🔢 Partie 2 sur 3 · Algèbre & Analyse

Analyse II & Algèbre

Nombres Complexes, Équations Différentielles & Courbes Paramétrées

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4 / 4 chapitres

Nombres Complexes — Partie I

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ℂ Terminale D · Mathématiques · Chapitre V — Partie I / II

Nombres Complexes

Partie I — Forme algébrique, opérations, conjugué, module et argument, résolution d'équations dans ℂ

🔢 Forme algébrique & \(i^2=-1\) 🔄 Conjugué & division 📏 Module & argument ✅ Équations dans ℂ 🌀 Racines n-ièmes

📋 Sommaire — Partie I

Naissance de \(i\) — Forme Algébrique
- Nécessité, définition, cycle des puissances de \(i\), égalité
Opérations en Forme Algébrique
- Addition, soustraction, multiplication, simplifications
Conjugué d'un Nombre Complexe
- Définition, propriétés, division par le conjugué
Module d'un Nombre Complexe
- Définition, propriétés, lien avec le conjugué
Plan Complexe — Affixe et Image
- Repère, affixe, image, distance, milieu, vecteur
Argument d'un Nombre Complexe
- Définition, calcul, propriétés
Résolution d'Équations dans ℂ
- Équation du 2nd degré (\(\Delta < 0\)), racines n-ièmes, factorisation

I. Naissance de \(i\) — Forme Algébrique

1.1. Pourquoi les Nombres Complexes ?

📖 Motivation fondamentale

Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n'a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) et on construit :

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]

1.2. Cycle des Puissances de \(i\)

⚡ Cycle de période 4

\(i^1\)

\(i\)

→

\(i^2\)

\(-1\)

→

\(i^3\)

\(-i\)

→

\(i^4\)

\(1\)

→ …

\[i^{4k}=1 \quad i^{4k+1}=i \quad i^{4k+2}=-1 \quad i^{4k+3}=-i\]

✏️ Exemples

a) \(i^{23}\) : \(23=4\times5+3\) → \(i^{23}=-i\) b) \(i^{100}=1\) c) \(i^{-1}=-i\)

1.3. Forme Algébrique — Définition et Égalité

📖 Forme algébrique

\[z = a + bi \qquad a,b\in\mathbb{R}\]

\(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (c'est un réel !)
Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.

✅ Égalité

\[z=z' \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}a=a'\\b=b'\end{cases}\]

⚠️ Pièges

\(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
\(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.

II. Opérations en Forme Algébrique

✅ Règles — \(z=a+bi\), \(z'=a'+b'i\)

\[z\pm z' = (a\pm a')+(b\pm b')i \qquad z\times z'=(aa'-bb')+(ab'+ba')i\]

✏️ Exemples

Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1-z_2=2+6i\)

\[z_1\times z_2=(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=11-10i\]

\((1+i)^2=2i\) \((1-i)(1+i)=2\) \((2+3i)^2=-5+12i\)

III. Conjugué d'un Nombre Complexe

📖 Conjugué

\[\bar{z}=a-bi\]

Géométriquement : symétrique de \(z\) par rapport à l'axe réel.

✅ Propriétés

Propriété	Formule
Double conjugaison	\(\overline{\bar{z}}=z\)
Somme	\(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\)
Produit	\(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\)
\(z+\bar{z}\)	\(2\,\text{Re}(z)\)
\(z-\bar{z}\)	\(2i\,\text{Im}(z)\)
\(z\cdot\bar{z}\)	\(a^2+b^2=\|z\|^2\geq 0\)

🔧 Division par le conjugué

\[\frac{z}{z'}=\frac{z\cdot\bar{z'}}{|z'|^2}\]

✏️ Exemples

\[\frac{3+2i}{1-i}=\frac{(3+2i)(1+i)}{2}=\frac{1+5i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \qquad \frac{2-i}{3+2i}=\frac{4-7i}{13}=\frac{4}{13}-\frac{7}{13}i\]

IV. Module d'un Nombre Complexe

📖 Module

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\cdot\bar{z}}\]

Distance entre l'origine \(O\) et l'image \(M\) de \(z\).

✅ Propriétés fondamentales

\[|z\cdot z'|=|z|\cdot|z'| \quad\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} \quad |z^n|=|z|^n \quad z\cdot\bar{z}=|z|^2\]

✏️ Sans développer : \(\left|\dfrac{(1+i)^3}{2-i}\right|=\dfrac{(\sqrt{2})^3}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)

V. Plan Complexe — Affixe et Image

📖 Plan complexe

À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l'image de \(z\) ; \(z\) est l'affixe de \(M\).

✅ Distances et vecteurs

Objet	Formule
Affixe de \(\overrightarrow{AB}\)	\(z_B-z_A\)
Distance \(AB\)	\(\|z_B-z_A\|\)
Milieu \(I\)	\(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)
Centre de gravité \(G\)	\(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\)

✏️ Exemple

\(A(2+3i)\), \(B(5+i)\) : \(\overrightarrow{AB}=3-2i\), \(AB=\sqrt{13}\), milieu \(=\frac{7}{2}+2i\).

