Exercices — Analyse & Fonctions
Fonctions, Suites, Logarithme, Exponentielle & Calcul Intégral
Partie 1 sur 3
📈 Analyse & Fonctions
Domaine de définition d'une fonction
FacileExercice 1 — Domaine de définition d'une fonction
Déterminer le domaine de définition $D_f$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
2. $g(x) = \sqrt{2x - 6}$
Calcul de dérivées usuelles
FacileExercice 2 — Calcul de dérivées usuelles
Calculer la dérivée $f'(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$
2. $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$
Sens de variation et tableau de variations
MoyenExercice 3 — Sens de variation et tableau de variations
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.
1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$.
— Sur $]-\infty\,;\,1[$ : $f'(x) > 0$ · Sur $]1\,;\,2[$ : $f'(x) < 0$ · Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'(x) > 0$
Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $-\infty$ | ↗ | $1$ | ↘ | $0$ | ↗ | $+\infty$ |
Étude de fonction rationnelle — limites et variations
MoyenExercice 4 — Étude de fonction rationnelle
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Interpréter graphiquement.
3. Montrer que $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 2$. En déduire la représentation graphique de $f$.
4. Étudier les variations de $f$ sur chacun de ses intervalles de définition.
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Division euclidienne : $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, donc $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$ pour $x\neq 2$.
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ · $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=2+1=3$. La limite existe et est finie : pas d'asymptote verticale.
Il y a un point lacunaire (trou) en $(2\,;\,3)$ car $f$ n'est pas définie en $x=2$.
La courbe de $f$ est la droite $y=x+1$ avec un cercle vide en $(2\,;\,3)$.
$f'(x)=1>0$ sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$ : $f$ est strictement croissante sur chaque intervalle.
Étude complète avec courbe représentative — type Bac
DifficileExercice 5 — Étude complète — type Bac
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ et en déduire le signe de $f(x)$.
4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 4$.
5. Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]0\,;\,9]$.
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$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-0+1=\boxed{1}$ · $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
$f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$
$f'(x)<0$ si $x<1$ · $f'(x)=0$ si $x=1$ · $f'(x)>0$ si $x>1$.
Minimum en $x=1$ : $f(1)=1-2+1=\boxed{0}$. $$\begin{array}{c|ccccc}x&0^+&&1&&+\infty\\\hline f'&&-&0&+&\\\hline f&1\searrow&&0&\nearrow&+\infty\end{array}$$
$f(x)=(\sqrt{x}-1)^2\geq 0$ pour tout $x>0$, avec $f(x)=0$ uniquement en $x=1$.
$f(4)=4-4+1=1$ · $f'(4)=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Tangente : $y=\dfrac{1}{2}(x-4)+1=\boxed{\dfrac{x}{2}-1}$.
$(0^+\,;\,1)$ · $(1\,;\,0)$ minimum · $(4\,;\,1)$ · $(9\,;\,4)$.
Inéquation, optimisation et interprétation — niveau Bac
DifficileExercice 6 — Optimisation — niveau Bac
Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).
On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).
1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.
2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.
3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.
4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.
5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?
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Contrainte : $2x + L = 120 \Rightarrow L = 120-2x$.
$A(x) = x(120-2x) = 120x - 2x^2$ sur $]0\,;\,60[$.
$A'(x)=120-4x=0 \Rightarrow x=30$.
$A'(x)>0$ sur $]0\,;30[$ et $A'(x)<0$ sur $]30\,;60[$ → maximum en $x=30$.
$x=30$ m · $L=60$ m · $A_{\max}=30\times 60=\boxed{1\,800\ \text{m}^2}$.
$120x-2x^2>1500 \Leftrightarrow x^2-60x+750<0$.
$\Delta=600$, racines $x_{1,2}=30\pm 5\sqrt{6}$.
Solution : $x\in\,]30-5\sqrt{6}\,;\,30+5\sqrt{6}[\,\approx\,]17{,}75\,;\,42{,}25[$.
🔢 Suites Numériques
Nature d'une suite (arithmétique ou géométrique)
FacileExercice 1 — Nature d'une suite
Déterminer la nature, la raison et le terme général.
1. $(u_n)$ : $u_0=5$, $u_{n+1}=u_n+4$
2. $(v_n)$ : $v_0=3$, $v_{n+1}=2v_n$
Terme général et calcul de somme
FacileExercice 2 — Terme général et somme
$(u_n)$ arithmétique : $u_1=7$, raison $r=3$.
1. $u_n$ 2. $u_{20}$ 3. $S=u_1+\cdots+u_{20}$
Suite par récurrence — monotonie et convergence
MoyenExercice 3 — Récurrence et monotonie
$u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}$.
