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Exercices — Première Série C — Transformations

Retour au cours — Première Série C et E · Transformations

Exercices — Transformations

Homothéties & translations · Réflexions · Rotations

Première Série C et E · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre 1 — Homothéties et translations

1

QCM — Homothéties et translations

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une homothétie de rapport $k=1$ est, par définition :
a) une rotation   b) une translation   c) une symétrie   d) toujours l'identité seule

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1;2)$, rapport $k=-3$. L'image de $A(3;4)$ est :
a) $(-5;-4)$   b) $(5;4)$   c) $(7;8)$   d) $(-1;-2)$

3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=5$ est :
a) homothétie centre $\Omega$, rapport $-5$   b) homothétie centre $\Omega$, rapport $\dfrac15$   c) translation   d) homothétie centre $\Omega$, rapport $5$

4) $h_1$ de rapport $2$ et $h_2$ de rapport $\dfrac12$ (centres distincts). $h_1\circ h_2$ est :
a) une homothétie de rapport $1$   b) une translation   c) une homothétie de rapport $4$   d) l'identité

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1
Réponse : b. Si $k=1$, $f$ est une translation (d'après la caractérisation vectorielle du cours).
2
Réponse : a. $\overrightarrow{\Omega A}=(2;2)$, $\overrightarrow{\Omega A'}=-3\times(2;2)=(-6;-6)$, donc $A'=(1-6;2-6)=(-5;-4)$.
3
Réponse : b. Même centre, rapport inverse $\dfrac15$.
4
Réponse : b. $2\times\dfrac12=1$, donc la composée est une translation.
2

Situation d'intégration — Agrandissement d'un plan de quartier

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un urbaniste agrandit le plan d'un quartier de Ouagadougou à l'aide d'une homothétie de centre le rond-point de référence $\Omega$ (origine du repère) et de rapport $k=2{,}5$, pour produire une carte plus détaillée. Sur le plan initial, un carrefour $A$ a pour coordonnées $(40;60)$ (en mètres depuis $\Omega$), et un second carrefour $B(100;60)$ est situé à $60$ m de $A$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de l'image $A'$ de ce carrefour sur la carte agrandie, puis calculer la distance $A'B'$ sur cette carte agrandie.

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1
$\overrightarrow{\Omega A}=(40;60)$, donc $\overrightarrow{\Omega A'}=2{,}5\times(40;60)=(100;150)$. Comme $\Omega=(0;0)$, $A'=(100;150)$.
2
L'homothétie multiplie toutes les distances par $|k|$ : $A'B'=|k|\times AB=2{,}5\times60=150$ m.
3

Problème — Motif de tissage traditionnel (faso dan fani)

Difficile Problème
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Problème — Une artisane de Bobo-Dioulasso dessine un motif de tissage à partir d'un triangle $ABC$, $A(1;1)$, $B(3;1)$, $C(2;3)$, transformé par une homothétie $h$ de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$.

Partie A. Déterminer les coordonnées des images $A'$, $B'$, $C'$ par $h$.

Partie B. 1) Cette homothétie conserve-t-elle les angles du triangle $ABC$ ? Justifier. 2) Quel est le rapport de l'aire du triangle $A'B'C'$ sur celle du triangle $ABC$ ?

Partie C. L'artisane veut vérifier qu'elle peut retrouver le motif d'origine à partir du motif transformé. Donner le centre et le rapport de la réciproque de $h$.

A
$A'=-2\times(1;1)=(-2;-2)$. $B'=-2\times(3;1)=(-6;-2)$. $C'=-2\times(2;3)=(-4;-6)$.
B.1
Oui : une homothétie-translation conserve toujours l'angle orienté, quel que soit le signe de $k$ (résultat du cours).
B.2
Les distances sont multipliées par $|k|=2$, donc les aires (produit de deux longueurs) sont multipliées par $|k|^2=4$ : le rapport des aires est $4$.
C
Même centre $\Omega(0;0)$, rapport $\dfrac1k=-\dfrac12$.

Chapitre 2 — Réflexions

1

QCM — Réflexions

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même   b) la réflexion d'axe $(Oy)$   c) l'identité   d) une translation

2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$   b) $(-7;-3)$   c) $(-7;3)$   d) $(3;7)$

3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation   b) une translation   c) une homothétie   d) une réflexion

4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$   b) $-(\vec u,\vec v)$   c) $2(\vec u,\vec v)$   d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$

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1
Réponse : a. Une réflexion est involutive : $s\circ s=\mathrm{id}$, donc $s^{-1}=s$.
2
Réponse : a. $s(x;y)=(x;-y)$, donc $s(7;-3)=(7;3)$.
3
Réponse : b. Axes parallèles : la composée est une translation.
4
Réponse : b. Une réflexion inverse toujours le signe de l'angle orienté.
2

Situation d'intégration — Façade symétrique d'un bâtiment administratif

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte de Ouagadougou conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.

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1
Réflexion par rapport à la droite verticale $x=6$ : $x'=2\times6-2=10$, $y'=3$. Donc $F'(10;3)$.
2
Distance de $F(2;3)$ à $(D)$ : $|2-6|=4$. Distance de $F'(10;3)$ à $(D)$ : $|10-6|=4$. Les deux distances sont bien égales.
3

Problème — Motif en fer forgé d'un artisan de Ouagadougou

Difficile Problème
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Problème — Un artisan de Ouagadougou orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.

Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.

Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.

Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.