📊 Figure interactive JSXGraph — Plan complexe : affixe, image, module, conjugué, distance

Point A (déplaçable)

Point B (déplaçable)

Milieu I

Conjugué Ā

Cercle |z_A|

z_A = 2+3i z_B = 5+i |z_A| = 3.606 |z_B−z_A| = 3.606 Milieu I = 3.5+2i arg(z_A) = 0.983 rad

VI. Argument d'un Nombre Complexe

📖 Argument

Pour \(z\neq 0\), \(\arg(z)\) est la mesure de l'angle orienté \((\vec{u},\,\overrightarrow{OM})\), défini modulo \(2\pi\).

\[\cos\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{a}{|z|} \qquad \sin\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{b}{|z|}\]

⚡ Valeurs remarquables

\(\theta\)	\(\cos\theta\)	\(\sin\theta\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(\pi/6\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\pi/4\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\pi/3\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\pi/2\)	\(0\)	\(1\)
\(2\pi/3\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\pi\)	\(-1\)	\(0\)

✅ Propriétés

\[\arg(z\cdot z')=\arg z+\arg z'\pmod{2\pi} \qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'\pmod{2\pi}\] \[\arg(z^n)=n\cdot\arg z\pmod{2\pi} \qquad \arg(\bar{z})=-\arg z\pmod{2\pi}\]

✏️ Exemple — \(z=-1+i\sqrt{3}\)

\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)

⚠️ Piège — Il faut les deux équations

\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas : \(\frac{2\pi}{3}\) ou \(-\frac{2\pi}{3}\) sont possibles. Le signe du sin est indispensable.

VII. Résolution d'Équations dans \(\mathbb{C}\)

7.1. Équation du 2nd Degré — Cas \(\Delta < 0\)

⭐ Discriminant et racines complexes

Cas	Racines
\(\Delta>0\)	Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\Delta=0\)	Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\)	Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)

\[z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad ; \quad z_2=\overline{z_1}\]

✏️ Exemple 1 — \(z^2-2z+5=0\)

\(\Delta=4-20=-16\) → \(z=\dfrac{2\pm 4i}{2}\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\). Vérif : \(z_1 z_2=5\) ✓

✏️ Exemple 2 — \(z^2+z+1=0\)

\(\Delta=-3\) → \(z_{1,2}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\)

7.2. Factorisation dans \(\mathbb{C}\)

✅ Factorisation

\[az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)\]

7.3. Racines n-ièmes de l'Unité

⭐ Solutions de \(z^n=1\)

\[z_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \qquad k=0,1,\ldots,n-1\]

Ces \(n\) points sont régulièrement répartis sur le cercle unité, espacés de \(\frac{2\pi}{n}\).

✏️ Racines cubiques (\(z^3=1\))

\[z_0=1 \quad;\quad z_1=j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \quad;\quad z_2=j^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

Propriété fondamentale : \(1+j+j^2=0\).

7.4. Racines n-ièmes d'un Complexe Quelconque

🔧 Résoudre \(z^n=\rho\,e^{i\varphi}\)

\[z_k=\rho^{1/n}\,e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{n}} \qquad k=0,1,\ldots,n-1\]

✏️ Exemple — \(z^2=i=e^{i\pi/2}\)

\[z_0=e^{i\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \quad;\quad z_1=e^{i5\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i=-z_0\]

📊 Figure interactive JSXGraph — Racines n-ièmes de l'unité sur le cercle

Racines z_k (cercle unité)

Polygone régulier

z_0 = 1 (point de départ)

n = 3 racines Angle entre deux racines : 120.00° Polygone : triangle équilatéral Somme des racines = 0 (toujours)

n = 3 Polygone régulier Affixes z_k Rayons (angles) Conjugués

🎯 Résumé — Partie I : Ce que le Bac Exige

Forme algébrique

\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)

Cycle : \(i^{4k}=1\), \(i^{4k+1}=i\), \(i^{4k+2}=-1\), \(i^{4k+3}=-i\)

Égalité : identifier Re et Im séparément

Conjugué

\(\bar{z}=a-bi\)

\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)

Division : multiplier par \(\bar{z'}\)

Module

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(|zz'|=|z||z'|\)

\(|z^n|=|z|^n\)

Argument

\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)

\(\arg(zz')=\arg z+\arg z'\)

Défini modulo \(2\pi\) — toujours les 2 équations

Plan complexe

Distance : \(|z_B-z_A|\)

Milieu : \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \(z_B-z_A\)

Équations dans ℂ

\(\Delta<0\) : \(z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)

Racines conjuguées si \(a,b,c\in\mathbb{R}\)

Racines n-ièmes : \(e^{i2k\pi/n}\), espacées de \(2\pi/n\)

⚠️ Les 5 erreurs les plus fréquentes

❌ \(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
❌ Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
❌ Déterminer l'argument avec cos seul (il faut les deux équations)
❌ Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
❌ Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)

Fin Chapitre V — Nombres Complexes, Partie I · Terminale D · © Mathématiques Terminale D

VII

Nombres Complexes — Partie II

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ℂ Terminale D · Mathématiques · Chapitre VII — Partie II / II

Nombres Complexes

Partie II — Forme trigonométrique, formule d'Euler, forme exponentielle, De Moivre, linéarisation, applications géométriques et transformations du plan

🌀 Forme trigonométrique ⚡ Formule d'Euler \(e^{i\theta}\) 🔺 Formule de De Moivre 📐 Applications géométriques 🔄 Rotations & similitudes

📋 Sommaire — Partie II

Forme Trigonométrique
Formule d'Euler et Forme Exponentielle
Formule de De Moivre et Linéarisation
Applications Géométriques
Transformations du Plan par les Complexes
Problème de Synthèse — Type Bac

I. Forme Trigonométrique

1.1. Définition

📖 Forme trigonométrique

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad r=|z|,\;\theta=\arg(z)\]

