Étude de fonctions polynômes et de fonctions rationnelles

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 1 — Variations d'un polynôme

Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^2-4x+3$ et en déduire ses variations sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 3 — Signe de la dérivée

Étudier le signe de $g'(x)$ et les variations de $g(x)=(1-3x)^2$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Étude complète

Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 4 — Limites à gauche et à droite

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.

Exercice 5 — Domaine et limites

Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.

Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle

Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).

Exercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4

Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.

Exercice 6 — Synthèse

Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.

Une coopérative de tisserandes fabrique chaque semaine \(x\) dizaines de pagnes, où \(x\) est un réel de l'intervalle \([1\,;15]\). Le coût moyen de fabrication d'un pagne, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction \(f\) définie sur \([1\,;15]\) par \[f(x)=\dfrac{x^2+4x+19}{x+1}.\]

1) Vérifie que, pour tout \(x\) de \([1\,;15]\), \(f(x)=x+3+\dfrac{16}{x+1}\).

2) Calcule \(f'(x)\), puis montre que \(f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+5)}{(x+1)^2}\).

3) Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\) sur \([1\,;15]\).

4) Pour quelle production le coût moyen d'un pagne est-il le plus faible ? Donne ce coût et interprète le résultat pour la coopérative.

5) Résous algébriquement, dans \([1\,;15]\), l'inéquation \(f(x)\leq 12\).

6) Chaque pagne est vendu 12 000 francs. Interprète le résultat de la question 5, puis calcule le bénéfice d'une semaine où la coopérative fabrique 30 pagnes.

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On considère la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) différent de 2 par \(g(x)=ax+b+\dfrac{4}{x-2}\), et on note \((C)\) sa courbe dans un repère. On sait que \((C)\) passe par les points \(A(3\,;6)\) et \(B(6\,;6)\).

1) Traduis ces deux informations par un système de deux équations d'inconnues \(a\) et \(b\), puis résous ce système. Dans toute la suite, on prend \(g(x)=x-1+\dfrac{4}{x-2}\).

2) Détermine la limite de \(g\) à gauche en 2, puis à droite en 2. Interprète graphiquement.

3) Détermine les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Démontre que la droite \((D)\) d'équation \(y=x-1\) est asymptote à \((C)\), puis précise la position de \((C)\) par rapport à \((D)\).

4) Calcule \(g'(x)\), montre que \(g'(x)=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}\) et donne les variations de \(g\).

5) Justifie, à l'aide des variations de \(g\), que l'équation \(g(x)=0\) n'a aucune solution. Retrouve ce résultat par le calcul.

Une savonnerie artisanale fabrique et vend chaque mois \(x\) centaines de savons, où \(x\) est un réel de l'intervalle \([0\,;8]\). Son bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers de francs, est modélisé par la fonction \(B\) définie sur \([0\,;8]\) par \(B(x)=-x^3+6x^2+15x-40\). Un bénéfice négatif est une perte.

1) Calcule \(B'(x)\) et vérifie que \(B'(x)=-3(x+1)(x-5)\).

2) Étudie le signe de \(B'(x)\) sur \([0\,;8]\), puis dresse le tableau de variations de \(B\).

3) Quel est le bénéfice mensuel maximal, et pour quelle production est-il atteint ? Donne la réponse en francs.

4) Démontre que l'équation \(B(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l'intervalle \([0\,;5]\).

5) Calcule \(B(1)\) et \(B(2)\), puis donne par dichotomie un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}25\).

6) On admet que l'équation \(B(x)=0\) admet aussi une solution unique \(\beta\) dans \([5\,;8]\) et que \(7{,}3\lt\beta\lt 7{,}4\). Interprète \(\alpha\) et \(\beta\) pour le gérant : pour quelles productions la savonnerie gagne-t-elle de l'argent ?

On considère la fonction \(h\) définie pour tout réel \(x\) différent de 1 par \(h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère et \((D)\) la droite d'équation \(y=x-1\).

1) Détermine les limites de \(h\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Interprète graphiquement.

2) Détermine la limite de \(h\) à gauche en 1, puis à droite en 1. Interprète graphiquement.

3) Calcule \(h'(x)\), puis donne le sens de variation de \(h\).

4) Montre que, pour tout réel \(x\) différent de 1, \(h(x)-(x-1)=\dfrac{x(4-x)}{x-1}\).

5) Résous algébriquement l'inéquation \(h(x)\geq x-1\).

6) Interprète graphiquement le résultat de la question 5 : donne les points communs à \((C)\) et à \((D)\), puis la position de \((C)\) par rapport à \((D)\).