ · Triangle rectangle en $B$.
2
Parallélogramme $ABDC$
Dans $ABDC$ (attention à l'ordre), les diagonales $AC$ et $BD$ ont le même milieu.
Milieu de $AC$ : $\dfrac{2+(-1+i)}{2} = \dfrac{1+i}{2}$
Milieu de $BD = \dfrac{2i+d}{2}$ · Égalité : $2i+d = 1+i \Rightarrow \boxed{d = 1-i}$
Le 4ème sommet $D$ a pour affixe $1-i$.
3
Centre de gravité
$g = \dfrac{a+b+c}{3} = \dfrac{2+2i+(-1+i)}{3} = \dfrac{1+3i}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}+i}$
Le centre de gravité $G$ a pour affixe $\dfrac{1}{3}+i$, soit les coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}\,;\,1\right)$.
4
Ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$
$\left|\dfrac{z-2}{z-2i}\right|=1 \Rightarrow |z-2|=|z-2i|$
Avec $z=x+iy$ : $(x-2)^2+y^2 = x^2+(y-2)^2$
$-4x+4 = -4y+4 \Rightarrow -4x=-4y \Rightarrow \boxed{y=x}$
C'est la médiatrice de $[AB]$, droite $y=x$.
📐 Triangle ABC rectangle en B · D(1−i) · G(⅓;1) · Médiatrice AB : y=x
Triangle bleu rectangle en B · G centre de gravité (orange) · Droite verte = médiatrice de AB

📉 Équations Différentielles

1

Équation $y'=ay$ — famille de solutions

Facile
▼

Exercice 1 — $y'=2y$

1. Vérifier $y=Ce^{2x}$ est solution.  2. Solution avec $y(0)=3$.  3. Toutes les solutions de $y'=-y$.

1
$y'=2Ce^{2x}=2y$ ✓ — Solutions de $y'=2y$ : $\{Ce^{2x},\;C\in\mathbb{R}\}$
2
$y(0)=C=3$ → $\boxed{y=3e^{2x}}$
3
$\boxed{y=Ce^{-x}}$, $C\in\mathbb{R}$ — toutes convergent vers 0.
📈 Famille y=Ce⁻ˣ pour C=−3 à 3
Toutes convergent vers 0 · C=0 = solution nulle (pointillé)
2

Équation $y'+ay=b$ — solution générale et particulière

Facile
▼

Exercice 2 — $y'+2y=6$

1. Équation homogène $(H)$  2. Solution particulière constante  3. Solution générale  4. Solution avec $y(0)=1$, limite en $+\infty$

1
$y_H=Ce^{-2x}$
2
$2y_p=6$ → $\boxed{y_p=3}$
3
$\boxed{y=Ce^{-2x}+3}$
4
$C=-2$ → $y=-2e^{-2x}+3$ · $\lim_{+\infty}y=3$
📈 Famille y=Ce⁻²ˣ+3 · Solution y(0)=1 (rouge) · Asymptote y=3
Toutes les solutions convergent vers y=3 · Courbe rouge : y(0)=1
3

Variables séparables — refroidissement de Newton

Moyen
▼

Exercice 3 — Variables séparables

A. Résoudre $y'=xy$, $y(0)=2$.

B. Refroidissement de Newton : $T'=-0{,}1(T-20)$, $T(0)=80$°C. Trouver $T(t)$ et $T(10)$.

A
$\frac{dy}{y}=x\,dx$ → $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+K$ → $\boxed{y=2e^{x^2/2}}$
B
$u=T-20$, $u'=-0{,}1u$ → $C=60$ → $\boxed{T(t)=20+60e^{-0{,}1t}}$ · $T(10)\approx\boxed{42{,}1°\text{C}}$
🌡️ Refroidissement de Newton — T(t)=20+60e⁻⁰·¹ᵗ
La température décroît vers Tₐ=20°C · T(10)≈42°C
4

ED du 2ⁿᵈ ordre $y''+py'+qy=0$ — équation caractéristique

Moyen
▼
🔒 Débloquer

Exercice 4 — Équation caractéristique

1. $y''-5y'+6y=0$ ($\Delta>0$)  2. $y''-4y'+4y=0$ ($\Delta=0$)  3. $y''-2y'+5y=0$ ($\Delta<0$)

