Analyse I
Fonctions numériques, limites, dérivation, branches infinies et représentation graphique — programme complet Terminale D
Les Fonctions Numériques
I. Limites et Continuité
1. Notion de limite
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)). On dit que \(f\) admet pour limite \(\ell\) en \(a\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche de \(\ell\) qu'on le souhaite pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(a\) :
\[\lim_{x \to a} f(x) = \ell\]
On définit de même les limites à gauche \(\displaystyle\lim_{x \to a^-}\) et à droite \(\displaystyle\lim_{x \to a^+}\), ainsi que les limites en \(\pm\infty\).
La limite existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Pour toute fonction définie par morceaux, vérifier systématiquement les deux côtés.
2. Limites de référence et opérations
| Fonction | En \(+\infty\) | En \(-\infty\) |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n>0\)) | \(+\infty\) | \(+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n>0\)) | \(0\) | \(0\) |
| \(e^x\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\ln x\) | \(+\infty\) | non définie |
Limites fondamentales :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\]
Si \(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) et \(\lim_{x\to a}g(x)=\ell'\), alors \(\lim(f+g)=\ell+\ell'\), \(\lim(f\cdot g)=\ell\cdot\ell'\), et \(\lim\frac{f}{g}=\frac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell'\neq 0\).
3. Formes indéterminées et levée d'indétermination
\(+\infty-\infty\) · \(0\times\infty\) · \(\dfrac{\infty}{\infty}\) · \(\dfrac{0}{0}\) · \(1^\infty\) · \(0^0\) · \(\infty^0\)
Écrire « \(\infty-\infty=0\) » directement est une erreur éliminatoire au Bac.
- Factorisation par le terme de plus haut degré — FI \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty-\infty\) polynomiale
- Quantité conjuguée — FI \(\frac{0}{0}\) avec racine carrée
- Croissances comparées — FI avec exponentielle ou logarithme
- Règle de l'Hôpital — si \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\) : \(\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}\)
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x^2-5}\). Forme \(\frac{\infty}{\infty}\), on factorise par \(x^2\) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\!\left(2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1-\frac{5}{x^2}\right)}=\frac{2+0-0}{1-0}=\boxed{2}\]
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\). Forme \(\frac{0}{0}\), on multiplie par \(\sqrt{1+x}+1\) :
\[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\xrightarrow[x\to 0]{}\boxed{\frac{1}{2}}\]
4. Théorèmes de comparaison
Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0\).
On sait \(-1\leq\sin x\leq 1\), donc pour \(x>0\) : \(-\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac{1}{x}\).
Or \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\) et \(\lim_{x\to+\infty}\!\left(-\frac{1}{x}\right)=0\). Par les Gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=\boxed{0}\).
Figure interactive — Théorème des Gendarmes
Naviguez pour observer la convergence vers 0
La fonction sin(x)/x (vert) est enserrée entre −1/x (brun) et 1/x (navy). Les deux gendarmes tendant vers 0, f tend vers 0 en +∞.
5. Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Cela exige : (1) \(f\) définie en \(a\), (2) la limite existe, (3) limite = valeur.
Les fonctions usuelles (polynômes, \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin\), \(\cos\), racines) sont continues sur leur domaine de définition.
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\). Pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\in[a\,;\,b]\) tel que \(f(c)=k\).
Corollaire : Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;\,b[\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).
Sans ces trois lignes, les points sont perdus même avec la bonne conclusion : (1) énoncer que \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\), (2) calculer explicitement \(f(a)\) et \(f(b)\), (3) constater les signes contraires et conclure.
Montrons que \(x^3-2x+1=0\) admet au moins une solution dans \([-2\,;\,0]\).
Posons \(f(x)=x^3-2x+1\). Polynôme → continu sur \(\mathbb{R}\).
\(f(-2)=-8+4+1=-3<0\) et \(f(0)=1>0\) — signes contraires.
Par le TVI : il existe \(c\in\,]-2\,;\,0[\) tel que \(f(c)=0\).
Figure interactive — TVI avec curseur k
Déplacez k entre −3 et 1 : la droite horizontale coupe la courbe, garantissant l'existence d'un c tel que f(c)=k (TVI). Hors de cet intervalle, le TVI ne s'applique pas sur [−2;0].
II. Dérivabilité et Étude de Fonctions
1. Nombre dérivé et tangente
\(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
Interprétation géométrique : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x=a\).
Équation de la tangente en \(a\) : \(\quad y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Figure interactive — Tangente en mouvement
En x=±1, la tangente est horizontale (f′=0) : ce sont les extremums locaux. Entre −1 et 1, f′<0 : f est décroissante.
2. Dérivées usuelles et règles de dérivation
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
3. Signe de f ′, variations et extremums
- Si \(f'(x)>0\) sur \(I\) → \(f\) strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)<0\) sur \(I\) → \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)=0\) sur \(I\) → \(f\) constante sur \(I\)
\(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum. Pour \(f(x)=x^3\) : \(f'(0)=0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0. Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) : \(+\to-\) (max), \(-\to+\) (min), pas de changement (point d'inflexion).
