Calcul dans ℝ & Second degré
Ordre et inégalités, valeur absolue et distance, majorants et minorants, encadrements — puis équations, inéquations du second degré et systèmes linéaires. Programme officiel de Seconde Série C/E.
Calcul dans ℝ
I.1 — Ordre et inégalités dans ℝ
Ce chapitre consolide les acquis du premier cycle sur les nombres réels et introduit les premiers outils de l'analyse : encadrer, comparer, approcher. C'est le socle sur lequel s'appuiera toute l'étude des fonctions et des limites dans les classes suivantes.
La relation d'ordre et ses propriétés
Pour deux réels \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est inférieur ou égal à \(b\), noté \(a \le b\), si \(b - a \ge 0\). Cette relation est compatible avec l'addition : pour tout réel \(c\), \(a \le b \iff a + c \le b + c\).
Multiplication par un réel : si \(a \le b\) et \(c > 0\), alors \(ac \le bc\) (l'ordre est conservé) ; si \(a \le b\) et \(c < 0\), alors \(ac \ge bc\) (l'ordre est inversé).
Passage au carré : si \(0 \le a \le b\), alors \(a^2 \le b^2\). Attention, ce résultat est faux si l'un des deux réels est négatif — voir le piège plus bas.
Passage à l'inverse : si \(0 < a \le b\), alors \(\dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{a}\) (l'ordre s'inverse en passant à l'inverse, pour des réels strictement positifs).
Passage à la racine carrée : si \(0 \le a \le b\), alors \(\sqrt{a} \le \sqrt{b}\) (l'ordre est conservé, la fonction racine carrée étant croissante sur \([0;+\infty[\)).
Ne jamais multiplier ou diviser une inégalité par une expression sans connaître son signe. Exemple d'erreur : de \(a < b\), on ne peut PAS déduire \(a^2 < b^2\) si \(a\) et \(b\) ne sont pas tous deux positifs. Contre-exemple : \(-5 < 2\), mais \((-5)^2 = 25 > 2^2 = 4\).
La position relative de \(x\), \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) dépend de la position de \(x\) par rapport à \(1\) :
Si \(0 \le x < 1\) : \(x^2 < x < \sqrt{x}\) (élever au carré un nombre entre 0 et 1 le rend plus petit ; sa racine le rend plus grand).
Si \(x = 1\) : \(x^2 = x = \sqrt{x} = 1\).
Si \(x > 1\) : \(\sqrt{x} < x < x^2\) (l'effet s'inverse au-delà de 1).
Facile. Comparer \(0{,}25\), \(0{,}25^2\) et \(\sqrt{0{,}25}\). Comme \(0 \le 0{,}25 < 1\), on a \(0{,}25^2 < 0{,}25 < \sqrt{0{,}25}\), soit \(0{,}0625 < 0{,}25 < 0{,}5\). Vérifié.
Intermédiaire. Sachant \(2 \le x \le 5\), encadrer \(3x - 1\). On multiplie l'encadrement par \(3\) (positif, l'ordre est conservé) : \(6 \le 3x \le 15\), puis on soustrait \(1\) : \(5 \le 3x - 1 \le 14\).
Plus avancé. Sachant \(1 \le x \le 3\), encadrer \(\dfrac{1}{x+2}\). On a \(3 \le x + 2 \le 5\), tous strictement positifs, donc en passant à l'inverse (l'ordre s'inverse) : \(\dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{x+2} \le \dfrac{1}{3}\).
I.2 — Intervalles, valeur absolue et distance
La valeur absolue permet de mesurer un écart entre deux nombres sans se soucier de l'ordre dans lequel ils sont pris : c'est l'outil naturel pour parler de distance sur la droite numérique.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est \(|b - a|\).
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\), l'inégalité \(|x - a| < r\) est équivalente à \(a - r < x < a + r\), c'est-à-dire \(x \in\ ]a-r\,;\,a+r[\) : l'ensemble des réels situés à une distance de \(a\) strictement inférieure à \(r\) est exactement l'intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\).
Valeur absolue d'un produit et d'un quotient : \(|xy| = |x|\cdot|y|\) et, pour \(y \ne 0\), \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(x\) et \(y\),
\[ |x + y| \le |x| + |y|. \]Facile. La distance entre \(-3\) et \(5\) est \(|5-(-3)| = |8| = 8\).