👁 Aperçu — 3 comportements selon le signe de Δ (corrigé Premium)
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1
$y'' - 5y' + 6y = 0$ — $\Delta > 0$
Équation caractéristique : $r^2 - 5r + 6 = 0$
$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ · $r_1 = 3$, $r_2 = 2$
$$\boxed{y = Ae^{3x} + Be^{2x}, \quad A,B \in \mathbb{R}}$$
2
$y'' - 4y' + 4y = 0$ — $\Delta = 0$
Équation caractéristique : $r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2 = 0$
Racine double $r = 2$
$$\boxed{y = (Ax + B)e^{2x}, \quad A,B \in \mathbb{R}}$$
3
$y'' - 2y' + 5y = 0$ — $\Delta < 0$
Équation caractéristique : $r^2 - 2r + 5 = 0$
$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ · $r = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$
$\alpha = 1$, $\beta = 2$
$$\boxed{y = e^x(A\cos 2x + B\sin 2x), \quad A,B \in \mathbb{R}}$$
4
Tableau récapitulatif
$\Delta > 0$ : deux racines réelles $r_1 \neq r_2$ → $y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$
$\Delta = 0$ : racine double $r$ → $y = (Ax+B)e^{rx}$
$\Delta < 0$ : racines complexes $\alpha \pm i\beta$ → $y = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$
📈 Familles de solutions des 3 équations (A=B=1)
Éq1 (bleu) : Ae³ˣ+Be²ˣ · Éq2 (rouge) : (x+1)e²ˣ · Éq3 (vert) : eˣcos(2x)
5

ED 2ⁿᵈ ordre avec second membre — niveau Bac

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 5 — $y''-3y'+2y=4e^{3x}$

1. Résoudre $(H)$  2. $y_p=Ae^{3x}$  3. Solution générale  4. $y(0)=0$, $y'(0)=1$

👁 Aperçu — Solution de Cauchy y(0)=0, y'(0)=1 (corrigé Premium)
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1
Solution générale de $(H) : y'' - 3y' + 2y = 0$
Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0$
Racines : $r_1 = 1$, $r_2 = 2$
$$y_H = Ae^x + Be^{2x}$$
2
Solution particulière $y_p = Ae^{3x}$
$3$ n'est pas racine de l'équation caractéristique → on pose $y_p = Ae^{3x}$.
$y_p' = 3Ae^{3x}$ · $y_p'' = 9Ae^{3x}$
Substitution : $9Ae^{3x} - 9Ae^{3x} + 2Ae^{3x} = 4e^{3x}$
$2Ae^{3x} = 4e^{3x} \Rightarrow \boxed{A = 2}$
$y_p = 2e^{3x}$
3
Solution générale complète
$$\boxed{y = Ae^x + Be^{2x} + 2e^{3x}, \quad A,B \in \mathbb{R}}$$
4
Problème de Cauchy : $y(0)=0$, $y'(0)=1$
$y(0) = A + B + 2 = 0 \Rightarrow A + B = -2 \quad (1)$
$y' = Ae^x + 2Be^{2x} + 6e^{3x}$
$y'(0) = A + 2B + 6 = 1 \Rightarrow A + 2B = -5 \quad (2)$
$(2)-(1)$ : $B = -3$ · $(1)$ : $A = -2-(-3) = 1$
$$\boxed{y = e^x - 3e^{2x} + 2e^{3x}}$$
📈 Solution particulière eˣ − 3e²ˣ + 2e³ˣ vérifiant y(0)=0, y'(0)=1
Courbe bleue = solution · Point vert = y(0)=0 · Pente = y'(0)=1 (tangente rouge)
6

