Terminale A1 · Leçon 7
Statistique à deux variables
Exercices corrigés
Nuage de points — moyennes — centre de gravité $G$
Exercice 1 — Nuage de points et centre de gravité
Un lycée relève les notes de 8 élèves en Maths ($x$) et en Physique ($y$) :
| Élève | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x (Maths) | 8 | 10 | 12 | 14 | 9 | 11 | 15 | 13 |
| y (Physique) | 7 | 9 | 11 | 13 | 8 | 10 | 14 | 12 |
1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
2. Placer le nuage de points et le centre de gravité $G(\bar{x};\bar{y})$.
3. Que remarque-t-on visuellement ?
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- $\bar{x}=\dfrac{8+10+12+14+9+11+15+13}{8}=\dfrac{92}{8}=\boxed{11{,}5}$
$\bar{y}=\dfrac{7+9+11+13+8+10+14+12}{8}=\dfrac{84}{8}=\boxed{10{,}5}$ - Centre de gravité : $G(11{,}5\,;\,10{,}5)$
- Les points sont très bien alignés → forte corrélation linéaire positive entre les notes de Maths et de Physique.
Droite de régression des moindres carrés $y=ax+b$
Exercice 2 — Régression linéaire
Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :
| Année $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| CA $y$ | 12 | 15 | 17 | 20 | 24 |
Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$ $b=\bar{y}-a\bar{x}$
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.
2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.
3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.
Voir le corrigé
- $\bar{x}=3$ · $\bar{y}=\dfrac{12+15+17+20+24}{5}=\dfrac{88}{5}=17{,}6$
$\overline{xy}=\dfrac{1\times12+2\times15+3\times17+4\times20+5\times24}{5}=\dfrac{12+30+51+80+120}{5}=\dfrac{293}{5}=58{,}6$
$\overline{x^2}=\dfrac{1+4+9+16+25}{5}=\dfrac{55}{5}=11$ - $a=\dfrac{58{,}6-3\times17{,}6}{11-9}=\dfrac{58{,}6-52{,}8}{2}=\dfrac{5{,}8}{2}=\boxed{2{,}9}$
$b=17{,}6-2{,}9\times3=17{,}6-8{,}7=\boxed{8{,}9}$
Droite : $\boxed{y=2{,}9x+8{,}9}$ - Année 6 : $y=2{,}9\times6+8{,}9=\boxed{26{,}3}$ M FCFA
Année 8 : $y=2{,}9\times8+8{,}9=\boxed{32{,}1}$ M FCFA
Ajustement affine complet — prévision et résidus
Exercice 4 — Production agricole
Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :
| Pluie $x$ (mm) | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Production $y$ (t) | 120 | 150 | 195 | 230 | 270 | 310 |
1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.
2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.
3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.
4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.
Voir le corrigé
- $\bar{x}=650$ · $\bar{y}=212{,}5$ · $\overline{xy}=\dfrac{400\times120+\cdots+900\times310}{6}=\dfrac{893000}{6}\approx148833$
$\overline{x^2}=\dfrac{400^2+\cdots+900^2}{6}=\dfrac{2870000}{6}\approx478333$
$a=\dfrac{148833-650\times212{,}5}{478333-422500}=\dfrac{148833-138125}{55833}=\dfrac{10708}{55833}\approx\boxed{0{,}3755}$
$b=212{,}5-0{,}3755\times650\approx212{,}5-244\approx\boxed{-31{,}6}$
Droite : $\boxed{\hat{y}=0{,}376x-31{,}6}$ - $\sigma_x\approx182{,}6$ · $\sigma_y\approx64{,}5$ · $r=\dfrac{a\sigma_x}{\sigma_y}=\dfrac{0{,}376\times182{,}6}{64{,}5}\approx\boxed{0{,}995}$ → ajustement excellent.
- $x=750$ : $\hat{y}=0{,}376\times750-31{,}6\approx\boxed{250}$ t
$x=1000$ : $\hat{y}=0{,}376\times1000-31{,}6\approx\boxed{344}$ t (extrapolation — prudence !) - Résidus : $e_1\approx+0{,}4$ · $e_2\approx-0{,}5$ · $e_3\approx+3{,}1$ · $e_4\approx-2{,}4$ · $e_5\approx+0{,}4$ · $e_6\approx-1{,}0$
Très petits → la droite est une bonne représentation.
Ajustement puissance $y=ax^b$ et logarithmique
Exercice 6 — Ajustement puissance
Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :
| $x$ | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 30 | 48 | 76 | 121 | 192 |
1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$. 2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$. 3. Déduire $a$, $b$. 4. Prévision pour $x=600$. 5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.
Série chronologique — tendance et moyennes mobiles
Exercice 7 — Série chronologique et saisonnalité
Ventes trimestrielles (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 3 ans :
| Trimestre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes | 80 | 120 | 95 | 70 | 90 | 135 | 108 | 82 | 102 | 150 | 122 | 95 |
1. Tracer la série. 2. Calculer les moyennes mobiles d'ordre 4. 3. Droite de tendance sur les moyennes mobiles. 4. Coefficients saisonniers. 5. Prévision du trimestre 13.
Problème complet type Bac — régression et prévision
Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso
On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :
| $x$ (années) | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (k FCFA) | 85 | 95 | 112 | 135 | 155 | 178 | 200 |
Partie A — Ajustement linéaire
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.
2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.
Partie B — Ajustement exponentiel
3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.
4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?
Partie C — Application
5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?
Méthode de Mayer
Exercice 6 — Méthode de Mayer
Un nuage de $6$ points, trié par abscisses croissantes, donne deux sous-nuages : $\{(1;2),(2;3),(3;5)\}$ et $\{(6;10),(7;12),(8;13)\}$. Déterminer la droite de Mayer, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen global $G$.