Intermédiaire. Traduire par un intervalle l'ensemble des solutions de \(|x - 2| < 3\). D'après la propriété, cela équivaut à \(2 - 3 < x < 2+3\), soit \(x \in\ ]-1\,;\,5[\).
Majoration simple. Sachant \(|x| \le 2\) et \(|y| \le 5\), majorer \(|3x - y|\). Par l'inégalité triangulaire (avec le facteur \(3\) devant \(x\)) : \(|3x - y| \le |3x| + |{-y}| = 3|x| + |y| \le 3\times 2 + 5 = 11\).
Figure interactive — Intervalle centré \(]a-r\,;\,a+r[\)
Déplacez \(x\) : le point devient vert si \(|x-a|<r\) (donc \(x\) dans l'intervalle), rouge sinon.
I.3 — Majorants et minorants d'une partie de ℝ
Soit \(E\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \le M\). Un réel \(m\) est un minorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \ge m\).
Si un majorant de \(E\) appartient à \(E\), c'est le plus grand élément (ou maximum, noté \(\max E\)) de \(E\). De même pour le minorant appartenant à \(E\) : c'est le plus petit élément (minimum, \(\min E\)).
Au programme de Seconde, on ne cherche pas systématiquement tous les majorants ou minorants d'un ensemble : on sait vérifier qu'un réel donné en est un. La démarche : prendre un élément quelconque \(x\) de \(E\) et montrer l'inégalité voulue par le calcul.
Exemple. Soit \(E = \{x \in \mathbb{R}\ /\ 1 \le x \le 4\}\). Le réel \(10\) est-il un majorant de \(E\) ? Oui : tout \(x \in E\) vérifie \(x \le 4 \le 10\). Le réel \(3\) est-il un majorant de \(E\) ? Non : \(x = 3{,}5\) appartient à \(E\) et \(3{,}5 > 3\), donc \(3\) ne majore pas \(E\).
Ici, \(4\) est un majorant de \(E\) et \(4 \in E\) : c'est donc le maximum de \(E\), \(\max E = 4\). De même \(\min E = 1\).
Facile. \(E = \{2, 5, -1, 8\}\) : \(8\) est un majorant (et le maximum, car \(8 \in E\)) ; \(-1\) est un minorant (et le minimum).
Intermédiaire. \(E = \,]0\,;\,3[\) : \(3\) est un majorant de \(E\), mais \(3 \notin E\), donc \(E\) n'a pas de maximum. De même \(0\) est un minorant sans être le minimum.
I.4 — Calcul approché et encadrements
En pratique, un résultat exact est rarement utile tel quel : on travaille avec une valeur approchée, à une précision donnée. Le programme se limite volontairement à des encadrements simples — pas de recherche systématique de tous les majorants et minorants possibles.
Une valeur approchée d'un réel \(x\) à \(10^{-n}\) près est un réel \(a\) tel que \(|x - a| \le 10^{-n}\). L'approximation décimale d'ordre \(n\) par défaut de \(x\) est le plus grand décimal à \(n\) chiffres après la virgule inférieur ou égal à \(x\) ; par excès, le plus petit supérieur ou égal à \(x\). L'arrondi d'ordre \(n\) est la valeur approchée décimale à \(n\) chiffres la plus proche de \(x\).
Le programme se limite à l'encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit et d'un quotient de deux réels strictement positifs.
Somme et différence. Si \(3{,}1 \le x \le 3{,}2\) et \(1{,}4 \le y \le 1{,}5\), alors \(4{,}5 \le x+y \le 4{,}7\) (on additionne les bornes de même sens) et \(1{,}6 \le x - y \le 1{,}8\) (on soustrait les bornes opposées : minorant de \(x\) moins majorant de \(y\), et inversement).
Produit. Si \(2 \le x \le 2{,}1\) et \(5 \le y \le 5{,}2\) (deux réels strictement positifs), alors \(10 \le xy \le 10{,}92\) (produit des bornes inférieures d'un côté, des bornes supérieures de l'autre).
Quotient. Avec les mêmes encadrements, \(\dfrac{2}{5{,}2} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2{,}1}{5}\), c'est-à-dire \(0{,}384\ldots \le \dfrac{x}{y} \le 0{,}42\) (on divise par les bornes en croisant : borne inférieure de \(x\) sur borne supérieure de \(y\), et inversement).
