Primitives et Calcul intégral

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Exercice 1 — Primitives usuelles

Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$

2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$   sur $]0\,;\,+\infty[$

3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$

Exercice 2 — Intégrales définies

Calculer les intégrales suivantes :

1. $\displaystyle I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$

2. $\displaystyle J = \int_1^e \frac{2}{x}\,dx$

3. Interpréter géométriquement $I$ : quelle aire représente-t-il ?

Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.

Exercice 2 — Intégrale de $1/x$

Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

Exercice 4 — Aire entre deux courbes

Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.

1. Déterminer les points d'intersection de leurs courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

2. Étudier le signe de $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle délimité par ces points.

3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface comprise entre les deux courbes.

4. Représenter graphiquement les deux courbes et identifier la surface calculée.

Exercice 6 — Changement de variable et aire — niveau Bac

Soit $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.

1. Montrer que $f(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,1]$.

2. Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.

3. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ en posant le changement de variable $u = 1 - x^2$.

4. Interpréter géométriquement : l'aire calculée correspond-elle à un quart de disque ? Comparer avec $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.

5. En déduire une encadrement de $I$ et vérifier votre calcul.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Une unité de séchage de mangues produit chaque mois \(x\) tonnes de mangues séchées, où \(x\) est un réel de l'intervalle \([0\,;10]\). Son coût marginal, c'est-à-dire le coût de fabrication d'une tonne supplémentaire, est modélisé, en dizaines de milliers de francs par tonne, par \(C_m(x)=3x^2-18x+32\). Le coût total \(C(x)\), en dizaines de milliers de francs, est la primitive de \(C_m\) sur \([0\,;10]\) qui vaut 20 en 0 : ce sont les frais fixes.

1) Justifie que \(C_m(x)\) est strictement positif pour tout \(x\) de \([0\,;10]\). Que peux-tu en déduire pour le coût total ?

2) Détermine \(C(x)\).

3) Calcule \(I=\displaystyle\int_2^7 C_m(x)\,\mathrm{d}x\), puis interprète ce nombre pour l'entreprise.

4) Chaque tonne est vendue 53 dizaines de milliers de francs. Le bénéfice est donc \(B(x)=53x-C(x)\). Montre que \(B'(x)=-3(x+1)(x-7)\).

5) Dresse le tableau de variations de \(B\) sur \([0\,;10]\), puis donne la production qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice en francs.

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'ensemble des nombres réels par \(f(x)=6x(x^2-1)^2\) et \(g(x)=\dfrac{6x}{(x^2+1)^2}\). Tu vas déterminer leurs primitives sans développer, en reconnaissant chaque fois une forme du tableau des primitives.

1) On pose \(u(x)=x^2-1\). Exprime \(f\) à l'aide de \(u\) et de \(u'\), puis détermine toutes les primitives de \(f\).

2) Détermine la primitive \(F_0\) de \(f\) qui prend la valeur 20 en 2.

3) On pose \(v(x)=x^2+1\). Détermine une primitive \(G\) de \(g\), puis justifie ton résultat en dérivant \(G\).

4) Calcule les intégrales \(I=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) et \(J=\displaystyle\int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x\).

5) Sans chercher de nouvelle primitive, calcule \(K=\displaystyle\int_0^1 \bigl(4f(x)-2g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\). Justifie ta méthode.

Sur le plan d'une parcelle maraîchère, l'unité de longueur représente 10 m sur chaque axe du repère. La parcelle est limitée par une route, qui est l'axe des abscisses, par deux clôtures droites d'équations \(x=1\) et \(x=4\), et par la berge d'un marigot, qui est la courbe de la fonction \(f\) définie sur \([1\,;4]\) par \(f(x)=x+\dfrac{4}{x^2}\).

1) Justifie que \(f(x)\) est strictement positif pour tout \(x\) de \([1\,;4]\).

2) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) sur \([1\,;4]\) qui s'annule en 1.

3) Calcule l'aire de la parcelle en unités d'aire, puis en mètres carrés.

4) Le propriétaire veut partager la parcelle en deux parts de même aire par une clôture droite d'équation \(x=t\), avec \(t\) dans \([1\,;4]\). Explique pourquoi \(t\) vérifie \(F(t)=5{,}25\), puis démontre que l'équation \(F(x)=5{,}25\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([1\,;4]\).

5) Calcule \(F(2)\), \(F(3)\) et \(F(2{,}5)\). Déduis-en un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}5\) et interprète-le sur le terrain.

Dans un repère orthogonal, l'unité graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'ensemble des nombres réels par \(f(x)=x^2-2x+3\) et \(g(x)=-x^2+4x+3\), et on note \((C_f)\) et \((C_g)\) leurs courbes.

1) Résous l'équation \(f(x)=g(x)\) et donne les coordonnées des points communs aux deux courbes.

2) Étudie le signe de \(g(x)-f(x)\) sur \([0\,;3]\) et déduis-en la position de \((C_g)\) par rapport à \((C_f)\) sur cet intervalle.

3) Détermine une primitive \(H\) de la fonction \(g-f\).

4) Calcule, en unités d'aire puis en centimètres carrés, l'aire du domaine limité par les deux courbes et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=3\).

5) Calcule \(\displaystyle\int_0^3 g(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x\), puis interprète graphiquement leur différence.