Problème de Cauchy — circuit RC — niveau Bac

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 6 — Cauchy et circuit RC

A. $\begin{cases}y'-y=e^x\\y(0)=1\end{cases}$ — chercher $y_p=axe^x$

B. $RC\,u'+u=12$, $R=1000\,\Omega$, $C=10^{-3}\,\text{F}$, $u(0)=0$. Résoudre, calculer $u(1)$, quand $u>11$ V ?

👁 Aperçu — Charge du condensateur u(t)=12(1−e⁻ᵗ) (corrigé Premium)
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1
Partie A — Problème de Cauchy $y' - y = e^x$, $y(0)=1$
Homogène : $y_H = Ce^x$
Solution particulière : $1$ est racine de l'équation caractéristique → on cherche $y_p = axe^x$.
$y_p' = ae^x + axe^x = a(1+x)e^x$
Substitution : $a(1+x)e^x - axe^x = ae^x = e^x \Rightarrow \boxed{a=1}$
$y_p = xe^x$
Solution générale : $y = (C+x)e^x$
Condition $y(0)=1$ : $(C+0)e^0 = C = 1$
$$\boxed{y = (1+x)e^x}$$
2
Partie B — Circuit RC : $RC\,u' + u = 12$
$R = 1000\ \Omega$, $C = 10^{-3}\ \text{F}$ → $RC = 1\ \text{s}$
Équation : $u' + u = 12$, $u(0)=0$
Homogène : $u_H = Ke^{-t}$
Particulière : $u_p = 12$ (constante, car $0$ n'est pas racine)
Solution générale : $u = 12 + Ke^{-t}$
$u(0)=0$ : $12 + K = 0 \Rightarrow K = -12$
$$\boxed{u(t) = 12(1 - e^{-t})}$$
3
Calcul de $u(1)$
$u(1) = 12(1 - e^{-1}) = 12\left(1 - \dfrac{1}{e}\right) \approx 12 \times 0{,}6321 \approx \boxed{7{,}59\ \text{V}}$
4
Quand $u(t) > 11\ \text{V}$ ?
$12(1-e^{-t}) > 11 \Rightarrow 1-e^{-t} > \dfrac{11}{12} \Rightarrow e^{-t} < \dfrac{1}{12}$
$-t < -\ln 12 \Rightarrow t > \ln 12 \approx \boxed{2{,}485\ \text{s}}$
La tension dépasse 11 V après environ 2,5 secondes.
⚡ u(t) = 12(1−e⁻ᵗ) — Charge du condensateur (circuit RC)
Asymptote U=12V · u(1)≈7,59V · Seuil 11V atteint à t≈2,5s (tirets rouges)

〰️ Courbes Paramétrées

1

Représentation paramétrique d'un cercle — tangente

Facile
▼

Exercice 1 — Cercle de rayon 2

On considère la courbe $(\mathcal{C})$ paramétrée par :

$$\begin{cases}x(t)=2\cos t\\y(t)=2\sin t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,2\pi]$$

1. Reconnaître la courbe. Tracer.

2. Calculer $x'(t)$, $y'(t)$. En quel point la tangente est-elle horizontale ? Verticale ?

3. Équation de la tangente en $t=\dfrac{\pi}{4}$.

1
$x^2+y^2=4\cos^2t+4\sin^2t=4$ → cercle de centre O, rayon $r=2$.
2
$x'(t)=-2\sin t$, $y'(t)=2\cos t$.
Tangente horizontale ($y'=0$) : $t=\dfrac{\pi}{2}$ et $t=\dfrac{3\pi}{2}$ → points $(0,2)$ et $(0,-2)$.
Tangente verticale ($x'=0$) : $t=0$ et $t=\pi$ → points $(2,0)$ et $(-2,0)$.
3
En $t=\tfrac{\pi}{4}$ : $M=(\sqrt{2},\sqrt{2})$, pente $\dfrac{y'}{x'}=\dfrac{2\cos(\pi/4)}{-2\sin(\pi/4)}=-1$.
Tangente : $y-\sqrt{2}=-(x-\sqrt{2})$ → $\boxed{y=-x+2\sqrt{2}}$
📈 Cercle x=2cos t, y=2sin t · Tangentes en t=π/4 et points remarquables
Les flèches orange indiquent le sens de parcours · La droite rouge = tangente en t=π/4
2

Élimination du paramètre — parabole

Facile
▼

Exercice 2 — Élimination et parabole

$$\begin{cases}x(t)=t^2\\y(t)=2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$$

1. Éliminer $t$ et reconnaître la courbe.

