Systèmes linéaires dans ℝ × ℝ

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une commerçante de pagnes vend deux modèles, $A$ et $B$. Un premier client achète $3$ pagnes $A$ et $2$ pagnes $B$ pour $9\,500$ F. Un second client achète $2$ pagnes $A$ et $5$ pagnes $B$ pour $15\,500$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un pagne $A$ et $y$ le prix d'un pagne $B$, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque modèle de pagne.

Exercice supplémentaire. Un éleveur achète des sacs d'aliment pour bétail : $3$ sacs de type A et $2$ sacs de type B coûtent $25\,000$ FCFA ; $2$ sacs de type A et $4$ sacs de type B coûtent $30\,000$ FCFA.

1) Poser le système d'équations, $x$ étant le prix d'un sac A et $y$ le prix d'un sac B.
2) Résoudre ce système.
3) Calculer le coût de $5$ sacs A et $3$ sacs B.

Problème. Un groupe scolaire de $40$ personnes (élèves et accompagnateurs) visite un musée. Le billet élève coûte $300$ F, le billet accompagnateur coûte $800$ F. La recette totale est de $15\,000$ F.

Partie A. 1) En notant $x$ le nombre d'élèves et $y$ le nombre d'accompagnateurs, écrire le système traduisant la situation.

Partie B. 2) Résoudre ce système par substitution.

Partie C. 3) Vérifier le résultat et l'interpréter. 4) Si le groupe avait été composé uniquement d'élèves (toujours $40$ personnes), quelle aurait été la recette totale ? Comparer à la recette réelle.

On rappelle que, pour tout réel \(a\), l'égalité \(\ln x=a\) équivaut à \(x=e^{a}\) et que, pour tout réel \(b\gt 0\), l'égalité \(e^{x}=b\) équivaut à \(x=\ln b\). On note \((S)\) le système d'inconnues \(X\) et \(Y\) : \(\begin{cases}3X+2Y=12\\ X-Y=-1\end{cases}\)

1) Résous le système \((S)\) par combinaison, puis vérifie ta solution.

2) On considère le système \((S_1)\) : \(\begin{cases}3\ln x+2\ln y=12\\ \ln x-\ln y=-1\end{cases}\). Précise pour quels réels \(x\) et \(y\) il a un sens, puis résous-le en posant \(X=\ln x\) et \(Y=\ln y\).

3) En posant \(X=e^{x}\) et \(Y=e^{y}\), résous le système \((S_2)\) : \(\begin{cases}3e^{x}+2e^{y}=12\\ e^{x}-e^{y}=-1\end{cases}\). Justifie que les valeurs trouvées pour \(X\) et \(Y\) sont acceptables.

4) En posant \(X=\ln x\) et \(Y=e^{y}\), résous le système \((S_3)\) : \(\begin{cases}2\ln x+e^{y}=9\\ \ln x-e^{y}=-3\end{cases}\).

5) Kofi affirme : « Le système \((S_2)\) a pour solution le couple \((2;3)\). » Explique son erreur, puis, à l'aide des valeurs approchées \(e^{2}\approx 7{,}39\) et \(e^{3}\approx 20{,}09\), justifie par un calcul que ce couple ne vérifie pas la première équation de \((S_2)\).

Dans son atelier, une couturière vend des chemises et des robes. Une première cliente paie 136 000 francs pour 12 chemises et 8 robes ; une seconde paie 110 000 francs pour 5 chemises et 10 robes. On note \(x\) le prix d'une chemise et \(y\) le prix d'une robe, en francs.

1) Traduis ces informations par un système de deux équations, puis calcule \(x\) et \(y\).

2) La couturière augmente le prix de la chemise de 10 % et baisse celui de la robe de 10 %. Calcule les nouveaux prix, puis le pourcentage d'évolution du montant d'une commande de 20 chemises et 10 robes. Explique pourquoi la hausse et la baisse ne se compensent pas.

3) Finalement, elle fixe d'autres prix : \(a\) francs pour la chemise et \(b\) francs pour la robe, de sorte que 20 chemises et 10 robes coûtent 218 000 francs et que 10 chemises et 20 robes coûtent 247 000 francs. Calcule \(a\) et \(b\), puis le pourcentage d'augmentation de chaque article par rapport aux prix de la question 1.

4) Une étude de ses ventes montre que, si elle vend la chemise \(6\,000+500k\) francs, où \(k\) est un entier compris entre 0 et 10, elle vend \(40-2k\) chemises par mois. Démontre que la recette mensuelle des chemises, en francs, est \(R(k)=-1\,000k^{2}+8\,000k+240\,000\).

5) Pour quels prix de la chemise cette recette vaut-elle 255 000 francs ? La recette peut-elle atteindre 260 000 francs ? Justifie.

Un menuisier fabrique chaque semaine \(x\) tabourets et \(y\) bancs. Un tabouret demande 2 heures de travail et 3 planches ; un banc demande 4 heures de travail et 2 planches. Il dispose de 80 heures de travail et de 72 planches par semaine. Il gagne 1 500 francs par tabouret et 2 500 francs par banc.

1) Justifie que les contraintes se traduisent par le système \(\begin{cases}x\geq 0\\ y\geq 0\\ x+2y\leq 40\\ 3x+2y\leq 72\end{cases}\)

2) Le menuisier peut-il fabriquer 10 tabourets et 14 bancs ? 18 tabourets et 10 bancs ? Justifie par un calcul.

3) Dans un repère, on note \((D_1)\) la droite d'équation \(x+2y=40\) et \((D_2)\) la droite d'équation \(3x+2y=72\). Calcule les coordonnées du point \(B\) commun à ces deux droites, puis celles du point \(A\) où \((D_2)\) coupe l'axe des abscisses et du point \(C\) où \((D_1)\) coupe l'axe des ordonnées.

4) L'ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système est le quadrilatère \(OABC\), côtés compris. Explique pourquoi le point où \((D_1)\) coupe l'axe des abscisses n'est pas un sommet de ce domaine. On admet que le gain est maximal en l'un des sommets : exprime le gain \(g\) en fonction de \(x\) et \(y\), calcule-le en chaque sommet et conclus.

5) Une semaine, le menuisier a déjà fabriqué 10 tabourets et veut gagner au moins 50 000 francs. Combien de bancs peut-il fabriquer ?

On considère le système \((S)\) : \(\begin{cases}3x-4y=-6\\ x+2y=8\end{cases}\). Dans un repère orthonormé, on note \((D_1)\) la droite d'équation \(3x-4y=-6\) et \((D_2)\) la droite d'équation \(x+2y=8\).

1) Résous le système \((S)\) par substitution, puis vérifie ta solution.

2) Écris l'équation de chaque droite sous la forme \(y=ax+b\). Justifie que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes, puis interprète graphiquement le résultat de la question 1. On note \(I\) le point obtenu.

3) Détermine le réel \(m\) pour lequel la droite \((D_3)\) d'équation \(mx+y=7\) passe par \(I\). Que peut-on dire alors des trois droites ?

4) On note \((T)\) l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système \(\begin{cases}3x-4y\geq -6\\ x+2y\leq 8\\ y\geq 0\end{cases}\). Les points \(P(1;1)\), \(Q(4;2)\) et \(R(-1;1)\) appartiennent-ils à \((T)\) ? Justifie.

5) L'ensemble \((T)\) est un triangle, côtés compris. Détermine les coordonnées de ses trois sommets, puis calcule son aire en unités d'aire.