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Exercices — Première Série E — Géométrie descriptive

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Exercices — Géométrie descriptive

Principes de l'épure : point, droite, plan · Intersections, orthogonalité et travaux pratiques

Première Série E · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre 1 — Principes de l'épure : point, droite, plan

1

QCM — Principes de l'épure

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La ligne de terre $LT$ est :
a) l'intersection de $PH$ et $PV$   b) une droite quelconque du plan   c) toujours horizontale dans l'espace   d) parallèle à $PV$

2) Sur l'épure, les projections $m$ et $m'$ d'un même point $M$ sont toujours situées sur :
a) une même horizontale   b) une même verticale (ligne de rappel)   c) une droite quelconque   d) le même point

3) La cote d'un point $M$ se lit sur l'épure comme :
a) la distance de $m$ à $LT$   b) la distance de $m'$ à $LT$ (au-dessus)   c) la distance entre $m$ et $m'$   d) l'abscisse de $M$

4) Les traces $t_h$ et $t_v$ d'un plan $P$ (non parallèle à $LT$) se coupent :
a) jamais   b) en un point quelconque du plan   c) toujours en un point de $LT$   d) uniquement si $P$ est vertical

1
Réponse : a. $LT=PH\cap PV$, par définition.
2
Réponse : b. C'est la règle fondamentale de l'épure : la ligne de rappel est toujours verticale.
3
Réponse : b. La cote (hauteur) se lit sur $m'$, au-dessus de $LT$.
4
Réponse : c. Les deux traces se coupent toujours en un point de $LT$, puisque $LT\subset P$.
2

Situation d'intégration — Épure d'un pylône, lycée technique de Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un professeur de génie civil au lycée technique de Bobo-Dioulasso construit l'épure du sommet $M$ d'un pylône métallique, de coordonnées : abscisse $4$, éloignement $5$, cote $6$ (mètres, $LT$ comme axe des abscisses de l'épure).

Consigne : Donner les coordonnées de $m$ (projection horizontale) et de $m'$ (projection verticale) sur l'épure, puis vérifier que ces deux points sont bien situés sur la même ligne de rappel.

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1
$m'(4;6)$ au-dessus de $LT$ (cote $6$). $m(4;-5)$ en dessous de $LT$ (éloignement $5$).
2
$m$ et $m'$ ont la même abscisse $4$ : ils sont bien situés sur la même ligne de rappel (verticale), conformément à la règle fondamentale de l'épure.
3

Problème — Épure d'une droite et d'un plan

Difficile Problème
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Problème.

Partie A. Un point $A$ a pour abscisse $2$, éloignement $4$, cote $1$ ; un point $B$ a pour abscisse $7$, éloignement $1$, cote $5$. 1) Donner les coordonnées de $a$, $a'$, $b$, $b'$ sur l'épure. 2) Décrire par où passent les projections $d=(ab)$ et $d'=(a'b')$ de la droite $(AB)$.

Partie B. Un plan $P$ a pour traces $t_h$ et $t_v$ sécantes au point $I(5;0)$ de $LT$. 1) Justifier pourquoi $t_h$ et $t_v$ se coupent nécessairement en un point de $LT$. 2) Le point $I$ appartient-il au plan $P$ ? Justifier.

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A.1
$a'(2;1)$, $a(2;-4)$, $b'(7;5)$, $b(7;-1)$.
A.2
$d'=(a'b')$ passe par $(2;1)$ et $(7;5)$, au-dessus de $LT$. $d=(ab)$ passe par $(2;-4)$ et $(7;-1)$, en dessous de $LT$.
B.1
$LT=PH\cap PV$ appartient à la fois à $t_h$ (trace dans $PH$) et à $t_v$ (trace dans $PV$) dès que le plan $P$ n'est pas parallèle à $LT$ : les deux traces se coupent donc nécessairement en un point de $LT$.
B.2
Oui : $I\in LT\subset P$, puisque $I$ est justement le point où $P$ traverse la ligne de terre.