Forme Algébrique

\(z=a+bi\)

Idéale : +, −, égalité

Forme Trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Idéale : lecture géométrique

Forme Exponentielle

\(z=re^{i\theta}\)

Idéale : ×, ÷, puissances

1.2. Méthode — Passage Algébrique → Trigonométrique

🔧 Méthode en 3 étapes

Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

✏️ 4 cas — un par quadrant

1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\) → \(\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\)

2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\) → \(2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\)

3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\) → \(2(\cos(-\frac{5\pi}{6})+i\sin(-\frac{5\pi}{6}))\)

4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\) → \(2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4}))\)

1.3. Opérations en Forme Trigonométrique

⭐ Produit et quotient

\[z\cdot z'=rr'[\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')] \qquad \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}[\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]\]

Modules : se multiplient. Arguments : s'additionnent.

⚠️ Quadrant unique

Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire pour choisir.

II. Formule d'Euler et Forme Exponentielle

La formule fondamentale de la théorie des complexes

\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

Formule d'Euler — valable pour tout réel \(\theta\)

⭐ Identité d'Euler

\[e^{i\pi}+1=0\]

Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).

📖 Forme exponentielle

\[z = r\,e^{i\theta}\]

✅ Propriétés

\[e^{i\theta}\cdot e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')} \quad (e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\] \[\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta} \quad |e^{i\theta}|=1\] \[\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]

✏️ Exemples

\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\) \(-i=e^{-i\pi/2}\) \(-2=2e^{i\pi}\)

III. Formule de De Moivre et Linéarisation

⭐ Formule de De Moivre

\[\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta) \;\Longleftrightarrow\; (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}\]

✏️ Exemples de puissances

1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=\boxed{-8i}\)

2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=1024(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=512-512\sqrt{3}\,i\)

3.2. Linéarisation

🔧 Via Euler : développer puis regrouper

\[\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2} \qquad \sin^3\theta=\frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}\]

✏️ \(\cos 3\theta\) et \(\sin 3\theta\) via De Moivre

\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

📊 Figure interactive JSXGraph — Cercle trigonométrique, trois formes et puissances

Point M = re^{iθ} (déplaçable)

Puissances M², M³, M⁴…

Cercle de rayon r

Projection cos/sin

r = 1.41 θ = π/4 Forme alg. z = 1+1i Forme trigo. z = √2(cos π/4 + i sin π/4) Forme expo. z = √2 · e^{iπ/4}

r = 1.41 θ = 0.785 rad Projections cos/sin Puissances z², z³… Conjugué z̄

IV. Applications Géométriques

✅ Quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et géométrie

Condition géométrique	Condition complexe
A, B, C alignés	\(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\)
\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)	quotient imaginaire pur
ABC isocèle rect. en A	quotient \(=\pm i\)
ABC équilatéral	module 1, arg \(=\pm\pi/3\)
ABCD parallélogramme	\(z_A+z_C=z_B+z_D\)
Angle \(\widehat{BAC}\)	\(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\)

✏️ Exemple 1 — Alignement

\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{2+4i}{1+2i}=\frac{(2+4i)(1-2i)}{5}=2\in\mathbb{R}\;\Rightarrow\;\text{alignés ✓}\]

✏️ Exemple 2 — Triangle équilatéral

\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=e^{i\pi/3}\;\Rightarrow\;\text{triangle équilatéral}\]

V. Transformations du Plan par les Complexes

5.1. Tableau des Transformations

↗️

Translation \(\vec{w}\)

\(z'=z+w\)

🔄

Rotation centre O, angle α

\(z'=e^{i\alpha}z\)

🔁

Rotation centre Ω, angle α

\(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)

📐

Homothétie centre O, rapport k

\(z'=kz\)

🌀

Similitude directe

\(z'=az+b\)

↔️

Symétrie axe réel

\(z'=\bar{z}\)

⚡ Formule clé — Rotation centre quelconque

\[z'-\omega = e^{i\alpha}(z-\omega) \;\Longleftrightarrow\; z'=e^{i\alpha}(z-\omega)+\omega\]

✏️ Exemples

1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=2i-1=-1+2i\)

2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)

3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).

⚠️ Ne pas oublier de soustraire ω avant de multiplier par e^{iα} !

📊 Figure interactive JSXGraph — Transformations complexes du plan : rotation, homothétie, similitude

Point M (déplaçable)

Image M′

Centre Ω (déplaçable)

Trajectoire de M′

z_M = 2+1i z_M′ = −1+2i Formule : z′ = e^{iπ/2}·z

Transformation : α = 90° k = 1.0 Trajectoire

VI. Problème de Synthèse — Type Bac

📝 EXERCICE TYPE BAC — Étude complète en 4 parties

Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).

🅐 Forme trigonométrique

\[z_B-z_A=2+i \;;\quad r=\sqrt{5} \;;\quad z_B-z_A=\sqrt{5}\!\left(\cos\arctan\frac{1}{2}+i\sin\arctan\frac{1}{2}\right)\]

🅑 Nature du triangle

\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{1+3i}{2+i}=\frac{5+5i}{5}=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\]

Module \(\sqrt{2}\neq 1\), angle \(\pi/4\) → triangle scalène avec \(\widehat{BAC}=45°\) et \(AC=\sqrt{2}\cdot AB\).