1. $u_1,u_2,u_3$ 2. Montrer $u_n<6$ 3. Montrer croissance. Conclure.
Convergence, limite et comparaison de suites
MoyenExercice 4 — Convergence
$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.
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On divise par $n^2$ : $u_n=\dfrac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\dfrac{3}{1}=\boxed{3}$.
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{[3(n+1)^2+2(n+1)-1][(n^2+5)]-[3n^2+2n-1][(n+1)^2+5]}{[(n+1)^2+5][n^2+5]}$
Après développement du numérateur : $-8n^2-26n+\cdots < 0$ pour $n\geq 1$.
$(u_n)$ est décroissante et converge vers $\ell=3$ par valeurs supérieures.
$u_1=\frac{4}{6}\approx0{,}67$ · $u_5=\frac{84}{30}=2{,}8$ · $u_{10}=\frac{319}{105}\approx3{,}04$ · $u_{20}=\frac{1259}{405}\approx3{,}01$.
Suite arithmético-géométrique — type Bac
DifficileExercice 5 — Suite arithmético-géométrique
$u_0=1$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$. Point fixe $\ell$, $v_n=u_n-\ell$, $u_n=f(n)$, $\lim u_n$, $S_n$.
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$\ell=\dfrac{1}{2}\ell+3 \Rightarrow \dfrac{\ell}{2}=3 \Rightarrow \boxed{\ell=6}$.
$v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}(u_n-6)=\dfrac{1}{2}v_n$
$(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$, $v_0=u_0-6=1-6=-5$.
$v_n=-5\times\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
$$\boxed{u_n=6-\dfrac{5}{2^n}}$$ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=6$ · $(u_n)$ est croissante (car $v_n<0$ → $u_n<6$ et tend vers 6 en croissant).
$S_n=6(n+1)-5\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^k=6(n+1)-5\!\left(2-\dfrac{1}{2^n}\right)$
$$\boxed{S_n=6n-4+\dfrac{5}{2^n}}$$
Application financière — niveau Bac
DifficileExercice 6 — Application financière
50 000 FCFA à 5%/an, retrait 3 000 FCFA/an. $C_n$ capital après $n$ ans.
Récurrence, forme explicite, $C_5$, $C_{10}$, quand $C_n>100000$ ?
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$C_{n+1}=1{,}05\,C_n - 3\,000$ avec $C_0=50\,000$ FCFA.
Point fixe : $\ell=60\,000$. Suite $w_n=C_n-60\,000$ géométrique de raison $1{,}05$, $w_0=-10\,000$.
$$\boxed{C_n=60\,000-10\,000\times(1{,}05)^n}$$
$C_5=60\,000-10\,000\times 1{,}2763\approx\boxed{47\,237\ \text{FCFA}}$
$C_{10}=60\,000-10\,000\times 1{,}6289\approx\boxed{43\,711\ \text{FCFA}}$
Le capital diminue : les intérêts (2 500 FCFA) sont inférieurs au retrait (3 000 FCFA).
$(1{,}05)^n\geq 6 \Rightarrow n\geq\dfrac{\ln 6}{\ln 1{,}05}\approx 36{,}7$
Le compte est épuisé à partir de $n=\boxed{37\ \text{ans}}$.
🌿 Logarithme & Exponentielle
Propriétés algébriques du logarithme népérien
FacileExercice 1 — Propriétés du logarithme
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$
2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$
3. $C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)$
Équations et inéquations avec ln et exp
FacileExercice 2 — Équations et inéquations
1. $\ln(2x - 1) = \ln 5$
2. $e^{3x-1} = e^5$
3. $\ln(x+2) \geq \ln(3x - 4)$
Dérivée et variations de fonctions logarithmiques
MoyenExercice 3 — Dérivée et variations
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln x$.
1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. En déduire le minimum de $f$ et montrer que $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$.
Sur $]0\,;\,2[$ : $f'<0$ → décroissante · Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'>0$ → croissante
Minimum en $x=2$.
Donc $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $x=2$.
Étude complète de $f(x) = xe^x$
MoyenExercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations complet.
4. Équation de la tangente en $x = 0$.
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Voir les offres →Croissance exponentielle — modélisation — type Bac
DifficileExercice 5 — Modélisation et croissance exponentielle
La population d'une ville du Burkina Faso était de 80 000 habitants en 2010. On modélise son évolution par $P(t) = 80\,000 \times e^{kt}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2010. En 2020, la population était de 100 000 habitants.