\(f''=(f')'\). Si \(f''>0\) → convexe (U). Si \(f''<0\) → concave (∩). Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion.
III. Branches Infinies
\(x=a\) est une AV si \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\). On la cherche là où \(f\) n'est pas définie.
\(y=\ell\) est une AH en \(\pm\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\).
\(y=ax+b\) (\(a\neq 0\)) est une AO en \(+\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\).
- Calculer \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
- Si \(a\) fini et \(\neq 0\), calculer \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]\)
- Si \(b\) fini → \(y=ax+b\) est l'AO
Raccourci pour les fractions rationnelles : effectuez directement la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Pour \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\) :
\[x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2 \implies f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}\]
\(\dfrac{2}{x+1}\to 0\) en \(\pm\infty\) → \(y=x+1\) est l'asymptote oblique.
IV. Représentation Graphique
- Ensemble de définition \(D_f\)
- Parité / Périodicité
- Limites aux bornes de \(D_f\)
- Asymptotes — AV, AH, AO
- Dérivée \(f'(x)\) et son domaine
- Tableau de signes de \(f'\) → tableau de variations
- Points remarquables — axes, extremums, inflexion
- Tangentes particulières
- Tracé cohérent avec toutes les informations
V. Exercice type Bac — Étude complète
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x-1}\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Ensemble de définition
\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[\)
2. Limites et Asymptotes
En \(x=1\) : numérateur vaut \(4>0\). Donc \(\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty\) → AV : \(x=1\).
En \(\pm\infty\) : \(\lim f(x)=\pm\infty\) → pas d'AH. Division euclidienne :
\[x^2+x+2=(x-1)(x+2)+4 \implies f(x)=x+2+\frac{4}{x-1}\]
\(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(x+2)]=0\) → AO : \(\Delta:y=x+2\).
Position : \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{x-1}>0\) pour \(x>1\) (courbe au-dessus de \(\Delta\)), \(<0\) pour \(x<1\) (en dessous).
3. Dérivée et Variations
Règle du quotient (\(u=x^2+x+2\), \(u'=2x+1\), \(v=x-1\), \(v'=1\)) :
\[f'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\]
\((x-1)^2>0\) pour tout \(x\neq 1\) → signe de \(f'\) = signe de \((x-3)(x+1)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | || | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | −1 | ↘ | \(-\infty\)‖\(+\infty\) | ↘ | 7 | ↗ | \(+\infty\) |
4. Points remarquables
- Maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=\dfrac{1-1+2}{-2}=-1\) → tangente horizontale \(y=-1\)
- Minimum local en \(x=3\) : \(f(3)=\dfrac{9+3+2}{2}=7\) → tangente horizontale \(y=7\)
- Intersection Oy : \(f(0)=-2\) · Pas d'intersection Ox (\(\Delta=-7<0\))
Figure interactive — Courbe de f avec asymptotes et tangentes
AV en x=1, AO y=x+2. Maximum local (−1;−1), minimum local (3;7). La courbe est au-dessus de l'AO pour x>1 et en dessous pour x<1.
Identifier la FI, choisir la technique (factorisation, conjuguée, croissances comparées) et lever systématiquement avant de conclure.
Trois étapes obligatoires : continuité sur [a;b], calcul de f(a) et f(b), signes contraires. Sans elles, les points sont perdus.
Maîtriser le quotient \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) et la composée \(u'\cdot f'(u)\). Ne jamais oublier u′ pour ln u et e^u.
f′(a)=0 est nécessaire mais non suffisant. Le changement de signe de f′ autour de a est la seule preuve valide.
AV → limite infinie. AH → limite finie. AO → division euclidienne. Toujours préciser la position de la courbe par rapport à l'AO.
D_f → parité → limites → asymptotes → f′ → variations → points remarquables → tracé.
- Calculer une FI sans la lever — erreur éliminatoire
- Conclure à un extremum sans vérifier le changement de signe de f′
- Oublier u′ dans la dérivée d'une composée (ln u, e^u)
- Affirmer une AO sans calculer b = lim[f(x)−ax]
- Omettre la position de la courbe par rapport aux asymptotes
- Énoncer explicitement la FI avant de la lever
- Soigner le tableau de variations : flèches, valeurs exactes, barres pour les AV
- Vérifier la cohérence du tracé avec toutes les informations
- Calculer les intersections avec les deux axes systématiquement
- Préciser la position relative courbe / AO
Les Suites Numériques
I. Généralités et Rappels
1. Définition d'une suite numérique
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\). À tout entier naturel \(n\) on associe un réel \(u_n\), appelé terme de rang \(n\). On note la suite \((u_n)\) ou \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
\(u_n\) s'exprime directement en fonction de \(n\) : \(u_n = f(n)\).
