Transformations, Espace & Statistiques
Homothétie et rotation — incidence, parallélisme et perspective cavalière dans l'espace — vocabulaire statistique, mode/moyenne/médiane et représentations graphiques. Programme officiel de Seconde Série C/E.
Transformations du plan
X.1 — Rappels : translation, symétries
Aux transformations déjà étudiées au premier cycle (translation, symétrie centrale, symétrie orthogonale) s'ajoutent ici l'homothétie et la rotation. L'étude ne vise pas l'exhaustivité : il s'agit de savoir utiliser les propriétés de ces transformations pour démontrer, construire, ou déterminer un ensemble de points — l'étude systématique des composées de transformations est hors programme.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).
X.2 — Homothétie
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k\in\mathbb{R}^*\)) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Elle correspond exactement à la multiplication par le scalaire \(k\) en écriture vectorielle depuis le centre \(O\) — c'est le même \(k\) que celui du théorème de Thalès.
Conserve l'alignement, le parallélisme, les barycentres. Multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Si \(k=1\) : identité. Si \(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(O\). Une droite est envoyée sur une droite parallèle ; un cercle de rayon \(r\) sur un cercle de rayon \(|k|r\).
Facile. \(O(0;0)\), \(k=2\), \(A(3;1)\). L'image \(A'\) vérifie \(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}\), donc \(A'(6;2)\).
Rapport négatif. \(O(1;1)\), \(k=-\tfrac12\), \(B(5;3)\). \(\overrightarrow{OB}(4;2)\), donc \(\overrightarrow{OB'}=-\tfrac12(4;2)=(-2;-1)\), soit \(B'(-1;0)\) : \(B'\) est de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(B\).
Figure interactive — Homothétie de centre O
Le triangle bleu est l'image du triangle gris par l'homothétie de centre O et de rapport k.
X.3 — Rotation
La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) envoie \(M\) (\(M\ne O\)) sur \(M'\) tel que \(OM'=OM\) et l'angle \(\widehat{MOM'}=\theta\) (dans le sens choisi). En Seconde, il s'agit uniquement d'une initiation : les propriétés ci-dessous s'observent par la manipulation et sont admises, sans démonstration exigible.
Conserve les distances (donc les longueurs et les aires), l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les barycentres. Une rotation d'angle \(180°\) coïncide avec la symétrie centrale de même centre.
Figure interactive — Rotation de centre O
Le triangle vert tourne autour de O selon l'angle choisi ; les longueurs restent inchangées.
X.Bac — Exercice type Bac
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(k=3\). Soit \(A(2;1)\) et \(B(-1;4)\).
Question 1. Déterminer les images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\) par \(h\).
\(A'(3\times2;3\times1)=(6;3)\). \(B'(3\times(-1);3\times4)=(-3;12)\).
Question 2. Comparer \(A'B'\) et \(AB\).
\(AB=\sqrt{(-1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\). \(A'B'=\sqrt{(-3-6)^2+(12-3)^2}=\sqrt{81+81}=9\sqrt2\).
On a bien \(A'B' = |k|\times AB = 3\times3\sqrt2=9\sqrt2\), conforme à la propriété : l'homothétie multiplie les distances par \(|k|\).
Question 3. \((AB)\) et \((A'B')\) sont-elles parallèles ? Justifier sans calcul de coordonnées supplémentaire.
Oui : une propriété générale de l'homothétie est que l'image d'une droite est une droite parallèle. Comme \((A'B')\) est l'image de \((AB)\) par \(h\), elles sont nécessairement parallèles.
\(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Multiplie distances par \(|k|\), aires par \(k^2\). Conserve alignement, parallélisme, barycentres.
Conserve toutes les distances et les aires. Propriétés admises, jamais démontrées à ce niveau — simple initiation.
Homothétie de rapport \(-1\) = symétrie centrale. Rotation de \(180°\) = symétrie centrale de même centre.
Étude systématique des composées de transformations — aucune capacité exigible à ce sujet.