🅒 Image par rotation

\[z_{B'}-z_A=e^{i\pi/2}(z_B-z_A)=i(2+i)=-1+2i \;\Rightarrow\; z_{B'}=(1+i)+(-1+2i)=3i\]

Vérif : \(|z_{B'}-z_A|=\sqrt{5}=|z_B-z_A|\) ✓

🅓 Équation complexe

\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)

\[\boxed{z_1=1+2i} \quad;\quad \boxed{z_2=1}\]

🎯 Résumé — Partie II : Ce que le Bac Exige

Forme trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Modules ×, arguments +

Formule d'Euler

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

Forme expo. : \(z=re^{i\theta}\)

Identité : \(e^{i\pi}+1=0\)

De Moivre

\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)

Linéarisation via formules Euler

Géométrie

Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)

Perp. : quotient im. pur

Angle : argument du quotient

Transformations

Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)

Rot. Ω : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)

Similitude : \(z'=az+b\)

3 Formes

Algébrique : \(a+bi\)

Trigo. : \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Expo. : \(re^{i\theta}\)

⚠️ Les 6 pièges classiques — Partie II

❌ Déterminer l'argument avec une seule équation (cos ou sin) — il en faut deux
❌ Oublier de soustraire \(\omega\) dans une rotation de centre quelconque
❌ Confondre linéarisation et formule de Moivre (sens inverses)
❌ Conclure alignement sans montrer que le quotient est réel
❌ Oublier que \(|e^{i\theta}|=1\)
❌ Calculer \((re^{i\theta})^n=r\,e^{i\theta^n}\) au lieu de \(r^n e^{in\theta}\)

💡 Les 5 réflexes gagnants — Partie II

✅ Convertir en forme exponentielle avant de calculer des puissances
✅ Pour la perpendicularité : vérifier que le quotient est imaginaire pur
✅ Module = distance, argument = angle (visualiser sur le plan d'Argand)
✅ Rotation Ω : soustraire \(\omega\), multiplier par \(e^{i\alpha}\), rajouter \(\omega\)
✅ Linéarisation pour simplifier les intégrales ou prouver des identités trigo.

Fin Chapitre VII — Nombres Complexes, Partie II · Terminale D · © Mathématiques Terminale D

VIII

Équations Différentielles

⏱️ 4h de cours 🟢 Analyse 🔄 À rédiger

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∂ Terminale D · Mathématiques · Chapitre IX

Équations Différentielles

Identifier · Résoudre · Vérifier — du problème physique à la solution mathématique. Maîtrise des équations \(y' = ay\) et \(y' = ay + b\), applications et synthèse Bac.

📐 Définition & vocabulaire ⚡ \(y' = ay\) — type 1 ➕ \(y' = ay+b\) — type 2 🔬 Applications physiques ✅ Vérification de solutions

📋 Sommaire du Chapitre

Introduction — Définition et Vocabulaire
Équations du Type \(y' = ay\) — Cas Homogène
Équations du Type \(y' = ay + b\) — Avec Second Membre
Mise sous Forme Standard
Applications Physiques
Vérification d'une Solution
Synthèse et Exercice Type Bac

I. Introduction — Définition et Vocabulaire

📖 Équation différentielle

Équation dont l'inconnue est une fonction, faisant intervenir cette fonction et ses dérivées.

💡 Différence fondamentale

Type	Équation	Inconnue	Solution
Algébrique	\(2x+3=7\)	Un nombre	\(x=2\)
Différentielle	\(y'=2y\)	Une fonction	\(y(x)=Ce^{2x}\)

📖 Solutions et Problème de Cauchy

Solution générale : famille de fonctions paramètrées par \(C\in\mathbb{R}\)
Condition initiale (CI) : \(y(x_0)=y_0\) → détermine \(C\) de façon unique
Problème de Cauchy : équation + CI → solution unique

\[y'=2y,\quad y(0)=3 \;\longrightarrow\; y(x)=3e^{2x}\]

✏️ Exemples du programme

\(y'=3y\) → Type 1 (homogène)
\(y'=-2y+6\) → Type 2 (second membre constant)
\(y'+3y=9\) → Type 2 après mise en forme

II. Équations du Type \(y' = ay\) — Cas Homogène

⚡ Solution générale — À retenir absolument

\[y' = ay \;\Longrightarrow\; y(x) = C\,e^{ax} \quad (C\in\mathbb{R})\]

✅ Démonstration rapide

\[\frac{y'}{y}=a \;\Rightarrow\; (\ln|y|)'=a \;\Rightarrow\; y=Ce^{ax}\]

Vérif : si \(y=Ce^{ax}\), alors \(y'=aCe^{ax}=ay\). ✓

💡 Comportement selon le signe de \(a\)

\(a\)	Comportement (\(C>0\))
\(a>0\)	Croissance exponentielle → +∞
\(a=0\)	Constante \(y=C\)
\(a<0\)	Décroissance exponentielle → 0

🔧 Résoudre \(y'=ay\) avec \(y(x_0)=y_0\)

\[\boxed{y(x)=y_0\,e^{a(x-x_0)}}\]

✏️ Exemples

1. \(y'=3y\), \(y(0)=2\) : \(y=2e^{3x}\). Vérif : \(y'=6e^{3x}=3y\) ✓

2. \(y'=-y\), \(y(1)=5\) : \(y=5e^{-(x-1)}\)

3. \(2y'=5y\), \(y(0)=3\) : \(y'=\frac{5}{2}y\) → \(y=3e^{2.5x}\)