1. Déterminer $k$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près). ($\ln(1{,}25) \approx 0{,}2231$)
2. Calculer $P'(t)$ et interpréter son signe.
3. En quelle année la population dépassera-t-elle 150 000 habitants ?
4. Montrer que la population double en un temps $T$ constant. Calculer $T$.
5. Calculer la population moyenne sur $[0\,;\,10]$.
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Voir les offres →Étude de $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$ — niveau Bac
DifficileExercice 6 — Étude complète mêlant $\ln$ et $\exp$ — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et montrer qu'il se simplifie en $f'(x) = xe^x + \dfrac{1}{x}$.
3. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. Variations de $f$.
4. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;\,+\infty[$. L'encadrer.
5. Dresser le tableau de signes de $f$.
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Voir les offres →Dérivées de fonctions exponentielles composées
FacileExercice 7 — Dérivées de fonctions exponentielles composées
En utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}$, calculer la dérivée de :
1. $f(x) = e^{3x+2}$
2. $g(x) = e^{x^2 - 1}$
3. $h(x) = e^{-x/2} + 2x$
Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$
MoyenExercice 8 — Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$
1. $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ (Poser $X = e^x$)
2. $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x - 3)$
3. $e^x > 2x + 1$
4. $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$
$e^x=1→x=0$ · $e^x=2→x=\ln 2$ $\boxed{S=\{0\,;\,\ln 2\}}$
Étude paramétrique et inégalités classiques — niveau Bac
DifficileExercice 9 — Étude paramétrique et inégalités
Pour tout $a > 0$, on définit $f_a(x) = \ln x - ax + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f_a'(x)$ et trouver $x_a = \text{argmax}\ f_a$.
2. Montrer que le maximum de $f_a$ est $M(a) = 1 - \ln a$.
3. Pour $a=1$, montrer que $\ln x \leq x-1$ pour tout $x > 0$.
4. En déduire $e^t \geq t+1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.
5. Encadrer $\ln 2$ à $0{,}1$ près.
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$f_a'(x)=\dfrac{1}{x}-a=\dfrac{1-ax}{x}=0 \Rightarrow x_a=\dfrac{1}{a}$ (maximum car $f_a'$ change de $+$ à $-$).
$M(a)=f_a\!\left(\tfrac{1}{a}\right)=\ln\!\left(\tfrac{1}{a}\right)-a\cdot\tfrac{1}{a}+1=-\ln a-1+1=\boxed{-\ln a}$
Pour $0<a<1$ : $M(a)>0$ · Pour $a=1$ : $M(1)=0$ · Pour $a>1$ : $M(a)<0$.
$f_1(x)=\ln x-x+1$ admet un maximum en $x=1$ valant $M(1)=0$.
Donc $f_1(x)\leq 0$ pour tout $x>0$, soit $\boxed{\ln x\leq x-1}$ avec égalité en $x=1$.
Dans $\ln x\leq x-1$, poser $x=e^t$ : $t\leq e^t-1 \Rightarrow \boxed{e^t\geq t+1}$, égalité en $t=0$.
$x=2$ : $\ln 2\leq 1$. $x=\tfrac{1}{2}$ : $\ln\tfrac{1}{2}\leq-\tfrac{1}{2}$ soit $\ln 2\geq\tfrac{1}{2}$.
$\boxed{\tfrac{1}{2}\leq\ln 2\leq 1}$. (valeur exacte : $\ln 2\approx 0{,}693$)
Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et de $\dfrac{u'}{u}$
FacileExercice 10 — Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{u'}{u}$
On rappelle : $\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$.
1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$
3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$
Étude de $f(x) = x^2 \ln x$ — variations et intégration
MoyenExercice 11 — Étude de $f(x) = x^2\ln x$
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. (Admettre que $x^2\ln x \to 0$.)
2. Calculer $f'(x)$ avec $(uv)' = u'v+uv'$.
3. Dresser le tableau de variations. Préciser le minimum.
4. Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$ par intégration par parties.
Minimum : $f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}$
Comparaisons de croissance — $\ln$ face à $\exp$ — niveau Bac
DifficileExercice 12 — Comparaisons de croissance
Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.
2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.
3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.
Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.
4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.
5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.
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$f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x}-\ln x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\dfrac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$
$f'(x)>0 \Leftrightarrow x<e^2$ · Maximum en $x=e^2$ : $f(e^2)=\dfrac{2}{e}\approx 0{,}74$.
Posons $x=t^2$ : $\dfrac{\ln t^2}{t}=\dfrac{2\ln t}{t}\to 0$ (croissances comparées).
$\sqrt{x}$ croît infiniment plus vite que $\ln x$.
$\dfrac{\ln x}{x}=\underbrace{\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}}_{\to 0}\times\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}_{\to 0}\to 0$.
