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Exercices – Seconde Serie A – Algebre

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Exercices — Algèbre

Calcul, proportionnalité et ordre dans ℝ · Valeur absolue & encadrement · Polynômes

Seconde Série A · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre I — Calcul, proportionnalité et ordre dans ℝ

1

QCM — Calcul, pourcentage, ordre

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Calculer $A=12-3\times(5-2)$ :
a) 27   b) 3   c) -3   d) -15

2) Un article coûte $24\,000$ F. Il subit une hausse de $12{,}5\,\%$. Le nouveau prix est :
a) $27\,000$ F   b) $24\,125$ F   c) $21\,000$ F   d) $30\,000$ F

3) La solution de $-4x+9\le-3$ est :
a) $x\ge3$   b) $x\le3$   c) $x\ge-3$   d) $x\le-3$

4) L'intervalle $\,]-6\,;2]$ signifie :
a) $-6<x\le2$   b) $-6\le x<2$   c) $-6\le x\le2$   d) $-6<x<2$

1
Réponse : b. $5-2=3$, puis $3\times3=9$ (priorité de la multiplication), donc $12-9=3$.
2
Réponse : a. $24\,000\times1{,}125=27\,000$ F.
3
Réponse : a. $-4x\le-12$, on divise par $-4$ (négatif : l'inégalité s'inverse), $x\ge3$.
4
Réponse : a. Borne de gauche exclue (crochet ouvert), borne de droite incluse (crochet fermé).
2

Situation d'intégration — Commerçant de mil à Ouahigouya

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de mil à Ouahigouya achète un sac à $18\,000$ F et le revend en réalisant un bénéfice de $20\,\%$ du prix d'achat. Pendant la période de soudure, il souhaite accorder une réduction $x$ (en francs) sur son prix de vente habituel, tout en gardant un bénéfice d'au moins $1\,500$ F par sac. Par ailleurs, son fournisseur annonce une hausse du prix d'achat de $8\,\%$ pour la prochaine campagne.

Consigne : Calculer le prix de vente habituel du sac. Écrire l'inéquation traduisant la contrainte de bénéfice minimal et la résoudre pour trouver la réduction maximale possible. Calculer enfin le nouveau prix de vente après la hausse du fournisseur, en conservant le même taux de bénéfice de $20\,\%$.

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1
Prix de vente habituel. $18\,000\times1{,}20=21\,600$ F.
2
Inéquation. Bénéfice après réduction : $(21\,600-x)-18\,000=3\,600-x$. On veut $3\,600-x\ge1\,500$, soit $-x\ge-2\,100$, donc (division par $-1$, inégalité inversée) $x\le2\,100$.
3
Réduction maximale. Le commerçant peut réduire le prix d'au plus $2\,100$ F par sac.
4
Nouveau prix de vente. Nouveau prix d'achat : $18\,000\times1{,}08=19\,440$ F. Nouveau prix de vente : $19\,440\times1{,}20=23\,328$ F.
3

Problème — Deux compagnies de transport Ouaga-Bobo

Difficile Problème
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Problème. Deux compagnies assurent le trajet Ouagadougou-Bobo-Dioulasso pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.

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A.1
Prix chez $B$ : $B(x)=500+400x$.
B.2
$500+400x<3\,000 \iff 400x<2\,500 \iff x<6{,}25$. Pour un nombre entier de bagages, $B$ reste la moins chère jusqu'à $x=6$ inclus ; à partir de $x=7$ bagages, $A$ redevient la moins chère.
C.3
Pour $x=5$ : $B(5)=500+2\,000=2\,500$ F $<3\,000$ F, $B$ moins chère. Pour $x=7$ : $B(7)=500+2\,800=3\,300$ F $>3\,000$ F, $A$ devient moins chère — cohérent avec le seuil trouvé en B.2.