Exemples : \(u_n=3n+5\) · \(u_n=2^n\) · \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\) · \(u_n=n^2-3n+2\)
On connaît le premier terme et une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) :
\[\begin{cases}u_0=a\\u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}\]
Exemples : \(\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n+3\end{cases}\) (arithmétique) · \(\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=2u_n\end{cases}\) (géométrique)
Construire un tableau \(n\mid u_n\) en partant de \(u_0\) et en appliquant la relation pas à pas. On ne peut pas "sauter" au rang \(n\) directement : il faut passer par \(u_1, u_2, \ldots, u_{n-1}\).
2. Sens de variation
- Croissante : \(u_{n+1}\geq u_n\) pour tout \(n\)
- Décroissante : \(u_{n+1}\leq u_n\) pour tout \(n\)
- Méthode 1 — différence : signe de \(u_{n+1}-u_n\) — universelle, toujours applicable
- Méthode 2 — rapport : comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 — uniquement si tous les termes sont strictement positifs
- Méthode 3 — fonction associée : si \(u_n=f(n)\), étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0;+\infty[\)
Étudions \(u_n=n^2-4n\) :
\[u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-4(n+1)-(n^2-4n)=2n-3\]
\(u_{n+1}-u_n\geq 0\Leftrightarrow n\geq\frac{3}{2}\), soit \(n\geq 2\). Donc décroissante pour \(n\leq 1\), croissante pour \(n\geq 2\).
Le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) n'est valide que si tous les termes sont strictement positifs. En présence de termes négatifs, le signe du rapport peut induire en erreur : utiliser la différence.
3. Suites majorées, minorées, bornées
- Majorée : \(\exists M\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\leq M\)
- Minorée : \(\exists m\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\geq m\)
- Bornée : majorée et minorée, i.e. \(m\leq u_n\leq M\) pour tout \(n\)
Exemples : \(u_n=\frac{1}{n+1}\) bornée · \(u_n=n^2\) minorée non majorée · \(u_n=(-1)^n\) bornée
Figure interactive — Visualisation d'une suite
Choisissez un type et cliquez Tracer
Points (n, uₙ) représentés en bleu. La droite rouge en tirets indique la borne inférieure visible. Modifiez les paramètres pour observer croissance, décroissance, bornage.
II. Le Raisonnement par Récurrence
Méthode pour démontrer qu'une propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\)
- Initialisation : vérifier que \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : supposer \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain \(n\geq n_0\) (hypothèse de récurrence), puis démontrer \(\mathcal{P}(n+1)\) en utilisant cette hypothèse.
- Conclusion : "D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geq n_0\)."
- Oublier l'initialisation — démonstration incomplète, note = 0
- Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence — écrire explicitement "par hypothèse de récurrence, \(u_n=\ldots\)" avant de l'utiliser
- Omettre la conclusion globale — phrase finale indispensable pour le correcteur
Démontrons que pour tout \(n\geq 1\) : \(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Init. : Pour \(n=1\) : \(1=\frac{1\times 2}{2}=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Alors :
\[1+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) pour tout \(n\geq 1\).
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=3u_n+2\). Montrons que \(u_n=2\times 3^n-1\).
Init. : \(u_0=1\) et \(2\times 3^0-1=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors :
\[u_{n+1}=3(2\times 3^n-1)+2=6\times 3^n-1=2\times 3^{n+1}-1\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(u_n=2\times 3^n-1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Sur la copie, écrire "par H.R." ou "par hypothèse de récurrence" au-dessus du signe "=" au moment où vous l'utilisez. Le correcteur doit voir clairement ce moment-clé.
III. Suites Arithmétiques et Géométriques
1. Suites arithmétiques
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1}=u_n+r\), soit \(r=u_{n+1}-u_n=\text{constante}\).
\[u_n=u_0+n\cdot r \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p+(n-p)\cdot r\]
Sens : \(r>0\) → croissante · \(r<0\) → décroissante · \(r=0\) → constante
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (\(n+1\) termes) :
\[S_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}=(n+1)\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\]
\(u_0=3\), \(r=5\) → \(u_n=3+5n\) → \(u_{10}=53\).
Somme des 11 premiers termes : \(S_{10}=11\times\dfrac{3+53}{2}=11\times 28=\mathbf{308}\)
Gauss : \(1+2+\cdots+100=100\times\dfrac{1+100}{2}=\mathbf{5050}\)
Nombre de termes × moyenne des extrêmes. Pour compter les termes entre \(u_p\) et \(u_q\) inclus : \(q-p+1\) termes.
La somme \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) contient \((n+1)\) termes, pas \(n\). Cette erreur de décalage d'indice est systématiquement sanctionnée.
