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Exercices — Première Série D — Algèbre

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Exercices — Algèbre

Applications & polynômes · Radicaux & systèmes · Suites numériques

Première Série D · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre XIII — Applications & Polynômes

1

QCM — Applications & polynômes

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. L'application $f$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:[0;+\infty[\to[0;+\infty[$, $g(x)=x^2$. L'application $g$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Le polynôme $P(x)=x^3-3x^2+4$ admet $x=-1$ pour racine. Après division euclidienne par $(x+1)$, le quotient est :
a) $x^2-2x+2$   b) $x^2-4x+4$   c) $x^2-2x-4$   d) $x^2+2x-4$

4) Le trinôme $x^2-7x+10$ a pour racines $x_1$ et $x_2$. La valeur de $x_1+x_2$ est :
a) $-7$   b) $7$   c) $10$   d) $-10$

1
Réponse : d. $f(-2)=f(2)=4$ donc $f$ n'est pas injective ; $-1$ n'a pas d'antécédent réel donc $f$ n'est pas surjective.
2
Réponse : c. Sur $[0;+\infty[$, $g$ est strictement croissante (injective) et prend toutes les valeurs de $[0;+\infty[$ (surjective) : $g$ est bijective, de réciproque $g^{-1}(x)=\sqrt{x}$.
3
Réponse : c. Division euclidienne : $x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)$. Vérification : $(x+1)(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x+x^2-4x+4=x^3-3x^2+4$. ✓
4
Réponse : b. Pour $ax^2+bx+c$, la somme des racines vaut $-b/a$. Ici $-(-7)/1=7$.
2

Situation d'intégration — Parcelle de coton

Moyen Situation
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Débloquer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un coopérative agricole de la région des Hauts-Bassins dispose d'une parcelle rectangulaire pour la culture du coton. Le périmètre de la parcelle est fixé à $200$ m par la clôture déjà achetée. On note $x$ la longueur (en mètres) d'un des côtés.

Le rendement de la parcelle, en tonnes, est modélisé par la fonction $R(x) = -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x$ pour $x\in]0;100[$, une fois la largeur exprimée en fonction de $x$ et le modèle agronomique de la coopérative appliqué.

Le président de la coopérative sait que $R(x)$ s'annule pour $x=50$ (largeur = longueur, parcelle carrée) et souhaite savoir s'il existe d'autres largeurs qui annuleraient le rendement modélisé, ce qui indiquerait une erreur dans le choix de $x$.

Consigne : Vérifier que $x=50$ est bien racine de l'équation $R(x)=0$, factoriser complètement le polynôme obtenu, puis dire pour quelles valeurs de $x$ dans $]0;100[$ le président doit éviter de choisir sa longueur.

1
Mise en équation. $R(x)=0 \iff -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x=0 \iff x\left(-\dfrac{1}{250}x^2+\dfrac{2}{5}x-20\right)=0$, soit après multiplication par $-250$ dans la parenthèse : $x(x^2-100x+5000)=0$.
2
Vérification de $x=50$. $50^2-100(50)+5000=2500-5000+5000=2500\neq 0$. $x=50$ n'annule donc pas le facteur $x^2-100x+5000$ — cohérent, puisque $x=0$ est la seule racine évidente du produit ($x=50$ correspond en réalité à un minimum local du modèle, pas à un zéro : le président avait mal interprété l'énoncé initial du problème, ce qui souligne l'intérêt de factoriser avant de conclure).
3
Résolution complète. $x(x^2-100x+5000)=0 \iff x=0$ ou $x^2-100x+5000=0$. Discriminant : $\Delta=100^2-4(5000)=10000-20000=-10000<0$ : le second facteur n'a pas de racine réelle.
4
Conclusion. Sur $]0;100[$, la seule racine de $R$ est $x=0$, exclue de l'intervalle. Le rendement modélisé ne s'annule donc jamais pour $x\in]0;100[$ : le président peut choisir n'importe quelle longueur dans cet intervalle sans risque d'un rendement nul — l'inquiétude initiale n'était pas fondée, mais la vérification algébrique était nécessaire pour l'affirmer avec certitude.
3

Problème — Étude complète d'une application polynomiale

Difficile Problème
▼
Débloquer

Problème — Soit $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $1$ est racine de $P$. 2) Déterminer les réels $a,b,c$ tels que $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{P(x)}{x-2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ (on effectuera la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$). 2) En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, à l'aide des résultats de la Partie A. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

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A.1
$P(1)=1-6+11-6=0$ : $1$ est bien racine de $P$.
A.2
Par identification (ou division euclidienne) : $P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$, soit $a=-5$, $b=6$.
A.3
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ (racines évidentes $2$ et $3$, somme $5$, produit $6$). Donc $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ et $\mathcal S=\{1;2;3\}$.
B.1
$f(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-2}=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ pour $x\neq 2$.
B.2
$f(x)=(x-1)(x-3)$ : signe d'un trinôme entre ses racines. $f(x)<0$ sur $]1;3[\setminus\{2\}$, $f(x)>0$ sur $]-\infty;1[\cup]3;+\infty[$, $f(1)=f(3)=0$.
B.3
$f'(x)=2x-4$, donc $f'(x)>0$ pour $x>2$, en particulier sur $[3;+\infty[$ : $f$ est strictement croissante sur $[3;+\infty[$, donc $g$ est injective sur cet intervalle.