Compost et récolte de tomates
Une maraîchère cultive des tomates sur cinq planches de même surface. Sur chaque planche, elle a apporté une dose différente de compost. Elle note \(x\) la dose de compost, en kilogrammes, et \(y\) la récolte de la planche, en kilogrammes.
| Dose de compost \(x\) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Récolte \(y\) | 12 | 13 | 17 | 19 | 24 |
Les résultats qui ne sont pas des nombres entiers seront arrondis au centième.
1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points de cette série.
2) Calcule la variance \(V(x)\) des doses, la variance \(V(y)\) des récoltes, puis la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\) de la série double.
3) Calcule le coefficient de corrélation linéaire \(r\) de la série. Un ajustement linéaire du nuage est-il justifié ? Explique.
4) Détermine, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\), puis vérifie que cette droite passe par le point \(G\).
5) Interprète le coefficient directeur de cette droite pour la maraîchère. Estime ensuite la récolte d'une planche qui recevrait 14 kilogrammes de compost, puis la dose de compost qui permettrait d'espérer une récolte de 26 kilogrammes. Ces deux estimations sont-elles aussi sûres que les valeurs du tableau ? Justifie.
Droite de Mayer ou droite des moindres carrés : laquelle suit le mieux le nuage
On considère la série statistique double ci-dessous, dont le nuage compte six points. On veut comparer deux droites d'ajustement de ce nuage : celle de la méthode de Mayer et celle de la méthode des moindres carrés.
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 4 | 11 | 18 | 19 | 27 | 35 |
1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage.
2) On partage le nuage en deux sous-nuages : les trois premiers points, puis les trois derniers. Calcule les coordonnées de leurs points moyens \(G_1\) et \(G_2\), puis détermine une équation de la droite \((D_1)\) passant par \(G_1\) et \(G_2\).
3) Calcule la variance \(V(x)\) et la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\), puis détermine une équation de la droite \((D_2)\) de régression de \(y\) en \(x\) obtenue par la méthode des moindres carrés.
4) Démontre que les deux droites passent par le point \(G\). Sont-elles confondues ? Justifie.
5) Pour une droite d'ajustement, on appelle écart d'un point la différence entre la valeur de \(y\) du tableau et la valeur donnée par la droite pour la même abscisse. Calcule la somme des carrés des six écarts pour la droite \((D_1)\), puis pour la droite \((D_2)\). Compare ces deux sommes et interprète le résultat.
Les frais d'entretien d'une moto-taxi
Un conducteur de moto-taxi a noté pendant six ans les frais d'entretien de sa moto. Il note \(x\) l'âge de la moto, en années, et \(y\) les frais d'entretien de l'année, en dizaines de milliers de francs. Deux valeurs de son carnet sont effacées : on les appelle \(p\) et \(q\).
| Âge de la moto \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frais d'entretien \(y\) | 11 | 14 | \(p\) | 21 | \(q\) | 31 |
Il se souvient de deux renseignements. Le point moyen \(G\) du nuage a pour ordonnée 20. La droite de Mayer, obtenue en partageant le nuage entre les trois premiers points et les trois derniers, a pour coefficient directeur 4.
1) Calcule l'abscisse de \(G\), puis démontre que \(p+q=43\).
2) On note \(G_1\) le point moyen des trois premiers points et \(G_2\) celui des trois derniers. Exprime leurs coordonnées en fonction de \(p\) et de \(q\), puis démontre que \(q-p=9\).
3) Résous le système formé par les deux égalités obtenues et donne les deux montants effacés, en francs.
4) Détermine une équation de la droite de Mayer, puis vérifie que le point \(G\) lui appartient.
5) Interprète le coefficient directeur de cette droite pour le conducteur, puis estime les frais d'entretien de l'année où la moto aura 8 ans.
6) D'après ce modèle, à partir de quel âge de la moto les frais d'entretien atteindront-ils 500 000 francs par an ? Ce résultat est-il fiable ? Justifie.
Les adhérents d'une mutuelle de santé
Une mutuelle de santé villageoise a relevé son nombre d'adhérents à la fin de chacune de ses sept premières années. On note \(x\) le rang de l'année et \(y\) le nombre d'adhérents, en dizaines.
| Rang de l'année \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Adhérents \(y\) | 13 | 16 | 20 | 21 | 25 | 27 | 32 |
1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points de cette série.
2) Calcule la variance \(V(x)\) et la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\).
3) Démontre que la droite de régression de \(y\) en \(x\), obtenue par la méthode des moindres carrés, a pour équation \(y=3x+10\), puis vérifie qu'elle passe par \(G\).
4) On suppose que la tendance se poursuit. Pour tout entier \(n\geq 8\), on note \(u_n\) le nombre d'adhérents, en dizaines, donné par la droite pour l'année de rang \(n\). Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\), démontre que la suite \((u_n)\) est arithmétique et interprète sa raison. Calcule \(u_{10}\).
5) Le trésorier propose un autre modèle : à partir des 320 adhérents de l'année de rang 7, le nombre d'adhérents augmenterait de 10 % par an. Pour tout entier \(n\geq 7\), on note \(v_n\) le nombre d'adhérents, en dizaines, prévu par ce modèle pour l'année de rang \(n\) ; ainsi \(v_7=32\). Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ? Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\), puis calcule \(v_{10}\).
6) À la fin de l'année de rang 10, la mutuelle compte en réalité 410 adhérents. Lequel des deux modèles donnait la prévision la plus proche ? Justifie par un calcul.