4. \(y'+4y=0\), \(y(2)=-1\) : \(y=-e^{-4(x-2)}\)

📈 Figure interactive JSXGraph — Famille de solutions de \(y' = ay\)

Courbe y = Ce^{ax}

Famille complète (C variable)

Tangente au point M

Point M (déplaçable)

a = 2.00 C = 1.00 y(0) = 1.00 (= C) Comportement : croissance vers +∞ Pente en M : y′ = —

a = 2.0 C = 1.0 Famille complète Tangente en M

III. Équations du Type \(y' = ay + b\)

🔧 Méthode de résolution — 3 étapes

Équilibre : \(y'=0\) → \(y_{\text{eq}}=-b/a\)
Homogène associée : \(y'=ay\) → \(y_h=Ce^{ax}\)
Solution générale : \(y=Ce^{ax}-b/a\)

⚡ Solution générale — À retenir absolument

\[y' = ay+b \;(a\neq 0) \;\Longrightarrow\; y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}\]

✅ Vérification

\[y'=aCe^{ax} \;;\quad ay+b=a\!\left(Ce^{ax}-\tfrac{b}{a}\right)+b=aCe^{ax}-b+b=aCe^{ax} \;\checkmark\]

🔧 Formule avec CI \(y(x_0)=y_0\)

\[\boxed{y(x)=\!\left(y_0+\frac{b}{a}\right)e^{a(x-x_0)}-\frac{b}{a}}\]

✏️ Exemples

1. \(y'=2y+3\), \(y(0)=1\) : équilibre \(-3/2\), \(C=5/2\) → \(y=\frac{5}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)

2. \(y'=-y+4\), \(y(0)=2\) : équilibre 4, \(C=-2\) → \(y=4-2e^{-x}\) → tend vers 4

3. \(y'+3y=6\), \(y(1)=0\) : \(y'=-3y+6\), équilibre 2 → \(y=2(1-e^{-3(x-1)})\)

4. \(3y'-6y=9\), \(y(0)=-2\) : \(y'=2y+3\), \(C=-1/2\) → \(y=-\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)

📈 Figure interactive JSXGraph — Famille de solutions de \(y' = ay + b\) et droite d'équilibre

Courbe y = Ce^{ax} − b/a

Famille (C variable)

Droite d'équilibre y = −b/a

Point CI (déplaçable)

a = −1.00 b = 4.00 C = −2.00 Équilibre y_eq = 4.00 Comportement : convergence vers y_eq (a < 0)

a = −1.0 b = 4.0 C = −2.0 Famille complète Point CI

IV. Mise sous Forme Standard

Type 1 — Homogène

\(y' = ay\)

Solution : \(y=Ce^{ax}\)
Ex. : \(y'=3y\), \(2y'+y=0\)

Type 2 — Second membre

\(y' = ay+b\)

Solution : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
Ex. : \(y'=2y+3\), \(y'+y=4\)

✏️ Reconnaissance rapide

Équation	Forme standard	Type	\(a\)	\(b\)
\(y'+2y=0\)	\(y'=-2y\)	Type 1	\(-2\)	\(0\)
\(3y'=y\)	\(y'=\frac{1}{3}y\)	Type 1	\(\frac{1}{3}\)	\(0\)
\(y'+y=5\)	\(y'=-y+5\)	Type 2	\(-1\)	\(5\)
\(2y'-4y=6\)	\(y'=2y+3\)	Type 2	\(2\)	\(3\)
\(y'=\frac{y-2}{3}\)	\(y'=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\)	Type 2	\(\frac{1}{3}\)	\(-\frac{2}{3}\)

⚠️ Pièges

❌ \(y'+3y=6\) → \(a=+3\) ✗ → \(y'=-3y+6\) donc \(a=-3\)
❌ \(y'=2y+3\) → solution \(Ce^{2x}+\frac{3}{2}\) ✗ → le signe est \(-b/a=-\frac{3}{2}\)
❌ Confondre \(e^{ax}\) et \(ae^x\)

V. Applications Physiques

🔧 Méthode — Du phénomène à l'équation

Identifier la grandeur \(y(t)\)
"Vitesse de variation" → \(y'(t)\) ; "proportionnel à \(y\)" → \(ay\)
Écrire l'équation, identifier \(a\) et \(b\)
Identifier la CI (état initial)
Résoudre et interpréter

☢️ Désintégration Radioactive

\[N'(t)=-kN(t) \;\Rightarrow\; N(t)=N_0 e^{-kt}\]

Demi-vie : \(T_{1/2}=\ln 2/k\)

⚡ Circuit RC

\[q'=-\frac{q}{\tau}+\frac{E}{R} \;\Rightarrow\; q(t)=CE\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\]

Équilibre \(q_{\infty}=CE\)

🌡️ Refroidissement — Newton

\[T'=-k(T-T_a) \;\Rightarrow\; T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}\]

Équilibre : température ambiante \(T_a\)

🌱 Croissance de Population

\[P'=rP \;\Rightarrow\; P(t)=P_0 e^{rt}\]

Croissance exponentielle (modèle Malthus)

✏️ Problème complet — Refroidissement d'un café

\(T_0=90°C\), \(T_a=20°C\), \(k=0{,}05\) min\(^{-1}\).

\[T(t)=20+70\,e^{-0{,}05t}\]

a) \(T(10)=20+70e^{-0{,}5}\approx 62{,}4°C\)

b) \(T=50°C\) → \(t=5\ln 6\approx 16{,}9\) min

VI. Vérification d'une Solution

💡 Exercice fréquent au Bac — plus simple que de résoudre

On calcule \(y'\) et on substitue dans l'équation.

