Fonction logarithme népérien

Exercice 1 — Primitives usuelles

Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$

2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$   sur $]0\,;\,+\infty[$

3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$

Exercice 1 — Équation avec logarithme

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)=3$.

Exercice 2 — Équation logarithmique directe

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(5x-3)=\ln(x+9)$.

Exercice 3 — Propriétés algébriques

Calculer, sans calculatrice, $\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right)$.

Exercice 4 — Étude de variations

Étudier les variations de $f(x)=\ln(x)-x^{2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (dérivée, signe, valeur du maximum).

Exercice 6 — Une inégalité classique

Étudier $g(x)=x-\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, montrer que $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln(x) < x$ pour tout $x>0$.

Exercice 5 — Inéquation logarithmique

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x+1) > 2$.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=2-x+\ln x\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère. On donne \(\ln 3{,}1\approx 1{,}131\) et \(\ln 3{,}2\approx 1{,}163\).

1) Détermine la limite de \(f\) en 0. Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?

2) Vérifie que, pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)=x\left(\dfrac{2}{x}-1+\dfrac{\ln x}{x}\right)\), puis détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\).

3) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variations de \(f\).

4) Justifie que \(f\) admet un maximum et précise sa valeur. Démontre alors que, pour tout \(x\gt 0\), \(\ln x\leq x-1\).

5) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\beta\) dans l'intervalle \([1;+\infty[\), puis justifie que \(3{,}1\lt\beta\lt 3{,}2\).

Mariam veut placer 500 000 francs. La caisse A rémunère l'épargne au taux de 6 % par an : après \(n\) années (\(n\) entier naturel), le capital de Mariam, en milliers de francs, vaudrait \(A(n)=500\times 1{,}06^n\). La caisse B ne rémunère qu'à 4 % par an, mais elle ajoute dès l'ouverture du compte une prime de 100 000 francs : le capital vaudrait \(B(n)=600\times 1{,}04^n\). On admet ces deux formules. On donne \(\ln 2\approx 0{,}6931\), \(\ln 3\approx 1{,}0986\), \(\ln 5\approx 1{,}6094\), \(\ln 1{,}06\approx 0{,}0583\) et \(\ln 1{,}04\approx 0{,}0392\).

1) En écrivant \(1{,}2=\dfrac{6}{5}\), démontre que \(\ln 1{,}2=\ln 2+\ln 3-\ln 5\), puis donne une valeur approchée de \(\ln 1{,}2\).

2) À la caisse A, au bout de combien d'années entières le capital aura-t-il au moins doublé ? Justifie chaque étape de la résolution.

3) Démontre que \(A(n)\gt B(n)\) équivaut à \(n\left(\ln 1{,}06-\ln 1{,}04\right)\gt\ln 1{,}2\).

4) Déduis-en le plus petit entier \(n\) pour lequel la caisse A devient plus avantageuse que la caisse B.

5) Mariam hésite entre un placement de 8 ans et un placement de 15 ans. Quelle caisse lui conseilles-tu dans chaque cas ? Interprète le résultat.

On considère l'équation \((E)\) : \(\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln(4x-2)\) et l'inéquation \((I)\) : \(\ln(x-1)+\ln(x+2)\leq\ln(4x-2)\). On donne \(e\approx 2{,}718\).

1) Détermine l'ensemble \(D\) des réels \(x\) pour lesquels les trois nombres \(\ln(x-1)\), \(\ln(x+2)\) et \(\ln(4x-2)\) existent.

2) Résous l'équation \((E)\), puis contrôle ta solution en la remplaçant dans les deux membres.

3) Résous l'inéquation \((I)\). Justifie l'étape où tu supprimes les logarithmes.

4) Pour la solution de \((E)\), les deux membres valent \(\ln 10\). Démontre, sans calculatrice, que \(\ln 10\gt 2\).

5) On cherche deux réels strictement positifs \(x\) et \(y\) tels que \(\ln(xy)=5\) et \(\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=1\). En posant \(a=\ln x\) et \(b=\ln y\), ramène ce problème à un système de deux équations linéaires, résous-le, puis donne \(x\) et \(y\) à l'aide du nombre \(e\).

Sur un plan, un terrain est représenté dans un repère orthonormé où l'unité vaut 10 mètres sur chaque axe. Il est limité par l'axe des abscisses (la route), par les droites d'équations \(x=0\) et \(x=4\), et par la courbe \((C)\) de la fonction \(g\) définie sur \([0;4]\) par \(g(x)=\dfrac{6x+7}{2x+1}\) (la berge de la rivière). Le propriétaire réserve à un potager la partie du terrain située sous la courbe \((C')\) de la fonction \(h\) définie sur \([0;4]\) par \(h(x)=\dfrac{4x}{x^2+4}\). On donne \(\ln 3\approx 1{,}0986\) et \(\ln 5\approx 1{,}6094\).

1) Vérifie que, pour tout \(x\) de \([0;4]\), \(g(x)=3+\dfrac{4}{2x+1}\).

2) Calcule \(g'(x)\) et donne le sens de variation de \(g\). Calcule \(g(0)\) et \(g(4)\), puis justifie que \(g(x)\geq 3\) sur \([0;4]\).

3) Détermine une primitive \(G\) de \(g\) sur \([0;4]\), puis calcule l'aire totale du terrain en unités d'aire. Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée.

4) Démontre que, pour tout \(x\) de \([0;4]\), \(0\leq h(x)\leq 1\). Que peux-tu en déduire pour la position de \((C')\) par rapport à \((C)\) ?

5) Calcule l'aire du potager en unités d'aire : valeur exacte, puis valeur approchée.

6) Déduis-en l'aire de la partie du terrain qui n'est pas réservée au potager, en unités d'aire puis en mètres carrés. Interprète ce nombre comme l'aire d'un domaine limité par deux courbes.