2. Suites géométriques
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq 0\) si \(u_{n+1}=q\cdot u_n\), soit \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\text{constante}\).
\[u_n=u_0\times q^n \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p\times q^{n-p}\]
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (si \(q\neq 1\)) :
\[S_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Si \(q=1\) : \(S_n=(n+1)\,u_0\)
\(u_0=2\), \(q=3\) → \(u_n=2\times 3^n\) → \(u_5=486\).
Somme : \(S_5=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{-728}{-2}=\mathbf{728}\)
\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) est invalide pour \(q=1\) (division par zéro). Dans ce cas utiliser \(S_n=(n+1)\,u_0\).
- Arithmétique \(\Leftrightarrow\) \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\)
- Géométrique \(\Leftrightarrow\) \(u_n^2=u_{n-1}\times u_{n+1}\)
Figure interactive — Arithmétique vs Géométrique
Comparez la croissance linéaire (arithmétique, bleu) et la croissance exponentielle (géométrique, or). Pour |q|<1 la suite géométrique tend vers 0.
IV. Suites Arithmético-géométriques
\((u_n)\) est arithmético-géométrique si \(\begin{cases}u_0=a\\u_{n+1}=b\cdot u_n+c\end{cases}\) avec \(b\neq 0\), \(b\neq 1\), \(c\neq 0\).
Cas dégénérés : \(b=1\) → arithmétique · \(c=0\) → géométrique
- Point fixe \(\ell\) : résoudre \(\ell=b\ell+c\) → \(\ell=\dfrac{c}{1-b}\)
- Suite auxiliaire : poser \(v_n=u_n-\ell\) et montrer \(v_{n+1}=b\cdot v_n\) (géométrique de raison \(b\))
- Exprimer \(v_n\) : \(v_n=(u_0-\ell)\times b^n\)
- Revenir à \(u_n\) : \(u_n=(u_0-\ell)\times b^n+\ell\)
Suite : \(u_0=5\), \(u_{n+1}=2u_n+3\).
1. \(\ell=2\ell+3\Rightarrow\ell=-3\)
2. \(v_n=u_n+3\) → \(v_{n+1}=2v_n\) (géom. raison 2)
3. \(v_0=8\) → \(v_n=8\times 2^n\)
\[u_n=8\times 2^n-3\]
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\tfrac{1}{2}u_n+4\). Point fixe \(\ell=8\).
\[u_n=8-7\times\left(\frac{1}{2}\right)^n\]
Pour montrer que \(v_{n+1}=bv_n\), il faut utiliser l'égalité \(\ell=b\ell+c\) pour faire disparaître la constante. Sans cette manipulation, le calcul ne se simplifie pas.
Figure interactive — Toile d'araignée (suite arithmético-géométrique)
Si |b|<1 la toile spirale vers le point fixe (convergence). Si |b|>1 elle s'en éloigne (divergence). Le point fixe ℓ=c/(1−b) est l'intersection de y=bx+c et y=x.
V. Limites et Convergence des Suites
1. Définitions
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) : la suite est convergente. Elle peut diverger sans avoir de limite : \(u_n=(-1)^n\) oscille entre −1 et 1.
2. Limites usuelles
| Suite \(u_n\) | Limite en \(+\infty\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | 0 |
| \(n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(|q|<1\) | 0 |
| \(q^n\) si \(q>1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(q=1\) | 1 |
| \(q^n\) si \(q\leq-1\) | Pas de limite |
Si \(|q|<1\) alors \(q^n\to 0\). Exemples : \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\), \((0{,}9)^n\to 0\), \((-0{,}3)^n\to 0\). Si \(|q|>1\) la suite diverge.
3. Formes indéterminées
Les formes \(+\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ne peuvent pas être calculées directement.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2-4}=\lim\frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(5-\frac{4}{n^2})}=\frac{3}{5}\)
4. Théorèmes de convergence
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n\leq v_n\leq w_n\) et \(\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim v_n=\ell\).
Exemple : \(-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}\) et les extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\).
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\lim(v_n-u_n)=0\). Elles convergent alors vers la même limite \(\ell\) avec \(u_n\leq\ell\leq v_n\).
Quand une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\) : la limite est le point fixe de la relation.
VI. Exercice type Bac — Étude complète
Énoncé : Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}\).
A. Premiers termes : \(u_1=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\) · \(u_2=\frac{28}{9}\approx 3{,}11\) — La suite semble décroissante et converger vers 3.
B. Bornage par récurrence — \(\mathcal{P}(n):u_n>3\)
Init. : \(u_0=4>3\). Vrai.
Hér. : Si \(u_n>3\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2>\frac{1}{3}(3)+2=3\). Vrai.
Concl. : \(u_n>3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Variations : \(u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+2=2\!\left(1-\frac{u_n}{3}\right)<0\) car \(u_n>3\). Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → converge.
C. Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-3\) → \(v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\) → \(v_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\).
\[u_n=3+\left(\frac{1}{3}\right)^n\]
D. Limite : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3+0=\mathbf{3}\)
Figure interactive — Étude complète de \(u_{n+1}=\tfrac{1}{3}u_n+2\)
La suite décroît vers la limite ℓ=3 (droite tirets bruns). Activez la toile d'araignée pour visualiser la convergence géométrique. La formule exacte uₙ=3+(1/3)ⁿ est tracée en violet.
\(u_{n+1}=u_n+r\) · \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\)
\(u_{n+1}=qu_n\) · \(u_n=u_0q^n\) · \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Point fixe \(\ell=\frac{c}{1-b}\) · \(v_n=u_n-\ell\) géométrique · \(u_n=(u_0-\ell)b^n+\ell\)
Croissante + majorée → converge · Décroissante + minorée → converge · Limite = point fixe
\(|q|<1\Rightarrow q^n\to 0\) · \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\) · \(q\leq-1\) → pas de limite
1. Initialisation · 2. Hérédité (avec H.R. explicite) · 3. Conclusion globale
- Oublier une des 3 étapes de la récurrence
- Compter \(n\) termes au lieu de \(n+1\) dans la somme arithmétique
- Utiliser la formule géométrique avec \(q=1\)
- Ne pas utiliser l'égalité \(\ell=b\ell+c\) dans l'hérédité de l'arithmético-géométrique
- Conclure à la convergence sans vérifier monotonie ET bornage
- Identifier d'abord le type : arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique
- Vérifier le terme général sur les 3 premiers termes avant de l'utiliser
- Pour les arith.-géo. : chercher le point fixe en premier
- Toujours distinguer \(u_n\) (terme) et \(S_n\) (somme)
- Énoncer explicitement l'hypothèse de récurrence et l'étape où on l'utilise
Logarithme Népérien
I. Définition et Domaine de Définition
Le logarithme népérien est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) qui s'annule en 1 :
\[\ln(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt\]
Pour tout \(x>0\) : \(\bigl(\ln x\bigr)'=\dfrac{1}{x}\) et \(\ln(1)=0\).
\[\mathbb{D}_{\ln}=\;]0\,;\,+\infty[\]
\(\ln(0)\) et \(\ln(-5)\) sont impossibles. Tout argument de \(\ln\) doit être strictement positif. Oublier cette condition au Bac coûte 2 à 3 points.
\(\ln\) et \(\exp\) sont des fonctions réciproques :
\[\forall x\in\mathbb{R}:\ln(e^x)=x \qquad\forall x>0:e^{\ln(x)}=x\]
| Expression | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| \(\ln(1)\) | 0 | \(e^0=1\) |
| \(\ln(e)\) | 1 | \(e^1=e\) |
| \(\ln(e^2)\) | 2 | \(e^2=e^2\) |
| \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\) | −1 | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(\ln(\sqrt{e})\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{e}=e^{1/2}\) |
| \(\ln(e^a)\) | \(a\) | Cas général |
Tout argument de la forme \(e^a\) se simplifie immédiatement. Exemple : \(\ln(\sqrt{e})=\ln(e^{1/2})=\dfrac{1}{2}\).
Figure interactive — Courbe de \(y=\ln(x)\) et valeurs remarquables
La courbe de ln est strictement croissante sur ]0;+∞[. Elle passe par (1;0) et (e;1). La droite x=0 est une asymptote verticale. Activez y=eˣ pour visualiser la symétrie par rapport à y=x.
II. Propriétés Algébriques — Les Règles d'Or
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) | Produit → Somme |
| Quotient | \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\) | Quotient → Différence |
| Puissance | \(\ln(a^n)=n\cdot\ln(a)\) | Exposant → Coefficient |
| Inverse | \(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\) | Inverse → Opposé |
| Racine | \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\) | Car \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) |
\(\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b)\) — FAUX
\(\ln(a-b)\neq\ln(a)-\ln(b)\) — FAUX
Les propriétés s'appliquent aux produits et quotients uniquement.
Posons \(f(x)=\ln(ax)\). Alors \(f'(x)=\frac{1}{x}=(\ln x)'\), donc \(f(x)=\ln(x)+C\). En \(x=1\) : \(f(1)=\ln(a)=C\). Ainsi \(\ln(ax)=\ln(x)+\ln(a)\). En \(x=b\) : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).
1. \(\ln(8)=\ln(2^3)=3\ln(2)\)
2. \(\ln(x^2y^3)=2\ln(x)+3\ln(y)\)
3. \(\ln\!\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{y}}\right)=3\ln(x)-\dfrac{1}{2}\ln(y)\)
4. \(\ln\!\left(\dfrac{e^2 x^3}{e\cdot y}\right)=1+3\ln(x)-\ln(y)\)
5. \(2\ln(x)-3\ln(y)+\ln(z)=\ln\!\left(\dfrac{x^2 z}{y^3}\right)\)
(1) Sortir les exposants avec \(\ln(a^n)=n\ln a\) → (2) Transformer produits en sommes et quotients en différences → (3) Identifier \(\ln(e^a)=a\).