🔧 Méthode en 4 étapes

Calculer \(y'(x)\)
Calculer \(ay(x)+b\)
Vérifier \(y'=ay+b\) pour tout \(x\)
Vérifier la CI

✏️ Exemple 1 — \(y=3e^{2x}-1\) solution de \(y'=2y+2\), \(y(0)=2\)

\(y'=6e^{2x}\) ; \(2y+2=2(3e^{2x}-1)+2=6e^{2x}\) ✓ ; \(y(0)=3-1=2\) ✓

✏️ Exemple 2 — \(y=5+2e^{-3x}\) solution de \(y'+3y=15\)

\(y'=-6e^{-3x}\) ; \(y'+3y=-6e^{-3x}+15+6e^{-3x}=15\) ✓

✏️ Exemple 3 — \(y=Ce^{-t}+3\) solution de \(y'+y=3\), trouver \(C\) avec \(y(0)=7\)

Vérif. générale : \(y'+y=-Ce^{-t}+Ce^{-t}+3=3\) ✓ pour tout \(C\).

CI : \(C+3=7\) → \(C=4\) → \(\boxed{y=4e^{-t}+3}\)

VII. Synthèse — Exercice Type Bac

📝 EXERCICE TYPE BAC — Médicament dans le sang

Contexte : \(C'(t)=-0{,}2\,C(t)+1{,}6\), \(C(0)=8\) mg/L.

🅐 Identification

Type 2 : \(a=-0{,}2\), \(b=1{,}6\). Équilibre : \(-b/a=8\).

🅑 Solution générale

Sol. gén. : \(C(t)=Ke^{-0{,}2t}+8\). Vérif : \(C'=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ; \(-0{,}2C+1{,}6=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ✓

🅒 CI \(C(0)=8\)

\(K+8=8\) → \(K=0\) → \(\boxed{C(t)=8}\) (déjà à l'équilibre).

🅓 CI \(C(0)=2\)

\(K+8=2\) → \(K=-6\) → \(\boxed{C(t)=-6e^{-0{,}2t}+8}\)

🅔 Comportement et temps

\(a=-0{,}2<0\) : \(C(t)\to 8\) mg/L quand \(t\to+\infty\).

\(C(t)=7\) : \(e^{-0{,}2t}=1/6\) → \(t=5\ln 6\approx 8{,}96\) h

🎯 Résumé — Ce que le Bac Exige

Type 1 — \(y'=ay\)

Sol. : \(y=Ce^{ax}\)

Avec CI : \(y=y_0 e^{a(x-x_0)}\)

\(a<0\) : décroissance vers 0

Type 2 — \(y'=ay+b\)

Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)

Équilibre : \(y_{\text{eq}}=-b/a\)

\(a<0\) : convergence

Mise en forme

Ramener à \(y'=ay+b\)

Identifier \(a\) et \(b\) (signes !)

Condition initiale

Substituer \(y(x_0)=y_0\)

Résoudre pour \(C\)

Vérification

Calculer \(y'\) et \(ay+b\)

Vérifier l'égalité + CI

Physique

"Proportionnel" → \(ay\)

"Vitesse de variation" → \(y'\)

Équilibre = état stable

⚠️ Les 6 erreurs qui coûtent des points

❌ Oublier le signe moins dans \(-b/a\)
❌ Se tromper sur \(a\) : \(y'+3y=6\) → \(a=-3\) pas \(+3\)
❌ Confondre \(e^{ax}\) et \(ae^x\)
❌ S'arrêter à la solution générale quand une CI est donnée
❌ Oublier de vérifier la solution
❌ "Diminution proportionnelle à \(N\)" → \(N'=-kN\) (signe négatif !)

💡 Les 5 réflexes gagnants

✅ Mettre sous forme \(y'=ay+b\) avant tout
✅ Calculer l'équilibre \(-b/a\) en premier
✅ Vérifier systématiquement la solution
✅ Si \(a<0\) : convergence vers l'équilibre
✅ Relier la constante d'équilibre à la réalité physique

Courbes Paramétrées

⏱️ 4h de cours 🟢 Analyse / Géo 🔄 À rédiger

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✦ Terminale D · Mathématiques · Chapitre VI

Les Courbes Paramétrées

Étudier le mouvement d'un point dans le plan — définition, symétries, réduction d'intervalle, tableau de variations conjoint, tangentes particulières et études complètes type Bac.

📍 Définition & vecteur position 🔄 Périodicité & symétries 📊 Tableau de variations conjoint 📐 Tangentes horizontales/verticales ✍️ Tracé méthodique

📋 Sommaire du Chapitre

Définition et Principe
Réduction de l'Intervalle d'Étude
Étude des Variations
Tangentes et Points Particuliers
Méthodologie de Tracé — Les 5 Étapes
Étude Complète Type Bac — Courbe de Lissajous
Second Exemple — L'Astroïde

I. Définition et Principe

📖 Définition fondamentale

\[\Gamma=\{M(t)=(x(t),y(t))\mid t\in I\}\]

Système : \(\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\). Vecteur position : \(\overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\).