$g'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x)$
$g'>0$ sur $]0\,;2[$ · $g'(2)=0$ · $g'<0$ sur $]2\,;+\infty[$ · Maximum $g(2)=4e^{-2}\approx 0{,}54$.
$e^x\geq\dfrac{x^3}{6}$ pour $x>0$, donc $0<\dfrac{x^2}{e^x}\leq\dfrac{6}{x}\to 0$ (gendarmes).
Décroissance radioactive et demi-vie — niveau Bac
DifficileExercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie
$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.
1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.
2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.
3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.
4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?
5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.
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$Q(30)=100 \Rightarrow 200e^{-30\lambda}=100 \Rightarrow e^{-30\lambda}=\tfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\lambda=\dfrac{\ln 2}{30}\approx 0{,}0231}$.
$Q(60)=200\times\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\boxed{50\ \text{g}}$ · $Q(90)=200\times\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\boxed{25\ \text{g}}$.
$Q'(t)=-\lambda Q(t)<0$ : décroissance continue (désintégration permanente).
$(1/2)^{t/30}<\tfrac{1}{20} \Rightarrow t>\dfrac{30\ln 20}{\ln 2}\approx\dfrac{30\times 2{,}996}{0{,}693}\approx\boxed{130\ \text{ans}}$.
$\bar{Q}=\dfrac{1}{30}\displaystyle\int_0^{30}200e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\dfrac{200}{30\lambda}(1-e^{-30\lambda})=\dfrac{200}{30\cdot\frac{\ln2}{30}}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{100}{\ln 2}\approx\boxed{144{,}3\ \text{g}}$
∫ Calcul Intégral
Primitives usuelles — tableau de référence
FacileExercice 1 — Primitives usuelles
Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$
2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$
Intégrales définies et interprétation géométrique
FacileExercice 2 — Intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e \frac{2}{x}\,dx$
3. Interpréter géométriquement $I$ : quelle aire représente-t-il ?
Intégration par parties
MoyenExercice 3 — Intégration par parties
On rappelle la formule : $\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^1 xe^x\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e x\ln x\,dx$
On pose $u = x$ et $v' = e^x$, donc $u' = 1$ et $v = e^x$. $$I = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e-1) = \boxed{1}$$
On pose $u = \ln x$ et $v' = x$, donc $u' = \dfrac{1}{x}$ et $v = \dfrac{x^2}{2}$. $$J = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\int_1^e x\,dx$$ $$= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \boxed{\frac{e^2+1}{4}}$$
Aire entre deux courbes — intersection et calcul
MoyenExercice 4 — Aire entre deux courbes
Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.
1. Déterminer les points d'intersection de leurs courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
2. Étudier le signe de $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle délimité par ces points.
3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface comprise entre les deux courbes.
4. Représenter graphiquement les deux courbes et identifier la surface calculée.
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$f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 = 2x \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0$
$x = 0$ ou $x = 2$.
Points d'intersection : $A(0\,;\,0)$ et $B(2\,;\,4)$.
$g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2-x)$
Sur $]0\,;\,2[$ : $x > 0$ et $2-x > 0$, donc $g(x) - f(x) > 0$.
Ainsi $g(x) \geq f(x)$ sur $[0\,;\,2]$ : la droite $g$ est au-dessus de la parabole $f$.
$$\mathcal{A} = \int_0^2 \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx$$ $$= \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12-8}{3} = \boxed{\frac{4}{3}\ \text{unités d'aire}}$$
La parabole $\mathcal{C}_f : y=x^2$ et la droite $\mathcal{C}_g : y=2x$ se croisent en $(0,0)$ et $(2,4)$. La surface délimitée (en bleu sur le graphique) a une aire de $\dfrac{4}{3}$ u.a. $\approx 1{,}33$ u.a.
Valeur moyenne et application à la physique — type Bac
DifficileExercice 5 — Valeur moyenne et application physique
La température $T(t)$ (en °C) à Ouagadougou un jour de saison sèche est modélisée par :
$$T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 18 \quad \text{pour } t \in [0\,;\,12]$$où $t$ est le nombre d'heures après 6h du matin ($t=0$ correspond à 6h, $t=12$ à 18h).
1. Calculer $T(0)$, $T(6)$ et $T(12)$. À quelle heure fait-il le plus chaud ?
2. Calculer $T'(t)$. Vérifier que le maximum est bien atteint en $t = 6$.
3. Calculer la température moyenne $\bar{T}$ sur la période $[0\,;\,12]$ en utilisant :
$$\bar{T} = \frac{1}{12-0}\int_0^{12} T(t)\,dt$$4. La valeur moyenne $\bar{T}$ est-elle atteinte avant ou après le pic de chaleur ?