III. Étude de la Fonction ln
1. Limites aux bornes
\[\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\qquad\text{(asymptote verticale }x=0\text{)}\]
\[\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\]
2. Dérivée
\[\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}\qquad\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad(u>0)\]
Écrire \(\dfrac{1}{u}\) au lieu de \(\dfrac{u'}{u}\) est la faute la plus fréquente. Mémo : "dérivée de l'argument, divisée par l'argument".
1. \(f(x)=\ln(2x+1)\) → \(f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\)
2. \(g(x)=\ln(x^2+1)\) → \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
3. \(h(x)=x^2\ln(x)\) → \(h'(x)=2x\ln(x)+x=x(2\ln x+1)\)
4. \(k(x)=(\ln x)^2\) → \(k'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\)
\(\ln(x^2)=2\ln x\) (dérivée : \(\dfrac{2}{x}\)) est différent de \((\ln x)^2\) (dérivée : \(\dfrac{2\ln x}{x}\)).
3. Sens de variation
\(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
\[\ln(a)=\ln(b)\Longleftrightarrow a=b \qquad \ln(a)<\ln(b)\Longleftrightarrow a
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=\ln(x)\)
La pente de la tangente en a est f′(a)=1/a. Plus a est grand, plus la courbe s'aplatit. Activez y=1/x pour voir la courbe dérivée converger vers 0.
IV. Croissances Comparées
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\qquad\forall n>0\]
\(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de \(x\).
\[\lim_{x\to 0^+}x^n\ln(x)=0\qquad\forall n>0\]
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\)
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln(x)\) vs \(\sqrt{x}\) vs \(x\)
En zoomant vers +∞, ln(x) semble "s'aplatir" par rapport à √x et x. Activez les rapports pour voir concrètement qu'ils tendent vers 0.
V. Équations et Inéquations Logarithmiques
- Domaine de validité \(\mathcal{D}\) — tous les arguments de \(\ln\) doivent être \(>0\)
- Résoudre — utiliser les propriétés algébriques et la croissance de \(\ln\)
- Conclure — rejeter les solutions hors \(\mathcal{D}\), écrire l'ensemble solution \(S\)
\[\ln(A)=\ln(B)\Longleftrightarrow A=B \qquad \ln(A)<\ln(B)\Longleftrightarrow A
Dom. : \(2x-1>0\) et \(x+3>0\) → \(\mathcal{D}=\left]\tfrac{1}{2};+\infty\right[\)
Résol. : \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\in\mathcal{D}\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln x>\ln(e^2)\Leftrightarrow x>e^2\) → \(S=\;]e^2;+\infty[\)
Dom. : \(x^2-4>0\) et \(3x>0\) → \(\mathcal{D}=\;]2;+\infty[\)
Résol. : \(x^2-3x-4=0\Rightarrow x=-1\) (rejeté, hors \(\mathcal{D}\)) ou \(x=4\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln(x(x-1))=\ln 2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) (valide) ou \(x=-1\) (rejeté)
\(S=\{2\}\)
Dom. : \(x>-1\) et \(x<5\) → \(\mathcal{D}=]-1\,;\,5[\)
Résol. : \(x+1\leq 5-x\Rightarrow x\leq 2\)
\(S=]-1\,;\,2]\)
- Utiliser \(\ln A=\ln B\Rightarrow A=B\) sans avoir vérifié \(A>0\) et \(B>0\)
- Oublier l'intersection avec \(\mathcal{D}\) à l'étape de conclusion
- Regrouper \(\ln A+\ln B\) sans vérifier que \(A,B>0\)
VI. Exercice type Bac — \(f(x)=x-2\ln(x)\)
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]
Figure interactive — Étude complète de \(f(x)=x-2\ln(x)\)
Le minimum M(2 ; 2−2ln2)≈(2 ; 0,61) est strictement positif, ce qui prouve que f(x)>0 pour tout x>0, soit x>2ln(x).
VII. Le Réflexe du Domaine — 5 Pièges Classiques
Avant tout calcul impliquant \(\ln\), déterminer et écrire explicitement \(\mathcal{D}=\ldots\)
- Identifier tous les \(\ln\) présents
- Écrire les conditions : chaque argument \(>0\)
- Résoudre chaque inéquation
- Faire l'intersection des conditions
- Écrire \(\mathcal{D}=\ldots\)
\(x^2-4>0\Leftrightarrow|x|>2\) → \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\)
Erreur fréquente : écrire \(]-2\,;\,2[\) qui est l'ensemble interdit.