Chapitre 2 — Intersections, orthogonalité et travaux pratiques

1

QCM — Intersections et orthogonalité

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'intersection $\Delta$ de deux plans $P$ et $Q$ se détermine par :
a) $m=t_{h,P}\cap t_{h,Q}$ et $m'=t_{v,P}\cap t_{v,Q}$   b) le milieu de $LT$   c) un seul point   d) les centres de $P$ et $Q$

2) Les points $m$ et $m'$ ainsi obtenus, sur la droite d'intersection $\Delta$, sont en général :
a) toujours sur la même ligne de rappel   b) deux points différents de $\Delta$ (trace horizontale et trace verticale)   c) confondus   d) tous deux sur $LT$

3) Un plan $P$ contenant la direction verticale a une trace verticale $t_v$ :
a) horizontale   b) verticale sur l'épure   c) confondue avec $LT$   d) inexistante

4) Pour un tel plan, une droite orthogonale à $P$ a une projection horizontale :
a) parallèle à $t_h$   b) perpendiculaire à $t_h$   c) confondue avec $LT$   d) verticale

1
Réponse : a. Méthode du cours pour l'intersection de deux plans par leurs traces.
2
Réponse : b. $m$ (trace horizontale de $\Delta$) et $m'$ (trace verticale de $\Delta$) sont deux points distincts de la même droite $\Delta$, pas les deux projections d'un seul point.
3
Réponse : b. $t_v$ est verticale sur l'épure, passant par le même point de $LT$ que $t_h$.
4
Réponse : b. La projection horizontale de la perpendiculaire est perpendiculaire à $t_h$.
2

Situation d'intégration — Jonction de deux conduites d'eau à Kaya

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux conduites d'adduction d'eau sont représentées par deux plans $P$ et $Q$ dans le projet d'un ingénieur à Kaya. Leurs traces horizontales se coupent au point $m(2;-3)$, et leurs traces verticales se coupent au point $m'(7;5)$.

Consigne : Déterminer par où passe la projection horizontale $d$ et la projection verticale $d'$ de la droite d'intersection $\Delta$ des deux conduites (canal de jonction), en utilisant la méthode du cours.

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1
$d$ passe par $m(2;-3)$ et par le point de $LT$ d'abscisse celle de $m'$, soit $(7;0)$.
2
$d'$ passe par $m'(7;5)$ et par le point de $LT$ d'abscisse celle de $m$, soit $(2;0)$.
3

Problème — Projeté orthogonal sur un plan de chantier

Difficile Problème
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Problème — Un plan de chantier $P$ contient la direction verticale ; sa trace horizontale $t_h$ a pour équation $y=-(x-3)$. Le point $M$ (sommet d'un poteau à positionner) a pour projections $m(8;-2)$ et $m'(8;4)$.

Partie A. Vérifier que la perpendiculaire à $t_h$ passant par $m$ coupe $t_h$ en un point $h$ à déterminer.

Partie B. En déduire les coordonnées $h'$ (projection verticale du pied $H$ du projeté orthogonal de $M$ sur $P$).

Partie C. Calculer la distance $mh$ dans la vue horizontale (arrondie au centième).

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A
$t_h$ a pour pente $-1$. La perpendiculaire par $m(8;-2)$ a pour pente $1$ : $y=-2+(x-8)=x-10$. Intersection avec $t_h$ : $x-10=-(x-3)\Rightarrow x-10=-x+3\Rightarrow2x=13\Rightarrow x=6{,}5$, puis $y=-(6{,}5-3)=-3{,}5$. Donc $h(6{,}5;-3{,}5)$.
B
$H$ a la même cote que $M$ (segment $MH$ horizontal) : $h'$ a pour cote celle de $m'$ (soit $4$) et pour abscisse celle de $h$ (soit $6{,}5$). $h'(6{,}5;4)$.
C
$mh=\sqrt{(8-6{,}5)^2+(-2-(-3{,}5))^2}=\sqrt{1{,}5^2+1{,}5^2}=\sqrt{4{,}5}\approx2{,}12$ (unités de plan).
Mode hors-ligne — données en cache