2. Calcul de $\dfrac{dy}{dx}$. Tangente en $t=1$.

3. Points de rebroussement éventuels.

1
$t=\dfrac{y}{2}$ → $x=\dfrac{y^2}{4}$ → $\boxed{y^2=4x}$ : parabole de sommet O, axe $Ox$.
2
$x'=2t$, $y'=2$ → $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{t}$.
En $t=1$ : $M=(1,2)$, pente $=1$ → tangente $\boxed{y=x+1}$.
3
En $t=0$ : $x'=0$ et $y'=2\ne0$ → tangente verticale, pas de rebroussement. La courbe est régulière.
📈 Parabole y²=4x — Paramétrique (t de −3 à 3) — Tangente en t=1 (rouge)
La courbe est tracée de t=−3 (bas) à t=3 (haut) · Point M(1,2) en rouge
3

Étude complète — ellipse

Moyen
▼

Exercice 3 — Étude d'une ellipse

$$\begin{cases}x(t)=3\cos t\\y(t)=2\sin t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,2\pi]$$

1. Éliminer $t$ : reconnaître la courbe. Demi-axes.

2. Symétries. Points d'intersection avec les axes.

3. Tangentes horizontales et verticales. Tableau de variation.

4. Tracer l'ellipse et indiquer les foyers $F_1$, $F_2$ ($c=\sqrt{a^2-b^2}$).

1
$\cos t=\dfrac{x}{3}$, $\sin t=\dfrac{y}{2}$ → $\boxed{\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1}$ : ellipse, $a=3$, $b=2$.
2
Symétrie par rapport aux deux axes. Points : $(\pm3,0)$ et $(0,\pm2)$.
3
$x'=-3\sin t$, $y'=2\cos t$.
H ($y'=0$) : $t=\frac{\pi}{2}$, $t=\frac{3\pi}{2}$ → $(0,\pm2)$.
V ($x'=0$) : $t=0$, $t=\pi$ → $(\pm3,0)$.
4
$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx2{,}24$ → foyers $F_1(-\sqrt{5},0)$ et $F_2(\sqrt{5},0)$.
📈 Ellipse x²/9+y²/4=1 · Foyers F₁,F₂ (orange) · Tangentes aux sommets
a=3 (demi-grand axe horizontal) · b=2 (demi-petit axe) · c=√5 (distance focale)
4

Cycloïde — courbe remarquable

Moyen
▼
🔒 Débloquer

Exercice 4 — Cycloïde

Un cercle de rayon $r=1$ roule sans glisser sur l'axe $Ox$. Un point du cercle trace une cycloïde :

$$\begin{cases}x(t)=t-\sin t\\y(t)=1-\cos t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,4\pi]$$

1. Points de rebroussement (chercher $x'=y'=0$).

2. Tangente en $t=\pi$.  3. Longueur d'un arc ($L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$).

4. Aire sous un arc ($A=\int_0^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt$).

👁 Aperçu — Cycloïde sur [0 ; 4π] (corrigé complet en Premium)
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1
Points de rebroussement ($x'=y'=0$)
$x'(t) = 1 - \cos t$ · $y'(t) = \sin t$
$x'(t)=0 \Leftrightarrow \cos t = 1 \Leftrightarrow t = 2k\pi$
$y'(t)=0 \Leftrightarrow \sin t = 0 \Leftrightarrow t = k\pi$
Les deux sont nuls simultanément pour $t = 2k\pi$.
Sur $[0\,;\,4\pi]$ : $t=0$, $t=2\pi$, $t=4\pi$
Points correspondants : $(0,0)$, $(2\pi, 0)$, $(4\pi, 0)$ → pointes sur l'axe $Ox$.
2
Tangente en $t=\pi$
$x(\pi) = \pi - \sin\pi = \pi$ · $y(\pi) = 1 - \cos\pi = 2$
$x'(\pi) = 1-\cos\pi = 2$ · $y'(\pi) = \sin\pi = 0$
Direction : vecteur $(2,0)$ → tangente horizontale au point $(\pi\,;\,2)$.
C'est le sommet de la cycloïde (point le plus haut du premier arc).
3
Longueur d'un arc sur $[0\,;\,2\pi]$
$L = \displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt = \int_0^{2\pi}\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}\,dt$
$(1-\cos t)^2+\sin^2 t = 1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t = 2(1-\cos t) = 4\sin^2\!\dfrac{t}{2}$
$\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\left|\sin\dfrac{t}{2}\right| = 2\sin\dfrac{t}{2}$ (positif sur $[0,2\pi]$)
$L = \displaystyle\int_0^{2\pi}2\sin\frac{t}{2}\,dt = \left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -4\cos\pi+4\cos 0 = 4+4 = \boxed{8}$ unités
4
Aire sous un arc $A = \displaystyle\int_0^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt$
$A = \displaystyle\int_0^{2\pi}(1-\cos t)(1-\cos t)\,dt = \int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt$
$(1-\cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t = 1 - 2\cos t + \dfrac{1+\cos 2t}{2} = \dfrac{3}{2} - 2\cos t + \dfrac{\cos 2t}{2}$
$A = \left[\dfrac{3t}{2} - 2\sin t + \dfrac{\sin 2t}{4}\right]_0^{2\pi} = 3\pi - 0 + 0 = \boxed{3\pi}$ u.a.
📐 Cycloïde x(t)=t−sin(t), y(t)=1−cos(t) sur [0 ; 4π]
Pointes en t=0, 2π, 4π · Sommet en t=π : (π ; 2) · Longueur d'un arc = 8 · Aire = 3π
5

