Suites numériques

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Exercice 1 — Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-4$ et $u_0=30$. Calculer $u_{12}$ et déterminer le signe de $u_{20}$.

Exercice 2 — Suite géométrique

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.

Exercice 3 — Détermination d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique telle que $u_3=17$ et $u_7=33$. Déterminer $u_0$ et la raison $r$, puis calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$.

Exercice 4 — Somme géométrique et limite

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 5 — Intérêts composés

On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique définie pour tout entier naturel \(n\), de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\). On sait que \(u_3=7\) et \(u_9=25\).

1) Calcule la raison \(r\), puis le premier terme \(u_0\).

2) Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\) et donne, en justifiant, le sens de variation de la suite. Le nombre 148 est-il un terme de la suite ? Et le nombre 200 ?

3) Calcule la somme \(S=u_0+u_1+\dots+u_{20}\).

4) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(w_n=2^{u_n}\). Calcule \(w_0\), \(w_1\) et \(w_2\), puis démontre que la suite \((w_n)\) est géométrique ; précise sa raison.

5) Donne le sens de variation de la suite \((w_n)\), puis calcule la somme \(T=w_0+w_1+w_2+w_3+w_4\) avec la formule du cours. Contrôle ton résultat par une addition.

Un livreur achète une moto neuve au prix de 800 000 francs. Chaque année, la valeur de revente de la moto baisse de 20 % par rapport à sa valeur de l'année précédente. On note \(v_n\) la valeur de revente, en francs, au bout de \(n\) années, de sorte que \(v_0=800\,000\). L'entretien de la moto coûte 30 000 francs la première année, puis chaque année 12 000 francs de plus que l'année précédente. On note \(c_n\) le coût de l'entretien pendant l'année numéro \(n\), de sorte que \(c_1=30\,000\).

1) Calcule \(v_1\) et \(v_2\). Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ? Justifie, puis exprime \(v_n\) en fonction de \(n\).

2) Donne, en justifiant, le sens de variation de la suite \((v_n)\). Calcule \(v_3\), \(v_4\) et \(v_5\), puis indique au bout de combien d'années la moto vaut pour la première fois moins de la moitié de son prix d'achat.

3) Quelle est la nature de la suite \((c_n)\) ? Exprime \(c_n\) en fonction de \(n\), donne son sens de variation et calcule \(c_5\).

4) Calcule le coût total de l'entretien pendant les cinq premières années.

5) Le livreur revend la moto au bout de cinq ans. Calcule ce que la moto lui a réellement coûté pendant ces cinq années : la perte de valeur augmentée de l'entretien. Une agence loue la même moto, entretien compris, pour 180 000 francs par an : que lui conseilles-tu ? Justifie.

Au début de la saison, une retenue d'eau utilisée par des maraîchers contient 2 000 mètres cubes. Chaque mois, elle perd 10 % de son eau par évaporation et par infiltration, puis un canal lui apporte 300 mètres cubes. On note \(u_n\) le volume d'eau, en mètres cubes, au bout de \(n\) mois, de sorte que \(u_0=2\,000\). On donne \(\ln(0{,}5)\approx -0{,}693\) et \(\ln(0{,}9)\approx -0{,}105\).

1) Justifie que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}9\,u_n+300\). Calcule \(u_1\) et \(u_2\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?

2) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-3\,000\). Démontre que la suite \((v_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.

3) Exprime \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\). Un maraîcher craint que la retenue, prévue pour 3 000 mètres cubes, ne déborde un jour : a-t-il raison ? Justifie.

4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n=100\times 0{,}9^{n}\). Déduis-en le sens de variation de la suite \((u_n)\) et interprète.

5) L'irrigation de toutes les parcelles demande un volume d'au moins 2 500 mètres cubes. En utilisant le logarithme népérien, détermine au bout de combien de mois ce volume est atteint.

Soit \((v_n)\) une suite géométrique définie pour tout entier naturel \(n\), de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\). On sait que \(v_2=20\) et \(v_5=160\).

1) Calcule la raison \(q\), puis le premier terme \(v_0\).

2) Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\) et donne, en justifiant, le sens de variation de la suite.

3) Calcule la somme \(S=v_0+v_1+\dots+v_9\).

4) En utilisant les puissances de 2, détermine le rang du premier terme de la suite qui dépasse 10 000, puis donne la valeur de ce terme.

5) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(t_n=\ln(v_n)\). Démontre que la suite \((t_n)\) est arithmétique ; précise sa raison et son premier terme.

6) Démontre que \(t_0+t_1+\dots+t_9=10\ln 5+45\ln 2\), puis donne une valeur approchée de cette somme au dixième près, en prenant \(\ln 5\approx 1{,}609\) et \(\ln 2\approx 0{,}693\).