Calcul, Ordre & Polynômes
Calcul dans ℝ, proportionnalité et pourcentages, ordre et inéquations — valeur absolue et encadrements — polynômes et second degré. Programme officiel de Seconde Série A.
Calcul, proportionnalité et ordre dans ℝ
I.1 — Calcul dans ℝ
Ce chapitre consolide les acquis du post-primaire. L'objectif n'est pas la virtuosité technique, mais la maîtrise sûre des mécanismes élémentaires, toujours reliée à la résolution de problèmes concrets — on évitera les exemples artificiels ou trop techniques.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux (écriture décimale finie), rationnels (quotients d'entiers), réels. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.
Priorité des opérations : parenthèses d'abord, puis multiplication/division, puis addition/soustraction. Associativité de l'addition et de la multiplication : l'ordre de regroupement ne change pas le résultat. Distributivité : \(a(b+c) = ab+ac\).
Puissances entières : \(a^n = a\times a\times\cdots\times a\) (\(n\) facteurs), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) pour \(a\ne0\). Racine carrée d'un réel positif \(x\) : l'unique réel positif \(\sqrt x\) tel que \((\sqrt x)^2=x\).
Facile. \(3+4\times2 = 3+8=11\) (pas \(14\) : la multiplication est prioritaire).
Fractions. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\) (mise au même dénominateur).
Équation du premier degré. Résoudre \(3x-7=2x+5\) : on regroupe les termes en \(x\) d'un côté, \(3x-2x=5+7\), donc \(x=12\).
I.2 — Proportionnalité dans ℝ
Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un réel \(a\) (le coefficient de proportionnalité) tel que la seconde s'obtienne toujours en multipliant la première par \(a\) : c'est la fonction \(x \mapsto ax\), dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine.
Un pourcentage \(t\,\%\) correspond au coefficient de proportionnalité \(\dfrac{t}{100}\). Augmenter une quantité de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; la diminuer de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).
Exemple. Un article à \(8\,000\) F subit une remise de \(15\,\%\). Nouveau prix : \(8\,000\times(1-0{,}15) = 8\,000\times0{,}85 = 6\,800\) F.
I.3 — Ordre dans ℝ
L'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
I.Bac — Exercice type Bac
Un commerçant achète un article \(12\,000\) F et le revend avec un bénéfice de \(25\,\%\) du prix d'achat.
Question 1. Calculer le prix de vente.
Prix de vente \(= 12\,000 \times 1{,}25 = 15\,000\) F.
Question 2. Lors d'une promotion, il accepte de vendre l'article avec une réduction \(x\) (en francs) par rapport au prix de vente, à condition de garder un bénéfice d'au moins \(2\,000\) F. Écrire l'inéquation correspondante et la résoudre.
Bénéfice après réduction : \((15\,000-x)-12\,000 = 3\,000-x\). On veut \(3\,000-x \ge 2\,000\), soit \(-x \ge -1\,000\), donc (en divisant par \(-1\), l'inégalité s'inverse) \(x \le 1\,000\).
Le commerçant peut réduire le prix d'au plus \(1\,000\) F.
Question 3. Le prix d'achat augmente de \(10\,\%\) chez le fournisseur. Le commerçant garde le même taux de bénéfice de \(25\,\%\). Quel est le nouveau prix de vente ?
Nouveau prix d'achat : \(12\,000\times1{,}10=13\,200\) F. Nouveau prix de vente : \(13\,200\times1{,}25=16\,500\) F.
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Priorités, associativité, distributivité, puissances, racine carrée.
\(y=ax\) : droite passant par l'origine. Pourcentage \(t\,\%\) = coefficient \(t/100\). Augmenter de \(t\,\%\) : multiplier par \(1+t/100\).
Conservé par addition et multiplication par un positif ; inversé par multiplication par un négatif.
Même démarche qu'une équation, mais surveiller le sens de l'inégalité à chaque multiplication/division par un négatif.