Fonction exponentielle népérienne

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 2 — Équation avec exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=7$.

Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations complet.

4. Équation de la tangente en $x = 0$.

Exercice 12 — Comparaisons de croissance

Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.

2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.

3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.

Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.

4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Exercice 5 — Équation quadratique en $e^x$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-e^{x}-6=0$.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=(x-3)e^x\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère. On rappelle que la limite de \(xe^x\) en \(-\infty\) est 0. On donne \(e^2\approx 7{,}389\) et \(e^3\approx 20{,}086\).

1) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\).

2) Vérifie que \(f(x)=xe^x-3e^x\), puis détermine la limite de \(f\) en \(-\infty\). Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?

3) Démontre que \(f'(x)=(x-2)e^x\), puis dresse le tableau de variations de \(f\).

4) Résous l'équation \(f(x)=0\) et donne, en le justifiant, le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).

5) Vérifie que la fonction \(F\) définie par \(F(x)=(x-4)e^x\) est une primitive de \(f\).

6) Calcule, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par \((C)\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=3\). Explique le signe que tu places devant l'intégrale.

Une mère retire du feu une bouillie de mil destinée à son enfant. On admet que, \(t\) minutes plus tard (\(t\geq 0\)), la température de la bouillie, en degrés Celsius, est \(\theta(t)=28+64e^{-0{,}2t}\). L'enfant peut manger la bouillie dès que sa température ne dépasse plus 36 degrés. On donne \(\ln 2\approx 0{,}693\) et \(e^{-2}\approx 0{,}1353\).

1) Calcule la température de la bouillie à l'instant où elle est retirée du feu, puis au bout de 10 minutes.

2) Détermine la limite de \(\theta\) en \(+\infty\) et interprète ce résultat.

3) Calcule \(\theta'(t)\) et déduis-en le sens de variation de \(\theta\). Est-ce conforme à la situation ?

4) Résous l'équation \(\theta(t)=60\). Donne la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée.

5) Démontre que \(\theta(t)\leq 36\) équivaut à \(t\geq 15\ln 2\). Au bout de combien de temps l'enfant peut-il manger ? Compare avec le résultat de la question 4 et interprète.

Dans cet exercice, \(x\) désigne un nombre réel. On rappelle que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(e^a=e^b\) équivaut à \(a=b\) et \(e^a\lt e^b\) équivaut à \(a\lt b\).

1) Démontre que le nombre \(B(x)=\dfrac{e^{2x+1}\times e^{3-x}}{e^{x+2}}\) ne dépend pas de \(x\) et donne sa valeur.

2) Résous l'équation \(e^{2x}\times e^{x-6}=e^{x^2-10}\), puis contrôle chaque solution.

3) Résous l'inéquation \(e^{2x}\times e^{x-6}\geq e^{x^2-10}\). Justifie l'étape où tu compares les exposants.

4) Résous les équations \(e^x=2\) et \(e^x=4\). Justifie que la seconde solution est le double de la première.

5) On pose \(P(x)=\left(e^x-2\right)\left(4-e^x\right)\). Étudie le signe de chaque facteur, dresse le tableau de signes de \(P(x)\), puis résous l'inéquation \(P(x)\geq 0\).

6) Détermine les limites de \(P\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Quelle asymptote à la courbe de \(P\) en déduis-tu ?

Dans un repère, on note \((\Gamma)\) la courbe de la fonction exponentielle et \((D)\) la droite d'équation \(y=3x-1\). Pour les comparer, on étudie la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=e^x-3x+1\). On admet que la limite de \(\dfrac{e^x}{x}\) en \(+\infty\) est \(+\infty\). On donne \(\ln 3\approx 1{,}099\) et \(e^2\approx 7{,}389\).

1) Détermine la limite de \(f\) en \(-\infty\).

2) Vérifie que, pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-3+\dfrac{1}{x}\right)\), puis détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\).

3) Calcule \(f'(x)\), résous l'inéquation \(f'(x)\gt 0\) et dresse le tableau de variations de \(f\).

4) Calcule la valeur exacte du minimum de \(f\) et justifie qu'il est strictement positif. Démontre alors que \(e^x\gt 3x-1\) pour tout réel \(x\) et interprète ce résultat pour \((\Gamma)\) et \((D)\).

5) Détermine une primitive \(F\) de \(f\), puis calcule, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par \((\Gamma)\), \((D)\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=2\).