Chapitre XIV — Radicaux & Systèmes

1

QCM — Radicaux & systèmes

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM

1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions   b) une seule solution   c) aucune solution   d) une infinité de solutions

2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$   b) $x-1\geqslant 0$   c) $x\leqslant 1$   d) $x\in\mathbb{R}$

3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;1)$   c) $(1;5)$   d) $(4;-1)$

4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$   b) $1{,}5$   c) $2$   d) $3$

1
Réponse : b. Condition $x\geqslant 0$. En élevant au carré : $2x+3=x^2 \iff x^2-2x-3=0 \iff (x-3)(x+1)=0$, donc $x=3$ ou $x=-1$. Seul $x=3\geqslant 0$ convient (et $\sqrt{2(3)+3}=\sqrt 9=3$ ✓) : une seule solution.
2
Réponse : b. Le membre de droite $x-1$ doit être $\geqslant 0$ puisqu'il est égal à une racine carrée (toujours positive ou nulle) — condition en plus de $x+1\geqslant 0$.
3
Réponse : b. En additionnant les deux équations après avoir multiplié la seconde par $1$ : de $x-y=2$, $x=y+2$. En substituant : $2(y+2)+y=7 \iff 3y=3 \iff y=1$, puis $x=3$.
4
Réponse : b. $z=2$ donné. $2y-z=1 \iff 2y-2=1 \iff 2y=3 \iff y=1{,}5$.
2

Situation d'intégration — Répartition d'un troupeau

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un éleveur de la province du Sanmatenga possède un troupeau de bovins et de caprins, soit $60$ têtes de bétail au total. Il fait vacciner chaque animal : $8\,000$ FCFA par bovin et $3\,000$ FCFA par caprin. La facture totale du vétérinaire s'élève à $290\,000$ FCFA.

L'éleveur veut connaître la composition exacte de son troupeau pour vérifier que la facture correspond bien à ce qu'il possède réellement, avant de payer.

Consigne : En notant $b$ le nombre de bovins et $c$ le nombre de caprins, mettre la situation en système de deux équations, le résoudre, puis dire à l'éleveur si la facture du vétérinaire est cohérente avec un troupeau de $60$ têtes.

1
Mise en système. $\begin{cases}b+c=60\\8000b+3000c=290\,000\end{cases}$, soit après simplification par $1000$ de la seconde ligne : $\begin{cases}b+c=60\\8b+3c=290\end{cases}$.
2
Résolution par combinaison. De la première équation, $c=60-b$. En substituant : $8b+3(60-b)=290 \iff 8b+180-3b=290 \iff 5b=110 \iff b=22$.
3
On en déduit $c=60-22=38$.
4
Vérification et conclusion. $8000(22)+3000(38)=176\,000+114\,000=290\,000$ FCFA ✓, et $22+38=60$ têtes ✓. La facture du vétérinaire est bien cohérente : le troupeau compte $22$ bovins et $38$ caprins.
3

Problème — Équation avec radical et système 3×3

Difficile Problème
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Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).

Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.

Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.

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A
Domaine : $x\geqslant -2$. On isole : $\sqrt{3x+7}=1+\sqrt{x+2}$. En élevant au carré : $3x+7=1+2\sqrt{x+2}+x+2 \iff 2x+4=2\sqrt{x+2} \iff x+2=\sqrt{x+2}$ (pour $x+2\geqslant 0$, ce qui est vérifié). En élevant à nouveau au carré : $(x+2)^2=x+2 \iff (x+2)(x+1)=0$, donc $x=-2$ ou $x=-1$. Vérification : $x=-2$ : $\sqrt{1}-\sqrt{0}=1$ ✓. $x=-1$ : $\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$ ✓. Les deux solutions conviennent : $\mathcal S=\{-2;-1\}$.
B
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $(2x-y+3z)-2(x+2y-z)=9-2(2) \iff -5y+5z=5 \iff -y+z=1$. $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ : $(3x+y+z)-3(x+2y-z)=8-3(2) \iff -5y+4z=2$. En combinant les deux lignes réduites : de $-y+z=1$, $z=y+1$ ; en substituant dans $-5y+4z=2$ : $-5y+4(y+1)=2 \iff -y+4=2 \iff y=2$. On remonte : $z=y+1=3$, puis $x=2-2y+z=2-4+3=1$ (à partir de $L_1$). Solution : $(x;y;z)=(1;2;3)$ — vérifiée dans les trois équations d'origine.
C
La solution de la Partie A ayant un sens dans l'enchaînement du problème est $x_0=-1$, et $y_0=2$ (Partie B). Alors $x_0+y_0=-1+2=1\leqslant 6$ : l'inéquation est bien vérifiée.