\(\mathcal{D}=\left]\frac{5}{2}\,;\,+\infty\right[\)
Tableau de signes de \(\dfrac{x}{x+1}\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | −1 | 0 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | − | − | 0 | + | |||
| \(x+1\) | − | || | + | + | |||
| \(\frac{x}{x+1}\) | + | || | − | 0 | + |
\(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\)
\(x>0\) ET \(x>2\) → intersection → \(\mathcal{D}=]2\,;\,+\infty[\)
Erreur : faire l'union au lieu de l'intersection.
\(e^x>1=e^0\Rightarrow x>0\) → \(\mathcal{D}=]0\,;\,+\infty[\)
\(\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\) · \(\mathbb{D}=]0;+\infty[\) · \(\ln 1=0\) · \(\ln e=1\) · \(\ln e^a=a\)
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) · \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) · \(\ln(a^n)=n\ln a\) · \(\ln(1/a)=-\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\) · \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) si \(u>0\)
\(\lim_{0^+}\ln x=-\infty\) · \(\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\) · \(\frac{\ln x}{x^n}\to 0\) · \(x^n\ln x\to 0\)
3 étapes : \(\mathcal{D}\) → Résoudre → Conclure · \(\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\) · \(\ln A<\ln B\Leftrightarrow A
Écrire \(\mathcal{D}\) en premier · Vérifier \(u>0\) avant \((\ln u)'\) · Croissances comparées pour les limites
- Oublier de déterminer et d'écrire le domaine de définition
- Écrire \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) — FAUX
- Oublier \(u'\) dans \((\ln u)'=u'/u\)
- Confondre \(\ln(x^2)\) et \((\ln x)^2\)
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées en \(\pm\infty\)
- Commencer par écrire \(\mathcal{D}=\ldots\) avant tout calcul
- Simplifier avec les 5 propriétés avant de dériver
- Vérifier l'appartenance au domaine (étape 3 des équations)
- Utiliser la croissance de \(\ln\) pour les inéquations
- Invoquer les croissances comparées dès que \(\ln\) concurrence une puissance
Fonction Exponentielle
I. Introduction et Définition
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\). Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[y=\exp(x)\Longleftrightarrow x=\ln(y)\]
\[\exp(\ln(x))=x\quad\text{pour tout }x>0\]
\[\ln(\exp(x))=x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
On note \(\exp(x)=e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :
\[e=\exp(1)\approx 2{,}718\,281\,828\ldots\]
| Expression | Valeur exacte | Approximation | Justification |
|---|---|---|---|
| \(e^0\) | 1 | exactement 1 | \(\ln(1)=0\) |
| \(e^1\) | \(e\) | \(\approx 2{,}718\) | définition de \(e\) |
| \(e^2\) | \(e^2\) | \(\approx 7{,}389\) | \(\ln(e^2)=2\) |
| \(e^{-1}\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\approx 0{,}368\) | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(e^{1/2}\) | \(\sqrt{e}\) | \(\approx 1{,}649\) | \(e^{1/2}=\sqrt{e}\) |
| \(e^{\ln(5)}\) | 5 | exactement 5 | réciproque |
\(e^{\ln(7)}=7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x=7\). Ce raisonnement circulaire est la clé de toutes les simplifications.
Figure interactive — Courbe de \(y=e^x\), asymptote et symétrie avec ln
La courbe de eˣ est l'image de celle de ln par symétrie par rapport à y=x. Elle est définie sur ℝ, strictement positive, et admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.
II. Propriétés Algébriques
Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(e^{a+b}=e^a\times e^b\) | Somme → produit |
| Quotient | \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | Différence → quotient |
| Puissance | \(e^{na}=(e^a)^n\) | Produit → puissance |
| Inverse | \(\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}\) | Inverse → opposé |
| Racine | \(\sqrt{e^a}=e^{a/2}\) | Racine → exposant ÷ 2 |
| Neutre | \(e^0=1\) | Exposant nul → valeur 1 |
\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — FAUX : c'est \(e^a\times e^b\)
\(e^{ab}\neq e^a\times e^b\) — FAUX : c'est \((e^a)^b\)
a) \(e^3\times e^5=e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4}=e^3\) c) \((e^2)^3=e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}}=e^5\)
e) \(e^{2x}\times e^{-x}\times e^{3x}=e^{4x}\)
f) \(\dfrac{e^{3x+1}\cdot e^{2-x}}{e^{x+3}}=\dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+3}}=e^x\)
(1) Regrouper les produits (additionner les exposants) → (2) Transformer les quotients (soustraire les exposants) → (3) Simplifier le résultat.
III. Étude de la Fonction Exponentielle
1. Signe de \(e^x\) — propriété cruciale
\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.
Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.
2. Dérivée
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\[(e^x)'=e^x\]
Cas composé — si \(u\) est dérivable :
\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]
\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]
Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.
3. Monotonie
\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[e^a
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)
Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.
IV. Limites et Croissances Comparées
\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]
En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)
Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.