5. Calculer l'aire sous la courbe de $T$ sur $[0\,;\,12]$ et interpréter physiquement.
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$T(0) = 0 + 0 + 18 = \boxed{18\ °C}$ (6h du matin)
$T(6) = -0{,}5\times 36 + 36 + 18 = -18 + 36 + 18 = \boxed{36\ °C}$ (midi)
$T(12) = -0{,}5\times 144 + 72 + 18 = -72 + 72 + 18 = \boxed{18\ °C}$ (18h)
Il fait le plus chaud à $t=6$, soit à 12h (midi).
$T'(t) = -t + 6$
$T'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6$ · $T'(t) > 0$ sur $]0\,;\,6[$ · $T'(t) < 0$ sur $]6\,;\,12[$
Maximum bien atteint en $t=6$ : $T(6) = 36\ °C$ ✓
$$\bar{T} = \frac{1}{12}\int_0^{12}(-0{,}5t^2 + 6t + 18)\,dt$$ $$= \frac{1}{12}\left[-\frac{t^3}{6} + 3t^2 + 18t\right]_0^{12}$$ $$= \frac{1}{12}\left(-\frac{1728}{6} + 3\times144 + 216\right) = \frac{1}{12}(-288 + 432 + 216)$$ $$= \frac{360}{12} = \boxed{30\ °C}$$
$-0{,}5t^2 + 6t + 18 = 30 \Leftrightarrow -0{,}5t^2 + 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 12t + 24 = 0$
$\Delta = 144 - 96 = 48$, $\sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$
$t_1 = 6 - 2\sqrt{3} \approx 2{,}54$ h (avant le pic) et $t_2 = 6 + 2\sqrt{3} \approx 9{,}46$ h (après le pic).
La valeur moyenne $\bar{T} = 30\ °C$ est atteinte deux fois : vers 8h32 et vers 15h28.
$$\mathcal{A} = \int_0^{12} T(t)\,dt = 12 \times \bar{T} = 12 \times 30 = \boxed{360\ °C{\cdot}\text{h}}$$ Cette aire représente l'énergie thermique cumulée (en degrés-heures) reçue entre 6h et 18h. Elle est équivalente à une température constante de 30 °C pendant 12 heures.
Intégrale, changement de variable et aire — niveau Bac
DifficileExercice 6 — Changement de variable et aire — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.
1. Montrer que $f(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,1]$.
2. Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.
3. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ en posant le changement de variable $u = 1 - x^2$.
4. Interpréter géométriquement : l'aire calculée correspond-elle à un quart de disque ? Comparer avec $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.
5. En déduire une encadrement de $I$ et vérifier votre calcul.
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Sur $[0\,;\,1]$ : $x \geq 0$ et $1 - x^2 \geq 0$ (car $x \leq 1$), donc $\sqrt{1-x^2} \geq 0$.
Produit de deux facteurs positifs : $f(x) = x\sqrt{1-x^2} \geq 0$ ✓
$f'(x) = \sqrt{1-x^2} + x \cdot \dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{(1-x^2) - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (sur $[0\,;\,1]$)
Maximum en $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ : $f\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$
$$\begin{array}{c|ccccc}x&0&&\frac{1}{\sqrt{2}}&&1\\\hline f'&&+&0&-&\\\hline f&0\nearrow&&\frac{1}{2}&\searrow&0\end{array}$$
On pose $u = 1 - x^2$.
$\dfrac{du}{dx} = -2x \Rightarrow x\,dx = -\dfrac{du}{2}$
Bornes : $x=0 \Rightarrow u=1$ · $x=1 \Rightarrow u=0$
$$I = \int_1^0 \sqrt{u} \cdot \left(-\frac{du}{2}\right) = \frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{u}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}\times\frac{2}{3} = \boxed{\frac{1}{3}}$$
L'aire calculée vaut $I = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$.
Un quart de disque unité aurait une aire de $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.
$\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{\pi}{4}$ : ce n'est pas un quart de disque.
La courbe $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$ n'est pas un quart de cercle — c'est la moitié supérieure de l'ellipse $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1/4}=1$... non, en fait c'est une courbe algébrique distincte.
$f$ est positive sur $[0\,;\,1]$, maximum $\dfrac{1}{2}$, donc :
$0 \leq I \leq \dfrac{1}{2}\times(1-0) = \dfrac{1}{2}$
Encadrement : $\boxed{0 \leq I = \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{2}}$ ✓
Vérification directe : $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$, cohérent avec l'aire visible sur le graphique.
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