Suites Numériques & Dispersion
Modes de génération d'une suite, sens de variation — suites arithmétiques et géométriques (terme de rang \(p\), somme des \(n\) premiers termes) — caractéristiques de dispersion d'une série statistique. Programme officiel de Première Série A.
Suites numériques : génération et variation
IV.1 — Modes de génération d'une suite
Une suite numérique \((u_n)\) associe à chaque entier naturel \(n\) (l'indice, ou rang) un nombre réel \(u_n\) (le terme de rang \(n\)). Deux façons usuelles de la définir :
• à partir d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb N\) :
\(u_n=f(n)\) pour tout \(n\) ;
• par récurrence : on donne \(u_0\), puis une relation
permettant de calculer \(u_{n+1}\) à partir de \(u_n\).
Suite \(u_n=f(n)\). Soit \(f(x)=2x+1\) et \(u_n=f(n)\). Alors \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_5=11\).
Suite récurrente. \(u_0=1\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=2u_n+1\). On calcule de proche en proche : \(u_1=2\times1+1=3\), \(u_2=2\times3+1=7\), \(u_3=2\times7+1=15\), \(u_4=2\times15+1=31\).
Figure — Nuage de points de la suite récurrente \(u_0=1\), \(u_{n+1}=2u_n+1\)
Chaque terme double presque : la suite croît très rapidement, contrairement à une suite arithmétique (voir chapitre suivant).
IV.2 — Suites croissantes, suites décroissantes
Une suite \((u_n)\) est croissante si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}\geqslant u_n\) — décroissante si \(u_{n+1}\leqslant u_n\). Dans les cas simples, on calcule directement le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\).
\(u_n=5n+2\) : \(u_{n+1}-u_n=5(n+1)+2-(5n+2)=5>0\) pour tout \(n\) : la suite est croissante.
\(v_n=10-3n\) : \(v_{n+1}-v_n=10-3(n+1)-(10-3n)=-3<0\) pour tout \(n\) : la suite est décroissante.
IV.Bac — Exercice type Bac
Question 1. Soit \(f(x)=2x+1\) et \(u_n=f(n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
\(u_0=2\times0+1=1\), \(u_1=3\), \(u_5=2\times5+1=11\).
Question 2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n-1\). Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
\(u_1=3\times2-1=5\), \(u_2=3\times5-1=14\), \(u_3=3\times14-1=41\).
Question 3. Étudier le sens de variation de \(w_n=7-2n\).
\(w_{n+1}-w_n=7-2(n+1)-(7-2n)=-2<0\) : la suite est décroissante.
\(u_n=f(n)\), ou récurrence \(u_0\) donné + relation \(u_{n+1}=\ldots\).
Terme \(u_n\), indice/rang \(n\).
Calculer le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Récurrence comme raisonnement, suites majorées/minorées, limite.