Chapitre II — Valeur absolue ; encadrement

1

QCM — Valeur absolue et encadrement

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Les solutions de $|x-4|=6$ sont :
a) $10$ et $-2$   b) $10$ et $2$   c) $-10$ et $2$   d) $6$ et $-6$

2) L'ensemble des solutions de $|2x+1|\le9$ est :
a) $[-5;4]$   b) $[-4;5]$   c) $[-9;9]$   d) $[-10;8]$

3) Sachant $3{,}1\le\sqrt{10}\le3{,}2$ et $1{,}4\le\sqrt2\le1{,}5$, un encadrement de $\sqrt{20}$ est :
a) $[4{,}34;4{,}8]$   b) $[4{,}3;4{,}7]$   c) $[3{,}1;3{,}2]$   d) $[1{,}4;1{,}5]$

4) L'ensemble des solutions de $|x-3|>5$ est :
a) $\,]-\infty;-2[\,\cup\,]8;+\infty[$   b) $[-2;8]$   c) $\,]8;+\infty[$   d) $\,]-\infty;-2[$

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1
Réponse : a. $x-4=6$ ou $x-4=-6$, soit $x=10$ ou $x=-2$.
2
Réponse : a. $-9\le2x+1\le9 \iff -10\le2x\le8 \iff -5\le x\le4$.
3
Réponse : a. Réels positifs : $3{,}1\times1{,}4\le\sqrt{10}\times\sqrt2\le3{,}2\times1{,}5$, soit $4{,}34\le\sqrt{20}\le4{,}8$.
4
Réponse : a. $x-3>5$ ou $x-3<-5$, soit $x>8$ ou $x<-2$.
2

Situation d'intégration — Menuisier de Koudougou

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un menuisier de Koudougou fabrique des portes de largeur nominale $90$ cm, avec une tolérance de fabrication de $\pm1{,}5$ cm : une porte de largeur $x$ (en cm) est acceptée si et seulement si $|x-90|\le1{,}5$. Il mesure deux portes en fin de journée : la première a une largeur de $91{,}2$ cm, la seconde de $88{,}3$ cm.

Consigne : Écrire l'inéquation traduisant la tolérance de fabrication. Vérifier, en calculant $|x-90|$ pour chaque porte, laquelle des deux portes est acceptée et laquelle doit être refusée. Conclure.

1
Inéquation de tolérance. $|x-90|\le1{,}5$.
2
Première porte. $|91{,}2-90|=1{,}2\le1{,}5$ : la porte est acceptée.
3
Seconde porte. $|88{,}3-90|=1{,}7>1{,}5$ : la porte est refusée.
4
Conclusion. Sur les deux portes contrôlées, une seule respecte la tolérance de fabrication ; la seconde doit être reprise avant livraison.
3

Problème — Encadrements et valeurs approchées

Difficile Problème
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Problème. On donne les encadrements $2{,}23\le\sqrt5\le2{,}24$ et $1{,}73\le\sqrt3\le1{,}74$.

Partie A. 1) En déduire un encadrement de $\sqrt5+\sqrt3$. 2) En déduire un encadrement de $\sqrt5\times\sqrt3=\sqrt{15}$.

Partie B. 3) Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $|x+2|\ge4$.

Partie C. 4) À l'aide de l'encadrement obtenu en A.2, donner une valeur approchée de $\sqrt{15}$ à $10^{-1}$ près par excès.

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A.1
Somme : $2{,}23+1{,}73\le\sqrt5+\sqrt3\le2{,}24+1{,}74$, soit $3{,}96\le\sqrt5+\sqrt3\le3{,}98$.
A.2
Produit, réels positifs : $2{,}23\times1{,}73\le\sqrt{15}\le2{,}24\times1{,}74$, soit $3{,}858\le\sqrt{15}\le3{,}898$.
B.3
$x+2\ge4$ ou $x+2\le-4$, soit $x\ge2$ ou $x\le-6$. Solution : $\,]-\infty;-6]\cup[2;+\infty[$.
C.4
$\sqrt{15}\le3{,}898$ ; la plus petite valeur à $10^{-1}$ près supérieure ou égale à $3{,}898$ est $3{,}9$. Valeur approchée par excès à $10^{-1}$ : $3{,}9$.

