Vecteurs, Produit scalaire & Géométrie plane
Vecteurs du plan et combinaisons linéaires — produit scalaire et ses applications — droites, barycentre et cercle dans un repère. Programme officiel de Seconde Série C/E.
Vecteurs du plan
VII.1 — Vecteurs, combinaisons linéaires, base
L'étude des vecteurs du plan ne se limite pas à des manipulations algébriques : elle fournit les outils qui serviront toute l'année pour la géométrie (parallélisme, alignement, milieu, barycentre). On évoquera au passage la notion d'espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\), mais aucun développement abstrait n'est exigible à ce niveau.
Un vecteur \(\vec{u}\) est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur), notée \(\|\vec{u}\|\). Deux vecteurs sont égaux si le quadrilatère qu'ils déterminent (avec leurs origines et extrémités) est un parallélogramme — ce qui correspond à la translation qui envoie l'un sur l'autre. L'opposé de \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) est \(-\vec{u}=\overrightarrow{BA}\) ; il correspond à la symétrie centrale.
Une combinaison linéaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est un vecteur de la forme \(a\vec{u}+b\vec{v}\), avec \(a,b\in\mathbb{R}\). Une base du plan est un couple de vecteurs \((\vec{i},\vec{j})\) non colinéaires. Dans une base, tout vecteur \(\vec{w}\) se décompose de façon unique : \(\vec{w} = x\vec{i}+y\vec{j}\) ; \((x,y)\) sont les coordonnées de \(\vec{w}\) dans cette base.
Dans une base, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\), le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est
\[ \det(\vec u,\vec v) = xy' - x'y. \]\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\).
Facile. \(\vec u(3;2)\) et \(\vec v(6;4)\) : \(\det(\vec u,\vec v)=3\times4-6\times2=12-12=0\) : colinéaires (en effet \(\vec v=2\vec u\)).
Décomposition. Dans la base \((\vec i,\vec j)\), décomposer \(\vec w = 2\vec i - \vec j\) sur \(\vec u=\vec i+\vec j\) et \(\vec v=\vec i-\vec j\) (non colinéaires). On cherche \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : \(2\vec i-\vec j=(a+b)\vec i+(a-b)\vec j\). Par identification : \(a+b=2\) et \(a-b=-1\), soit \(a=\tfrac12\), \(b=\tfrac32\).
VII.2 — Caractérisations vectorielles
Droites parallèles : \((AB)\parallel(CD)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Points alignés : \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), ou encore \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12\big(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\big)\) pour toute origine \(O\).
Thalès et homothétie : la multiplication d'un vecteur par un scalaire \(k\) correspond à une homothétie de rapport \(k\) ; le théorème de Thalès en géométrie plane traduit exactement cette proportionnalité vectorielle.
Pour montrer que \(A,B,C\) sont alignés : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant. S'il est nul, les points sont alignés.
Exemple. \(A(1;2)\), \(B(3;5)\), \(C(-1;-4)\). \(\overrightarrow{AB}(2;3)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;-6)\). \(\det=2\times(-6)-(-2)\times3=-12+6=-6\ne0\) : \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
Figure interactive — Alignement de trois points
Déplacez le point C : la couleur du triangle change selon que A, B, C sont alignés (déterminant nul) ou non.
VII.Bac — Exercice type Bac
Dans un repère, on donne \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(1;2)\).
Question 1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AB}(4-(-2)\,;\,3-1)=(6;2)\). \(\overrightarrow{AC}(1-(-2)\,;\,2-1)=(3;1)\).
Question 2. \(A, B, C\) sont-ils alignés ?
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=6\times1-3\times2=6-6=0\) : les points sont alignés (\(C\) est d'ailleurs le milieu de \([AB]\), à vérifier : \(\tfrac{-2+4}{2}=1\), \(\tfrac{1+3}{2}=2\) — coordonnées de \(C\). Confirmé.)
Question 3. Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}\). Calculer les coordonnées de \(D\).
\(\overrightarrow{AD}=3(6;2)=(18;6)\). Donc \(D = A+\overrightarrow{AD} = (-2+18\,;\,1+6)=(16;7)\).
Base = 2 vecteurs non colinéaires. Décomposition unique de tout vecteur dans une base donnée.
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\). Nul \(\iff\) vecteurs colinéaires.
Points alignés / droites parallèles : déterminant nul des vecteurs associés.
\(I\) milieu de \([AB]\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) pour toute origine \(O\).