✏️ Exemples fondamentaux

Cercle : \(x=\cos t\), \(y=\sin t\) — vérif. \(x^2+y^2=1\)

Ellipse : \(x=a\cos t\), \(y=b\sin t\) — vérif. \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Astroïde : \(x=\cos^3 t\), \(y=\sin^3 t\) — vérif. \(x^{2/3}+y^{2/3}=1\)

Lissajous : \(x=\sin(2t)\), \(y=\cos(t)\)

📊 Figure interactive JSXGraph — Courbes paramétrées usuelles

Courbe Γ

Point M(t)

Vecteur position OM

Projections x(t), y(t)

t = 0.000 x(t) = 1.000 y(t) = 0.000 |OM| = 1.000

Courbe : t = 0.00 Vecteur OM Projections Trace animée

II. Réduction de l'Intervalle d'Étude

📖 Périodicité

\[x(t+T)=x(t)\;\text{et}\;y(t+T)=y(t) \;\Rightarrow\;\text{étudier sur }[0,T]\]

Axe \(Ox\)

\(x\) paire, \(y\) impaire

Étudier \(t\geq 0\), puis symétrie par rapport à \(Ox\)

Axe \(Oy\)

\(x\) impaire, \(y\) paire

Étudier \(t\geq 0\), puis symétrie par rapport à \(Oy\)

Centre \(O\)

\(x\) impaire, \(y\) impaire

Étudier \(t\geq 0\), puis symétrie centrale d'origine \(O\)

Axe \(Oy\) (bis)

\(x\) paire, \(y\) paire

Courbe symétrique par \(Oy\)

✏️ Exemple — Lissajous

\(x(-t)=-\sin(2t)=-x(t)\) impaire ; \(y(-t)=\cos(t)=y(t)\) paire → symétrie par \(Oy\). Étude sur \([0,\pi]\).

III. Étude des Variations

✅ Interprétation des signes

\(x'>0\) → droite ; \(x'<0\) → gauche ; \(x'=0\) → extremum horizontal

\(y'>0\) → haut ; \(y'<0\) → bas ; \(y'=0\) → extremum vertical

↗\(x'>0\) et \(y'>0\)

↘\(x'>0\) et \(y'<0\)

↖\(x'<0\) et \(y'>0\)

↙\(x'<0\) et \(y'<0\)

💡 Structure du tableau conjoint

Toujours : t / x′(t) / x(t) / y′(t) / y(t). Calculer les zéros des deux dérivées, évaluer les coordonnées aux bornes et aux zéros.

IV. Tangentes et Points Particuliers

📖 Vecteur tangent

\[\vec{V}(t_0)=\begin{pmatrix}x'(t_0)\\y'(t_0)\end{pmatrix}\]

⭐ Tangentes particulières

Horiz. : \(y'(t_0)=0\) et \(x'(t_0)\neq 0\) → équation \(y=y(t_0)\)

Vert. : \(x'(t_0)=0\) et \(y'(t_0)\neq 0\) → équation \(x=x(t_0)\)

Point stationnaire : \(x'(t_0)=0\) et \(y'(t_0)=0\) → étudier \(\lim_{t\to t_0}\frac{y'(t)}{x'(t)}\)

✅ Pente en un point régulier

\[k=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\]

📊 Figure interactive JSXGraph — Vecteur tangent et tangentes particulières

Courbe Γ sur [0,π]

Vecteur tangent V(t₀)

Droite tangente

Tang. horiz. / vert.

t₀ = 0.000 M(t₀) = (0.000 ; 1.000) x′(t₀) = 2.000 y′(t₀) = 0.000 Tangente : horizontale y = 1

t₀ = 0.000 Vecteur tangent Droite tangente Points critiques

V. Méthodologie de Tracé — Les 5 Étapes

🔧 Plan d'étude complet

Réduction : périodicité puis parité
Dérivées : calculer \(x'\) et \(y'\), trouver leurs zéros, tableau conjoint
Points remarquables : coordonnées aux bornes et zéros, type de tangente
Tracé : placer points, tracer tangentes, relier en suivant ↗↘↖↙
Compléter par symétrie + indiquer le sens de parcours

💡 Bien dessiner les virages

Aux points critiques, la courbe doit être tangente à \(\vec{V}(t_0)\). Jamais de coin anguleux en un point régulier.

VI. Étude Complète Type Bac — Courbe de Lissajous

📝 EXERCICE TYPE BAC — Courbe de Lissajous \(x=\sin(2t)\), \(y=\cos(t)\)

\[\begin{cases}x(t)=\sin(2t)\\y(t)=\cos(t)\end{cases}\]

🅐 Réduction

Période commune \(2\pi\). Parité : \(x\) impaire, \(y\) paire → symétrie par \(Oy\). Étude sur \([0,\pi]\).

🅑 Dérivées sur \([0,\pi]\)

\(x'=2\cos(2t)\) ; \(y'=-\sin(t)\). Zéros de \(x'\) : \(t=\pi/4\) et \(t=3\pi/4\). Zéros de \(y'\) : \(t=0\) et \(t=\pi\) (bornes).

🅒 Valeurs remarquables

\(t\)	\(0\)	\(\pi/4\)	\(\pi/2\)	\(3\pi/4\)	\(\pi\)
\(x(t)\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(y(t)\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(0\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-1\)

🅓 Tableau de variations conjoint

\(t\)	\(0\)		\(\pi/4\)		\(\pi/2\)		\(3\pi/4\)		\(\pi\)
\(x'(t)\)		+	0	−		−	0	+
\(x(t)\)	\(0\)	↗	\(1\)	↘	\(0\)	↘	\(-1\)	↗	\(0\)
\(y'(t)\)	0	−							0
\(y(t)\)	\(1\)	↘							\(-1\)

🅔 Tangentes particulières

Horiz. en \((0;1)\) (\(t=0\)) et \((0;-1)\) (\(t=\pi\)) car \(y'=0\), \(x'\neq 0\).