Spirale d'Archimède — coordonnées polaires

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 5 — Spirale d'Archimède

En coordonnées polaires : $\rho=\theta$ ($\theta\geq0$), ce qui donne en paramétrique :

$$\begin{cases}x(\theta)=\theta\cos\theta\\y(\theta)=\theta\sin\theta\end{cases}$$

1. Tracer pour $\theta\in[0\,;\,4\pi]$.  2. Tangente en $\theta=\dfrac{\pi}{2}$.  3. Longueur pour $\theta\in[0\,;\,2\pi]$.  4. Aire du premier tour.

👁 Aperçu — Spirale d'Archimède ρ=θ (corrigé complet en Premium)
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1
Tracé pour $\theta \in [0\,;\,4\pi]$
Quelques points clés :
$\theta=0$ : $(0,0)$ · $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ : $(0, \dfrac{\pi}{2})$ · $\theta=\pi$ : $(-\pi, 0)$ · $\theta=2\pi$ : $(2\pi, 0)$
La courbe s'enroule en s'éloignant de l'origine, chaque tour augmentant le rayon de $2\pi$.
2
Tangente en $\theta = \dfrac{\pi}{2}$
$x'(\theta) = \cos\theta - \theta\sin\theta$ · $y'(\theta) = \sin\theta + \theta\cos\theta$
En $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ : $x'=\cos\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\sin\dfrac{\pi}{2} = 0-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}$
$y'=\sin\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}{2} = 1+0=1$
Point : $\left(0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ · Direction $\left(-\dfrac{\pi}{2}\,;\,1\right)$ · Pente : $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{-\pi/2}=-\dfrac{2}{\pi}$
Tangente : $y - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2}{\pi}(x-0) \Rightarrow \boxed{y = -\dfrac{2}{\pi}x + \dfrac{\pi}{2}}$
3
Longueur pour $\theta \in [0\,;\,2\pi]$
$x'^2 + y'^2 = (\cos\theta-\theta\sin\theta)^2 + (\sin\theta+\theta\cos\theta)^2 = 1 + \theta^2$
(après développement et simplification en utilisant $\cos^2+\sin^2=1$)
$L = \displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta$
En utilisant la primitive standard : $\displaystyle\int\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta = \dfrac{\theta\sqrt{1+\theta^2}}{2}+\dfrac{\ln(\theta+\sqrt{1+\theta^2})}{2}$
$L \approx \dfrac{2\pi\sqrt{1+4\pi^2}}{2}+\dfrac{\ln(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2})}{2} \approx \boxed{21{,}26}$ unités
4
Aire du premier tour $\theta \in [0\,;\,2\pi]$
En coordonnées polaires : $A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}\rho^2\,d\theta = \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}\theta^2\,d\theta$
$A = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\theta^3}{3}\right]_0^{2\pi} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{8\pi^3}{3} = \boxed{\dfrac{4\pi^3}{3} \approx 41{,}3}$ u.a.
🌀 Spirale d'Archimède ρ=θ · 2 tours pour θ∈[0 ; 4π]
Spirale bleue · Tangente rouge en θ=π/2 · Chaque tour augmente de 2π
6