Chapitre III — Polynômes

1

QCM — Discriminant, racines, forme canonique

Facile QCM
▼
Débloquer

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $2x^2+3x-5$ vaut :
a) $49$   b) $9$   c) $29$   d) $1$

2) Les racines de $x^2-7x+10=0$ sont :
a) $2$ et $5$   b) $-2$ et $-5$   c) $1$ et $10$   d) $2$ et $-5$

3) La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
a) $(x-3)^2-4$   b) $(x-3)^2+4$   c) $(x+3)^2-4$   d) $(x-6)^2+5$

4) Le signe de $(x-2)(x+4)$ pour $x\in\,]-4;2[$ est :
a) négatif   b) positif   c) nul   d) indéterminé

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1
Réponse : a. $\Delta=3^2-4\times2\times(-5)=9+40=49$.
2
Réponse : a. Somme $=7$, produit $=10$ → racines $2$ et $5$.
3
Réponse : a. $\alpha=-\dfrac{-6}{2}=3$, $\beta=P(3)=9-18+5=-4$, soit $(x-3)^2-4$.
4
Réponse : a. Racines $-4$ et $2$, $a=1>0$ : signe opposé à $a$ entre les racines, donc négatif.
2

Situation d'intégration — Enclos d'un agriculteur de Léo

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un agriculteur de Léo dispose de $40$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire pour ses volailles, adossé à un mur déjà existant (seuls les trois autres côtés doivent être clôturés : deux largeurs et une longueur). Il note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres.

Consigne : Exprimer la longueur de l'enclos en fonction de $x$, puis son aire $A(x)$. Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'aire de l'enclos dépasse strictement $150$ m², en tenant compte des contraintes physiques du problème ($x>0$ et longueur $>0$).

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1
Longueur et aire. Longueur $=40-2x$ (mètres de clôture restants). Aire : $A(x)=x(40-2x)=40x-2x^2$.
2
Inéquation. $40x-2x^2>150 \iff -2x^2+40x-150>0$. On divise par $-2$ (inégalité inversée) : $x^2-20x+75<0$.
3
Résolution. $\Delta=400-300=100$, $\sqrt\Delta=10$, racines $\dfrac{20\pm10}{2}=5$ et $15$. $a=1>0$ : négatif entre les racines, donc $x\in\,]5;15[$.
4
Contraintes physiques. $x>0$ et $40-2x>0 \iff x<20$ : l'intervalle $\,]5;15[$ est bien compatible. Conclusion : l'aire dépasse $150$ m² pour une largeur $x$ strictement comprise entre $5$ m et $15$ m.
3

Problème — Étude complète d'un trinôme

Difficile Problème
▼

Problème. On considère $P(x)=x^2+x-12$.

Partie A. 1) Vérifier que $3$ est racine de $P$, puis factoriser $P(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $P(x)<0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $P$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

A.1
$P(3)=9+3-12=0$ : $3$ est bien racine. Produit des racines $=-12$, donc l'autre racine est $-12/3=-4$. Ainsi $P(x)=(x-3)(x+4)$.
B.2
$a=1>0$ : négatif entre les racines $-4$ et $3$. Solution : $x\in\,]-4;3[$.
C.3
$\alpha=-\dfrac{1}{2}$, $\beta=P\!\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac12-12=-\dfrac{49}{4}=-12{,}25$. Forme canonique : $P(x)=\left(x+\dfrac12\right)^2-12{,}25$. Comme le carré est toujours $\ge0$, le minimum de $P$ est $-12{,}25$, atteint en $x=-\dfrac12$.
Mode hors-ligne — données en cache