La recherche systématique de tous les majorants et minorants d'un ensemble n'est pas au programme. L'encadrement d'un produit ou d'un quotient de réels non tous strictement positifs n'est pas non plus exigible : dans ce cas, il faut raisonner au cas par cas sur les signes, ce qui dépasse le cadre de ce chapitre.
Facile. \(\pi \approx 3{,}14\) est une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut ; \(3{,}15\) en est une par excès.
Intermédiaire. On donne \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}42\) et \(1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74\). Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) : \(3{,}14 \le \sqrt{2}+\sqrt{3} \le 3{,}16\).
Ordre de grandeur. Estimer \(\dfrac{4\,987 \times 0{,}0203}{9{,}8}\) sans calculatrice : on remplace par des valeurs proches simples, \(\dfrac{5\,000 \times 0{,}02}{10} = \dfrac{100}{10} = 10\). L'ordre de grandeur du résultat est \(10\).
Figure interactive — Encadrement d'une somme
Les deux intervalles bleus représentent \(x\) et \(y\) ; l'intervalle vert en dessous représente l'encadrement obtenu pour \(x + y\), largeur cumulée des deux.
I.Bac — Exercice type Bac
On donne les encadrements \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}43\) et \(2{,}23 \le \sqrt{5} \le 2{,}25\). Les questions suivantes sont progressives.
Question 1. Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\), puis \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Somme : on additionne les bornes de même sens : \(1{,}41+2{,}23 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 1{,}43+2{,}25\), soit \(3{,}64 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 3{,}68\).
Différence : on soustrait en croisant les bornes (minorant de \(\sqrt5\) moins majorant de \(\sqrt2\), puis majorant de \(\sqrt5\) moins minorant de \(\sqrt2\)) : \(2{,}23 - 1{,}43 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 2{,}25-1{,}41\), soit \(0{,}80 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 0{,}84\).
Question 2. En déduire un encadrement de \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\) à l'aide des mêmes données.
\(\sqrt2\) et \(\sqrt5\) sont strictement positifs, on peut donc encadrer leur produit en multipliant les bornes de même sens :
\[ 1{,}41 \times 2{,}23 \le \sqrt2\times\sqrt5 \le 1{,}43\times 2{,}25 \]soit \(3{,}1443 \le \sqrt{10} \le 3{,}2175\) (on a utilisé \(\sqrt2\times\sqrt5=\sqrt{10}\), résultat cohérent puisque \(\sqrt{10}\approx 3{,}162\)).
Question 3. Soit \(E = \left\{\dfrac{1}{n}\ /\ n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Le réel \(1\) est-il un majorant de \(E\) ? Le réel \(0\) est-il un minorant de \(E\) ? \(E\) admet-il un maximum ?
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n \le 1\) (avec égalité pour \(n=1\)) : \(1\) est un majorant de \(E\), et comme \(1 \in E\) (pour \(n=1\)), c'est le maximum : \(\max E = 1\).
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n > 0\) : \(0\) est bien un minorant de \(E\). Mais \(0\) n'appartient jamais à \(E\) (aucun \(n\) ne donne \(\frac1n=0\)), donc \(E\) n'a pas de minimum.
Question 4. Sachant \(|x-3| \le 0{,}2\), majorer \(|x^2-9|\).
On factorise : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), donc \(|x^2-9|=|x-3|\times|x+3|\).
De \(|x-3|\le 0{,}2\), on tire \(2{,}8 \le x \le 3{,}2\), donc \(5{,}8 \le x+3 \le 6{,}2\), soit \(|x+3|\le 6{,}2\).
Donc \(|x^2-9| = |x-3|\times|x+3| \le 0{,}2\times 6{,}2 = \mathbf{1{,}24}\).
L'ordre se conserve par addition et par multiplication par un positif ; il s'inverse par multiplication par un négatif, par passage à l'inverse (positifs). Ne jamais multiplier une inégalité par un signe inconnu.
\(|b-a|\) = distance entre \(a\) et \(b\). \(|x-a|<r \iff x\in\,]a-r;a+r[\). Inégalité triangulaire : \(|x+y|\le|x|+|y|\).
On sait vérifier qu'un réel donné majore/minore un ensemble. Un majorant qui appartient à l'ensemble en est le maximum.
Somme : additionner les bornes de même sens. Différence : soustraire en croisant. Produit et quotient de réels strictement positifs uniquement.