Vert. en \((1;\frac{\sqrt{2}}{2})\) (\(t=\pi/4\)) et \((-1;-\frac{\sqrt{2}}{2})\) (\(t=3\pi/4\)) car \(x'=0\), \(y'\neq 0\).

🅕 Résultat

Figure en 8 symétrique par \(Oy\), tangentes horizontales en \((0,\pm 1)\), tangentes verticales en \((\pm 1,\pm\frac{\sqrt{2}}{2})\).

📊 Figure interactive JSXGraph — Courbe de Lissajous \(x=\sin(2t)\), \(y=\cos(t)\)

Branche principale [0,π]

Branche symétrique [π,2π]

Point M(t) animé

Tangentes horizontales

Tangentes verticales

t = 0.000 rad M(t) = (0.000 ; 1.000) Sens : → droite ↓ bas (↘) Branche : [0,π]

t = 0.000 Axe Oy symétrie Points critiques Tangentes Sens de parcours

VII. Second Exemple — L'Astroïde

📝 EXERCICE — L'Astroïde (\(a=1\))

\[\begin{cases}x(t)=\cos^3(t)\\y(t)=\sin^3(t)\end{cases}\]

🅐 Réduction → \([0,\pi/2]\)

Parité : \(x\) paire, \(y\) impaire → symétrie par \(Ox\). Puis \(x(\pi-t)=-x(t)\), \(y(\pi-t)=y(t)\) → symétrie par \(Oy\). Étude sur \(\boxed{[0,\pi/2]}\).

🅑 Dérivées sur \([0,\pi/2]\)

\[x'=-3\cos^2 t\sin t \qquad y'=3\sin^2 t\cos t\]

⚠ En \(t=0\) et \(t=\pi/2\) : \(x'=y'=0\) → points stationnaires aux deux bornes.

🅒 Analyse locale

\[\frac{y'}{x'}=-\tan t \;\to\; 0 \;\text{en }t=0 \;\text{(tang. horiz.)} \quad;\quad \to -\infty \;\text{en }t=\pi/2\;\text{(tang. vert.)}\]

4 branches en pointe aux points \((\pm 1,0)\) et \((0,\pm 1)\).

🅓 Tableau sur \([0,\pi/2]\)

\(t\)	\(0\)		\(\pi/4\)		\(\pi/2\)
\(x'(t)\)	0	−		−	0
\(x(t)\)	\(1\)	↘	\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)	↘	\(0\)
\(y'(t)\)	0	+		+	0
\(y(t)\)	\(0\)	↗	\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)	↗	\(1\)

📊 Figure interactive JSXGraph — L'Astroïde \(x=\cos^3 t\), \(y=\sin^3 t\)

Branche [0,π/2] (rouge)

Courbe complète par symétrie

Point M(t) animé

Vecteur tangent

t = 0.000 M(t) = (1.000 ; 0.000) x′(t) = 0.000 y′(t) = 0.000 Type : Point stationnaire (pointe)

t = 0.000 a = 1.0 Branche [0,π/2] Vecteur tangent 4 pointes

🎯 Résumé — Ce que le Bac exige de maîtriser

Définition

\(\Gamma=\{M(t)=(f(t),g(t))\mid t\in I\}\)

Sens de parcours = info supplémentaire

Réduction — Périodicité

\(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\) → étudier sur \([0,T]\)

Réduction — Symétries

\(x\) paire, \(y\) impaire → axe \(Ox\)

\(x\) impaire, \(y\) paire → axe \(Oy\)

\(x\) imp., \(y\) imp. → centre \(O\)

Vecteur tangent

\(\vec{V}(t_0)=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\)

Tang. H : \(y'=0\), \(x'\neq 0\)

Tang. V : \(x'=0\), \(y'\neq 0\)

Point stationnaire : \(x'=y'=0\)

Directions

↗ \(x'>0\), \(y'>0\) · ↘ \(x'>0\), \(y'<0\)

↖ \(x'<0\), \(y'>0\) · ↙ \(x'<0\), \(y'<0\)

Courbes usuelles

Cercle : \((\cos t,\sin t)\)

Ellipse : \((a\cos t,b\sin t)\)

Astroïde : \((\cos^3 t,\sin^3 t)\)

Lissajous : \((\sin 2t,\cos t)\)

⚠️ Les 6 erreurs qui coûtent le plus de points

❌ Oublier d'étudier périodicité et parité avant tout calcul
❌ Confondre \(x'=0\) (tang. verticale) et \(y'=0\) (tang. horizontale)
❌ Conclure "tang. horizontale" quand \(x'(t_0)=0\) aussi — c'est un point stationnaire !
❌ Ne pas calculer les coordonnées aux points critiques
❌ Tracer sans indiquer le sens de parcours
❌ Oublier de compléter par symétrie

💡 Les 5 réflexes gagnants

✅ Réduire d'abord — périodicité puis parité
✅ Vérifier si \(x'\) et \(y'\) s'annulent simultanément avant de parler de tangente
✅ Calculer les coordonnées de tous les points critiques
✅ Dessiner les tangentes aux points critiques avant de relier
✅ Flèches sur la courbe — le sens de parcours est toujours exigé

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