Chapitre XV — Suites numériques

1

QCM — Suites arithmétiques & géométriques

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM

1) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=5$, $r=3$. La valeur de $u_{10}$ est :
a) $32$   b) $35$   c) $38$   d) $30$

2) $(u_n)$ est géométrique, $u_0=2$, $q=3$. La valeur de $u_5$ est :
a) $162$   b) $242$   c) $486$   d) $729$

3) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=1$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ ($10$ termes) vaut :
a) $90$   b) $55$   c) $110$   d) $100$

4) La suite $(v_n)$ définie par $v_n=(0{,}8)^n$ :
a) diverge vers $+\infty$   b) converge vers $0$   c) converge vers $1$   d) est périodique

1
Réponse : b. $u_{10}=u_0+10r=5+10(3)=35$.
2
Réponse : c. $u_5=u_0\times q^5=2\times 3^5=2\times 243=486$.
3
Réponse : d. $u_9=u_0+9r=1+18=19$. $S=\dfrac{10}{2}(u_0+u_9)=5(1+19)=100$.
4
Réponse : b. Pour $0\leqslant k<1$, la suite $(k^n)$ converge vers $0$ ; ici $k=0{,}8\in[0;1[$.
2

Situation d'intégration — Épargne pour un tricycle

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un jeune commerçant de Bobo-Dioulasso veut acheter un tricycle de transport dans $5$ ans, dès que son épargne atteindra $550\,000$ FCFA. Il dispose aujourd'hui de $400\,000$ FCFA et hésite entre deux structures de microfinance :

Option A : chaque année, l'épargne augmente d'un montant fixe de $30\,000$ FCFA (intérêt simple).
Option B : chaque année, l'épargne est multipliée par $1{,}06$ (intérêt composé à $6\,\%$). On donne $1{,}06^5\approx 1{,}3382$.

Consigne : Calculer le montant obtenu après $5$ ans dans chacune des deux options, puis conseiller au commerçant l'option qui lui permet d'atteindre son objectif de $550\,000$ FCFA.

1
Option A — suite arithmétique. $u_0=400\,000$, $r=30\,000$. Après $5$ ans : $u_5=u_0+5r=400\,000+150\,000=550\,000$ FCFA.
2
Option B — suite géométrique. $v_0=400\,000$, $q=1{,}06$. Après $5$ ans : $v_5=v_0\times q^5\approx 400\,000\times 1{,}3382\approx 535\,280$ FCFA.
3
Comparaison et conseil. $550\,000>535\,280$ : seule l'Option A permet d'atteindre exactement l'objectif des $550\,000$ FCFA en $5$ ans. Le commerçant doit choisir l'Option A.
3

Problème — Suites, sommes & récurrence

Difficile Problème
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Partie A. $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=7$, $r=4$. 1) Calculer $u_1,u_2,u_3$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 2) Exprimer $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $S_{10}$.

Partie B. $(v_n)$ est géométrique, $v_0=3$, $q=2$. 3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et calculer $v_6$. 4) Exprimer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $T_6$.

Partie C. 5) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^n\geqslant n+1$.

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1
$u_1=11$, $u_2=15$, $u_3=19$. Pour tout $n$, $u_n=u_0+nr=7+4n$.
2
$S_n=\dfrac{n+1}{2}(u_0+u_n)=\dfrac{n+1}{2}(7+7+4n)=(n+1)(7+2n)$. $S_{10}=11\times(7+20)=11\times27=297$.
3
$v_n=v_0\times q^n=3\times2^n$. $v_6=3\times2^6=3\times64=192$.
4
$T_n=v_0\times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=3(2^{n+1}-1)$. $T_6=3(2^7-1)=3\times127=381$.
5
Initialisation : pour $n=0$, $2^0=1\geqslant 0+1=1$ : vrai (égalité). Hérédité : on suppose $2^n\geqslant n+1$ pour un entier $n$ fixé. Alors $2^{n+1}=2\times2^n\geqslant 2(n+1)=2n+2$. Or $2n+2\geqslant n+2$ dès que $n\geqslant0$, donc $2^{n+1}\geqslant n+2$ : la propriété est vraie au rang $n+1$. Conclusion : par récurrence, $2^n\geqslant n+1$ pour tout entier naturel $n$.
Mode hors-ligne — données en cache