Astroïde et rose polaire — niveau Bac

Difficile
▼
🔒 Débloquer

Exercice 6 — Astroïde et rose à 4 pétales

Partie A — Astroïde ($a=2$) :

$$\begin{cases}x=2\cos^3t\\y=2\sin^3t\end{cases}$$

1. Points de rebroussement.  2. Longueur totale ($L=6a$).  3. Aire intérieure ($A=\frac{3\pi a^2}{8}$).

Partie B — Rose polaire : $\rho=\cos(2\theta)$, $\theta\in[0\,;\,2\pi]$.

4. Tracer et compter les pétales.  5. Aire d'un pétale.

👁 Aperçu — Astroïde (bleu) et rose ρ=cos(2θ) (rouge) (corrigé Premium)
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1
Partie A — Astroïde ($a=2$)
Points de rebroussement :
$x'(t) = -6\cos^2t\sin t$ · $y'(t) = 6\sin^2t\cos t$
$x'=y'=0 \Leftrightarrow \cos t\sin t = 0 \Leftrightarrow t = k\dfrac{\pi}{2}$
Points correspondants ($a=2$) :
$t=0$ : $(2,0)$ · $t=\dfrac{\pi}{2}$ : $(0,2)$ · $t=\pi$ : $(-2,0)$ · $t=\dfrac{3\pi}{2}$ : $(0,-2)$
→ 4 pointes sur les axes.
2
Longueur totale
$x'^2+y'^2 = 36\cos^4t\sin^2t+36\sin^4t\cos^2t = 36\cos^2t\sin^2t(\cos^2t+\sin^2t) = 9\sin^2(2t)$
$\sqrt{x'^2+y'^2} = 3|\sin 2t|$
Par symétrie (4 arcs identiques) :
$L = 4\displaystyle\int_0^{\pi/2}3\sin 2t\,dt = 12\left[-\dfrac{\cos 2t}{2}\right]_0^{\pi/2} = 12\times\dfrac{1+1}{2} = 12 = \boxed{6a}$ ✓
3
Aire intérieure
$A = \displaystyle\int_0^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt$ (formule de Green-Riemann, valeur absolue)
$= 4\displaystyle\int_0^{\pi/2}2\sin^3t\cdot(-6\cos^2t\sin t)\,dt$ (par symétrie, 4 quarts)
$= 4\times12\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4t\cos^2t\,dt$
En utilisant $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4t\cos^2t\,dt = \dfrac{\pi}{32}$ (formule de Wallis) :
$A = 48\times\dfrac{\pi}{32} = \dfrac{3\pi}{2} = \boxed{\dfrac{3\pi a^2}{8}}$ avec $a=2$ ✓
4
Partie B — Rose polaire $\rho = \cos(2\theta)$
$\rho = 0 \Leftrightarrow \cos(2\theta)=0 \Leftrightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$
Les pétales existent là où $\rho \geq 0$, c'est-à-dire quand $\cos(2\theta) \geq 0$.
Sur $[0\,;\,2\pi]$ : 4 intervalles où $\cos(2\theta) \geq 0$ → 4 pétales.
5
Aire d'un pétale
Pétale pour $\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right]$ :
$A_1 = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta = \dfrac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\dfrac{1+\cos 4\theta}{2}\,d\theta$
$= \dfrac{1}{4}\left[\theta + \dfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \dfrac{1}{4}\times\dfrac{\pi}{2} = \boxed{\dfrac{\pi}{8}}$ u.a.
📐 Astroïde x=2cos³t, y=2sin³t · Rose polaire ρ=cos(2θ)
Astroïde bleu (4 pointes, L=12, A=3π/2) · Rose rouge à 4 pétales (aire d'un pétale=π/8)
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Bonjour ! Sur quel exercice avez-vous besoin d'aide ? 😊
Je ne comprends pas la question 2
Bien ! Commençons par identifier ce qui est donné… ✓