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Exercices — Seconde Série C — Géométrie

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Exercices — Géométrie

Vecteurs du plan · Produit scalaire · Droites, barycentre et cercle

Seconde Série C · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre VII — Vecteurs du plan

1

QCM — Colinéarité, coordonnées, milieu

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$   b) $(6;10)$   c) $(4;10)$   d) $(-4;-6)$

3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$   b) $(8;2)$   c) $(2;2)$   d) $(4;2)$

4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$   b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$   c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$   d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$

1
Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=4\times3-2\times6=0$ : colinéaires ($\vec v=\tfrac12\vec u$).
2
Réponse : a. $\overrightarrow{AB}=(5-1;8-2)=(4;6)$.
3
Réponse : a. $I=\left(\dfrac{2+6}2;\dfrac{-1+3}2\right)=(4;1)$.
4
Réponse : a. Définition du critère d'alignement par le déterminant.
2

Situation d'intégration — Bornage d'un terrain à Koudougou

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre de Koudougou vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.

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1
$\overrightarrow{AB}=(14-2;11-3)=(12;8)$. $\overrightarrow{AC}=(20-2;15-3)=(18;12)$.
2
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=12\times12-18\times8=144-144=0$ : les trois bornes sont alignées.
3
$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(-12;-8)$. $\overrightarrow{BD}=\tfrac32(-12;-8)=(-18;-12)$. $D=B+\overrightarrow{BD}=(14-18;11-12)=(-4;-1)$.
3

Problème — Isobarycentre, colinéarité, combinaison linéaire

Difficile Problème
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Problème.

Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).

Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.

Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.

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A.1
$G=\left(\dfrac{-1+3+5}3;\dfrac{2+4-2}3\right)=\left(\dfrac73;\dfrac43\right)$.
B.2
$\det(\vec u,\vec v)=3\times4-k\times(-2)=12+2k=0 \iff k=-6$.
B.3
Pour $k=-6$ : $\vec v(-6;4)$. On vérifie $\vec v=-2\vec u$ car $-2\times(3;-2)=(-6;4)$.
C.4
$\vec w=2(3;-2)-3(k;4)=(6-3k;-4-12)=(6-3k;-16)$.

Chapitre VIII — Produit scalaire

4

QCM — Calcul du produit scalaire, norme, orthogonalité

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$   b) $6$   c) $26$   d) $-6$

2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$   b) $7$   c) $1$   d) $25$

3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u=-\vec v$

4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$   b) $4$   c) $3$   d) $7$

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1
Réponse : a. $\vec u\cdot\vec v=3\times2+(-4)\times5=6-20=-14$.
2
Réponse : a. $\|\vec u\|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$.
3
Réponse : a. Caractérisation de l'orthogonalité par le produit scalaire.
4
Réponse : a. $\overrightarrow{AB}(4;3)$, $AB=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.
5

Situation d'intégration — Vérifier un angle droit à Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte de Bobo-Dioulasso vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.

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1
$\overrightarrow{BA}=(0-8;0-0)=(-8;0)$. $\overrightarrow{BC}=(8-8;6-0)=(0;6)$.
2
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-8)\times0+0\times6=0$ : produit nul, l'angle en $B$ est droit.
3
$AB=8$, $BC=6$, $AC=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. Vérification : $AB^2+BC^2=64+36=100=AC^2$ : cohérent avec Pythagore.
6

Problème — Ensemble de points et cercle de diamètre

Difficile Problème
▼

Problème.

Partie A. Soit $A(-2;0)$ et $B(4;0)$ fixes, et $M$ un point mobile du plan.
1) Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
2) Donner le centre et le rayon de cet ensemble.
3) Écrire son équation cartésienne.

Partie B.
4) Le point $M(1;3)$ appartient-il à cet ensemble ? Justifier par le calcul (équation cartésienne, puis vérification directe par le produit scalaire).

A.1
D'après le cours, c'est le cercle de diamètre $[AB]$.
A.2
Centre $I$ = milieu de $[AB]$ = $\left(\dfrac{-2+4}2;0\right)=(1;0)$. Rayon $=IA=|1-(-2)|=3$.
A.3
$(x-1)^2+y^2=9$.
B.4
Équation : $(1-1)^2+3^2=0+9=9$ : $M$ vérifie l'équation, donc appartient au cercle. Vérification directe : $\overrightarrow{MA}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{MB}=(3;-3)$, $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-9+9=0$ : confirmé.

Chapitre IX — Droites, barycentre et cercle

7

QCM — Droites, cercle, barycentre

Facile QCM
▼
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$   b) $x+3y=0$   c) $3x+y-5=0$   d) $x-3y+5=0$

2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles   b) orthogonales   c) sécantes non perpendiculaires   d) nécessairement confondues

3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$   b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$   c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$   d) $\Omega(2;3)$, $r=4$

4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$   b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$   c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$   d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$

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1
Réponse : a. Vecteur directeur $(3;-1)$ donne une équation de la forme $x+3y+\gamma=0$ ; en $A(1;2)$ : $1+6+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-7$.
2
Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=2\times10-4\times5=0$ : parallèles (éventuellement confondues, mais pas certain sans un point commun).
3
Réponse : a. Forme $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ avec $a=-2$, $b=3$, $r^2=16 \Rightarrow r=4$.
4
Réponse : a. Définition vectorielle du barycentre.
8

Situation d'intégration — Stockage mutualisé au marché de Tenkodogo

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Trois commerçants d'un marché de Tenkodogo mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.

1
$x_G=\dfrac{2\times0+1\times12+3\times6}{2+1+3}=\dfrac{30}6=5$. $y_G=\dfrac{2\times0+1\times0+3\times9}6=\dfrac{27}6=4{,}5$. $G(5;4{,}5)$.
2
$AG=\sqrt{5^2+4{,}5^2}=\sqrt{25+20{,}25}=\sqrt{45{,}25}\approx6{,}73$.
3
$G'=\left(\dfrac{0+12+6}3;\dfrac{0+0+9}3\right)=(6;3)$. $G'$ est plus proche de $B$ et $C$ que $G$ ($y_{G'}=3
9

Problème — Intersection cercle-droite et barycentre

Difficile Problème
▼
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Problème.

Partie A.
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle d'équation $x^2+y^2=25$ et de la droite d'équation $y=x-1$.

Partie B. On note $A$ et $B$ les deux points trouvés (avec $A$ d'abscisse positive).
2) Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,3)$ et $(B,1)$.
3) Vérifier que $G$ appartient à la droite $(AB)$.

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A.1
Substitution : $x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0$. $\Delta=1+48=49$. $x=\dfrac{1\pm7}2$, soit $x=4$ ou $x=-3$. Points $A(4;3)$ et $B(-3;-4)$.
B.2
$x_G=\dfrac{3\times4+1\times(-3)}4=\dfrac94=2{,}25$. $y_G=\dfrac{3\times3+1\times(-4)}4=\dfrac54=1{,}25$. $G(2{,}25;1{,}25)$.
B.3
La droite $(AB)$ est justement $y=x-1$ (les deux points en sont issus). On vérifie $y_G=x_G-1$ : $2{,}25-1=1{,}25=y_G$ : confirmé, $G$ est bien sur $(AB)$ — cohérent avec le fait que le barycentre de deux points est toujours situé sur la droite qui les joint.
Mode hors-ligne — données en cache