V. Équations et Inéquations
Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
VI. Exercice type Bac — \(f(x)=(2x-3)e^x+1\)
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
Figure interactive — Étude complète de \(f(x)=(2x-3)e^x+1\)
Minimum en (½ ; 1−2√e)≈(0,5 ; −2,30). La courbe traverse l'AH y=1 en x=3/2 : en dessous à gauche, au-dessus à droite. La tangente en (0;−2) a pour équation y=−x−2.
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
- \(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — c'est \(e^a\times e^b\)
- \((e^x)'\neq xe^{x-1}\) — c'est \(e^x\)
- Oublier \(u'\) dans \((e^u)'=u'e^u\)
- Écrire que \(e^x=0\) a des solutions — impossible
- Confondre \(e^{2x}\) et \(2e^x\) (qui sont très différents)
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour les FI
- Toujours factoriser \(e^x\) dans la dérivée pour simplifier l'étude du signe
- Croissances comparées dès que \(e^x\) et \(x^n\) coexistent dans une limite
- Identifier le type d'équation (cas A, B, C ou D) avant de résoudre
- Chercher l'AH en calculant la limite en \(-\infty\) puis sa position relative
- Vérifier : \(e^x>0\) et croissante — si votre réponse contredit cela, elle est fausse
Calcul Intégral
I. Définition et Lien avec les Primitives
1. Rappel sur les primitives
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).
2. Définition de l'intégrale
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]
\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]
3. Propriétés
\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]
\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]
La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).
Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique
Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.
II. Interprétation Géométrique — L'Aire sous une Courbe
Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\quad\text{(en unités d'aire, u.a.)}\]
| Cas | Condition | Formule de l'aire |
|---|---|---|
| Cas 1 | \(f\geq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f\,dx\) |
| Cas 2 | \(f\leq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^b f\,dx\right|\) |
| Cas 3 | \(f\) change de signe en \(c\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^c f\right|+\left|\displaystyle\int_c^b f\right|\) |
L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire au Bac.
\[\mathcal{A}_1=\left|\int_{-1}^{0}x\,dx\right|=\frac{1}{2}\qquad\mathcal{A}_2=\int_{0}^{2}x\,dx=2\qquad\mathcal{A}=\frac{1}{2}+2=\boxed{\frac{5}{2}\text{ u.a.}}\]
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx\]
\[\mathcal{A}=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}\text{ u.a.}}\]
Figure interactive — Aire entre deux courbes
L'aire géométrique (toujours positive) peut différer de l'intégrale algébrique ∫(f−g) quand les courbes se croisent. Observez la différence avec sin/cos.
III. Techniques de Calcul — Primitives Usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\) ✓
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
IV. Intégration par Parties (IPP)
\[\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx\]
Arctan
Log ln(x)
Polynôme
Expo eˣ
Sin / Cos
Prendre \(u\) parmi les premiers de la liste, \(v'\) parmi les derniers.
\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) (E) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
\[\int_0^1 xe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}\]
\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)
\[\int_1^e\ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\]
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser systématiquement ALPES
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- Oublier le signe − devant \(\int u'v\)
Figure interactive — Vérification graphique des intégrales IPP
L'aire verte est calculée numériquement et doit coïncider avec le résultat exact de l'IPP. C'est un moyen de vérifier son calcul sur copie.
V. Valeur Moyenne et Inégalités
\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]
\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe.
\[\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}\]
\[f\geq 0\;\Rightarrow\;\int_a^b f\,dx\geq 0\qquad f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^b f\leq\int_a^b g\]
Si \(m\leq f(x)\leq M\) pour tout \(x\in[a\,;\,b]\) :
\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)\]
Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx 1{,}718\in[1\,;\,e]\). ✓
VI. Exercice type Bac — \(f(x)=x\ln(x)\)
Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
A. Étude de la fonction
\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
C. Calcul d'aire
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².
Figure interactive — Étude complète de \(f(x)=x\ln(x)\)
Le minimum est en (1/e ; −1/e)≈(0,37 ; −0,37). La zone verte représente l'aire (e²+1)/4≈2,097 u.a. calculée par IPP. La valeur moyenne μ=(e²+1)/(4(e−1)) est la hauteur du rectangle équivalent.
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours
Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
- Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) — l'aire n'est jamais négative
- \(\int e^{2x}\,dx=e^{2x}\) — FAUX : c'est \(\frac{1}{2}e^{2x}\)
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) pour l'IPP — utiliser ALPES
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\) de l'IPP
- Ne pas découper l'intervalle quand \(f\) change de signe
- Confondre u.a. et cm² — penser à multiplier par les échelles
- Vérifier le signe de \(f\) avant tout calcul d'aire
- Dériver la primitive trouvée pour vérifier \(F'(x)=f(x)\)
- Utiliser ALPES systématiquement pour choisir \(u\) dans l'IPP
- Relation de Chasles pour découper quand \(f\) change de signe
- Encadrement par l'inégalité de la moyenne pour vérifier l'ordre de grandeur