Probabilité

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Exercice 1 — Équiprobabilité simple

Une urne contient $7$ boules numérotées de $1$ à $7$. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.

Exercice 2 — Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Calculer la probabilité que la somme des résultats soit égale à $7$.

Exercice 3 — Loi de probabilité et espérance

Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.

Exercice 4 — Variance et écart-type

Pour la variable $X$ de l'exercice précédent ($P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$, $E(X)=1{,}7$), calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.

Exercice 5 — Jeu de gain

On tire une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Si le numéro est pair, le joueur gagne $500$ F ; s'il est impair et inférieur à $5$, il gagne $100$ F ; sinon il ne gagne rien. Déterminer la loi du gain $X$, sa fonction de répartition, et l'espérance de gain.

Exercice 6 — Détermination d'un paramètre

Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-1)=p$, $P(X=1)=2p$, $P(X=2)=3p$. Déterminer $p$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.

Pour la fête de l'école, on a vendu 60 tickets de tombola, numérotés de 1 à 60. On tire un ticket au hasard : tous les tickets ont la même probabilité d'être tirés. On considère les événements \(A\) : « le numéro tiré est un multiple de 4 », \(B\) : « le numéro tiré est un multiple de 6 » et \(D\) : « le numéro tiré est impair ».

1) Précise l'univers de cette expérience et son nombre d'éventualités, puis calcule \(p(A)\) et \(p(B)\).

2) Décris par une phrase l'événement \(A\cap B\). En dressant la liste des numéros concernés, justifie que ce sont les multiples de 12, puis calcule \(p(A\cap B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ?

3) Décris par une phrase l'événement \(A\cup B\), puis calcule sa probabilité à l'aide d'une formule. Déduis-en la probabilité que le numéro tiré ne soit ni un multiple de 4 ni un multiple de 6.

4) Justifie que les événements \(A\) et \(D\) sont incompatibles, puis calcule \(p(A\cup D)\).

5) Un ticket gagne un lot si son numéro est un multiple de 4 ou de 6 : le gros lot s'il est multiple des deux, un petit lot sinon. Calcule la probabilité de l'événement \(E\) : « le ticket tiré gagne un petit lot ». Un parent affirme : « Avec un ticket, j'ai plus d'une chance sur trois de gagner un lot. » A-t-il raison ? Justifie.

À un stand de kermesse, un sac contient cinq jetons indiscernables au toucher, numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. Le joueur paie une mise de 100 francs, puis tire successivement et sans remise deux jetons du sac. On note \(S\) la somme des deux numéros tirés. Si \(S\) vaut 8 ou 9, le joueur reçoit 400 francs ; si \(S\) vaut 7, il reçoit 200 francs ; dans les autres cas, il ne reçoit rien. On note \(X\) le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise.

1) Combien de tirages différents sont possibles ? Justifie, et explique pourquoi on peut utiliser l'équiprobabilité.

2) On note \(A\) l'événement « \(S\) vaut 8 ou 9 » et \(B\) l'événement « \(S\) vaut 7 ». Calcule \(p(A)\) et \(p(B)\). Justifie que \(A\) et \(B\) sont incompatibles, puis déduis-en la probabilité que le joueur ne reçoive rien.

3) Donne la loi de probabilité de \(X\) dans un tableau, puis calcule l'espérance mathématique \(E(X)\). Le jeu est-il favorable au joueur ? Interprète.

4) Calcule la variance \(V(X)\) et l'écart-type de \(X\).

5) Les organisateurs décident de changer la mise : elle vaut désormais \(m\) francs, les sommes reçues restant les mêmes. Exprime \(E(X)\) en fonction de \(m\). Pour quelle mise le jeu est-il équitable ? Quelle mise faut-il fixer pour que le stand gagne en moyenne 30 francs par partie ?

Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(-3\), 0, 2 et 5. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous, où \(a\) et \(b\) sont deux nombres inconnus. On sait de plus que l'espérance mathématique de \(X\) est \(E(X)=2\).

1) Écris les deux égalités que vérifient \(a\) et \(b\). Justifie chacune d'elles.

2) Résous le système obtenu, puis donne la loi de probabilité complète de \(X\).

3) Calcule la variance \(V(X)\) et l'écart-type de \(X\).

4) On considère les événements \(A\) : « \(X\) est supérieur ou égal à 2 » et \(B\) : « \(X\) est un nombre pair ». Calcule \(p(A)\) et \(p(B)\). Décris l'événement \(A\cap B\) et donne sa probabilité, puis calcule \(p(A\cup B)\) à l'aide d'une formule.

5) On note \(C\) l'événement contraire de \(A\cup B\). Décris \(C\) par une phrase et calcule sa probabilité de deux façons. Les événements \(A\) et \(C\) sont-ils incompatibles ? Justifie.

Une urne contient 4 boules rouges et \(n\) boules blanches, indiscernables au toucher, où \(n\) est un entier naturel non nul. Un joueur tire au hasard une boule de l'urne. Si la boule est rouge, il gagne 600 francs ; si elle est blanche, il perd 200 francs. On note \(X\) le gain algébrique du joueur, en francs.

1) Dans cette question seulement, \(n=4\). Donne la loi de probabilité de \(X\), puis calcule son espérance mathématique et son écart-type.

2) On revient au cas général. On note \(R\) l'événement « la boule tirée est rouge ». Exprime \(p(R)\) en fonction de \(n\), déduis-en la probabilité de tirer une boule blanche, puis démontre que \(E(X)=\frac{2\,400-200n}{n+4}\).

3) On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\geq 1\) par \(f(x)=\frac{2\,400-200x}{x+4}\). Calcule \(f'(x)\) et déduis-en le sens de variation de \(f\). Que signifie ce résultat pour le joueur ?

4) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\) et interprète-la pour le jeu.

5) Pour quelle valeur de \(n\) le jeu est-il équitable ? À partir de combien de boules blanches l'organisateur gagne-t-il en moyenne au moins 100 francs par partie ?