A
$s_{D_1}(x;y)=(x;-y)$. $s_{D_2}(x;y)=(y;x)$.
B.1
$s_{D_1}(4;1)=(4;-1)$.
B.2
$s_{D_2}(4;-1)=(-1;4)$.
B.3
$(D_1)$ et $(D_2)$ se coupent en $O$ avec un angle de $45°$ de $(D_1)$ vers $(D_2)$ : $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $2\times45°=90°$. Formule de rotation $90°$ : $(x;y)\mapsto(-y;x)$, appliquée à $(4;1)$ donne $(-1;4)$ — cohérent avec le résultat du 2).
C
$s_{D_1}(0;3)=(0;-3)$, puis $s_{D_2}(0;-3)=(-3;0)$. Vérification par la rotation directe : $(x;y)\mapsto(-y;x)$ sur $(0;3)$ donne $(-3;0)$ — cohérent.

Chapitre 3 — Rotations

1

QCM — Rotations

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $40°$. La réciproque de $r_1$ est :
a) rotation centre $O$ angle $40°$   b) rotation centre $O$ angle $-40°$   c) rotation centre $O$ angle $140°$   d) une translation

2) $r_1$ angle $70°$, $r_2$ angle $110°$, même centre $O$. $r_2\circ r_1$ est :
a) rotation angle $40°$   b) rotation angle $180°$   c) rotation angle $-40°$   d) une homothétie

3) Le groupe des rotations de centre $\Omega$ fixé, muni de la composition, est :
a) non commutatif   b) commutatif   c) non stable   d) sans élément neutre

4) Toute isométrie du plan qui fixe un point $\Omega$ est :
a) toujours une translation   b) une rotation ou une réflexion   c) toujours une homothétie   d) toujours l'identité

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1
Réponse : b. Même centre, angle opposé.
2
Réponse : b. $70°+110°=180°$.
3
Réponse : b. $\theta_1+\theta_2=\theta_2+\theta_1$ : le groupe est commutatif.
4
Réponse : b. D'après le résultat de classification du cours.
2

Situation d'intégration — Grande roue de la foire de Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une grande roue foraine installée lors de la foire de Bobo-Dioulasso tourne autour de son centre $O$. Une nacelle part de la position $A(0;15)$ (mètres, $O$ étant le centre de la roue), et la roue effectue une rotation de $150°$ (sens direct) entre deux arrêts.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la nouvelle position $A'$ de la nacelle après cette rotation (arrondies au centième de mètre), puis vérifier que la distance de $A'$ au centre $O$ est bien restée égale à $15$ m.

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1
Formule de rotation d'angle $\theta$ : $x'=x\cos\theta-y\sin\theta$, $y'=x\sin\theta+y\cos\theta$. Avec $\theta=150°$ : $\cos150°\approx-0{,}8660$, $\sin150°=0{,}5$.
2
$x=0$, $y=15$ : $x'=0\times(-0{,}8660)-15\times0{,}5=-7{,}5$. $y'=0\times0{,}5+15\times(-0{,}8660)\approx-12{,}99$. Donc $A'\approx(-7{,}5;-12{,}99)$.
3
$OA'=\sqrt{7{,}5^2+12{,}99^2}=\sqrt{56{,}25+168{,}74}=\sqrt{224{,}99}\approx15{,}00$ m : conforme, la rotation étant une isométrie, la nacelle reste bien à $15$ m du centre.
3

Problème — Décomposer une rotation d'atelier en deux réflexions

Difficile Problème
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Problème — Un ingénieur souhaite décomposer la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $130°$ en un produit de deux réflexions d'axes passant par $O$.

Partie A. Donner un couple d'axes $(D_1),(D_2)$ possible (préciser l'angle de chaque axe par rapport à $(Ox)$).

Partie B. Vérifier ce résultat sur le point $A(5;0)$ : 1) calculer l'image de $A$ par la rotation directe $r$ (formule, valeurs arrondies au centième) ; 2) calculer l'image de $A$ par $s_{D_1}$ puis par $s_{D_2}$ (avec les axes de la partie A), et vérifier qu'on retrouve le même résultat.

Partie C. Sans calcul supplémentaire, la composée de $r$ avec elle-même (deux rotations de $130°$ de suite) est-elle la même transformation qu'une rotation unique d'angle $260°$ ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours.

A
L'angle entre les deux axes doit valoir $\dfrac{130°}2=65°$. On peut prendre $(D_1)=(Ox)$ (angle $0°$) et $(D_2)$ l'axe faisant un angle de $65°$ avec $(Ox)$, passant par $O$.
B.1
$\cos130°\approx-0{,}6428$, $\sin130°\approx0{,}7660$. $A(5;0)$ : $x'=5\times(-0{,}6428)\approx-3{,}21$, $y'=5\times0{,}7660\approx3{,}83$. $A'\approx(-3{,}21;3{,}83)$.
B.2
$s_{D_1}(5;0)=(5;0)$ ($A$ est déjà sur l'axe $(Ox)$). Puis $s_{D_2}(5;0)$ avec $D_2$ à $65°$ : $x'=5\cos130°\approx-3{,}21$, $y'=5\sin130°\approx3{,}83$ — même résultat qu'en B.1.
C
Oui : la composée de deux rotations de même centre additionne les angles ($130°+130°=260°$), donc $r\circ r$ est bien la rotation de centre $O$ et d'angle $260°$.
Mode hors-ligne — données en cache