Exercices — Probabilités & Statistiques
Variables aléatoires · Espérance · Variance · Statistiques
Partie 2 sur 2 · Terminale A
Chapitre VII — Probabilités
Équiprobabilité simple
FacileExercice 1 — Équiprobabilité simple
Une urne contient $7$ boules numérotées de $1$ à $7$. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.
Les multiples de $3$ entre $1$ et $7$ sont $\{3\,;6\}$, soit $2$ issues.
$P = \dfrac{2}{7}$.
Somme de deux dés
FacileExercice 2 — Somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Calculer la probabilité que la somme des résultats soit égale à $7$.
Il y a $6\times6=36$ issues équiprobables $(i\,;j)$.
Somme $=7$ : $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, soit $6$ issues.
$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$.
Loi de probabilité et espérance
MoyenExercice 3 — Loi de probabilité et espérance
Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.
$0{,}1+0{,}4+0{,}3+0{,}2 = 1$ : c'est bien une loi de probabilité.
$$E(X) = (-2)(0{,}1)+0(0{,}4)+3(0{,}3)+5(0{,}2) = -0{,}2+0+0{,}9+1.$$
$E(X) = 1{,}7$.
Variance et écart-type
DifficileExercice 4 — Variance et écart-type
Pour la variable $X$ de l'exercice précédent ($P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$, $E(X)=1{,}7$), calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
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$$E(X^2) = 4(0{,}1)+0(0{,}4)+9(0{,}3)+25(0{,}2) = 0{,}4+0+2{,}7+5 = 8{,}1.$$
$V(X) = E(X^2)-E(X)^2 = 8{,}1-1{,}7^2 = 8{,}1-2{,}89 = 5{,}21$.
$\sigma(X) = \sqrt{5{,}21} \approx 2{,}283$.
Jeu de gain : loi, répartition, espérance
DifficileExercice 5 — Jeu de gain
On tire une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Si le numéro est pair, le joueur gagne $500$ F ; s'il est impair et inférieur à $5$, il gagne $100$ F ; sinon il ne gagne rien. Déterminer la loi du gain $X$, sa fonction de répartition, et l'espérance de gain.
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Pairs $\{2,4,6,8,10\}$ (5 numéros, gain $500$) ; impairs $<5$ : $\{1,3\}$ (2 numéros, gain $100$) ; le reste $\{5,7,9\}$ (3 numéros, gain $0$).
$P(X=0)=\dfrac{3}{10}$, $P(X=100)=\dfrac{2}{10}=\dfrac15$, $P(X=500)=\dfrac{5}{10}=\dfrac12$.
$F(x)=0$ si $x<0$ ; $F(x)=\dfrac{3}{10}$ si $0\le x<100$ ; $F(x)=\dfrac12$ si $100\le x<500$ ; $F(x)=1$ si $x\ge500$.
$$E(X) = 0(0{,}3)+100(0{,}2)+500(0{,}5) = 20+250 = 270 \text{ F}.$$
Détermination d'un paramètre
DifficileExercice 6 — Détermination d'un paramètre
Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-1)=p$, $P(X=1)=2p$, $P(X=2)=3p$. Déterminer $p$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
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$p+2p+3p=6p=1 \Rightarrow p=\dfrac16$.
$P(X=-1)=\dfrac16$, $P(X=1)=\dfrac13$, $P(X=2)=\dfrac12$.
$$E(X) = (-1)\frac16+1\cdot\frac13+2\cdot\frac12 = -\frac16+\frac26+\frac66 = \frac76.$$
$E(X^2)=1\cdot\frac16+1\cdot\frac13+4\cdot\frac12=\frac16+\frac26+\frac{12}{6}=\frac{15}{6}=\frac52$. $$V(X) = \frac52-\left(\frac76\right)^2 = \frac{90}{36}-\frac{49}{36} = \frac{41}{36}\approx1{,}14.$$
Chapitre VII — Probabilités
Équiprobabilité simple
FacileExercice 1 — Équiprobabilité simple
Une urne contient $7$ boules numérotées de $1$ à $7$. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.
Les multiples de $3$ entre $1$ et $7$ sont $\{3\,;6\}$, soit $2$ issues.
$P = \dfrac{2}{7}$.
Somme de deux dés
FacileExercice 2 — Somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Calculer la probabilité que la somme des résultats soit égale à $7$.
Il y a $6\times6=36$ issues équiprobables $(i\,;j)$.
Somme $=7$ : $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, soit $6$ issues.
$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$.
Loi de probabilité et espérance
MoyenExercice 3 — Loi de probabilité et espérance
Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.
$0{,}1+0{,}4+0{,}3+0{,}2 = 1$ : c'est bien une loi de probabilité.
$$E(X) = (-2)(0{,}1)+0(0{,}4)+3(0{,}3)+5(0{,}2) = -0{,}2+0+0{,}9+1.$$
$E(X) = 1{,}7$.
Variance et écart-type
DifficileExercice 4 — Variance et écart-type
Pour la variable $X$ de l'exercice précédent ($P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$, $E(X)=1{,}7$), calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
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$$E(X^2) = 4(0{,}1)+0(0{,}4)+9(0{,}3)+25(0{,}2) = 0{,}4+0+2{,}7+5 = 8{,}1.$$
$V(X) = E(X^2)-E(X)^2 = 8{,}1-1{,}7^2 = 8{,}1-2{,}89 = 5{,}21$.
$\sigma(X) = \sqrt{5{,}21} \approx 2{,}283$.
Jeu de gain : loi, répartition, espérance
DifficileExercice 5 — Jeu de gain
On tire une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Si le numéro est pair, le joueur gagne $500$ F ; s'il est impair et inférieur à $5$, il gagne $100$ F ; sinon il ne gagne rien. Déterminer la loi du gain $X$, sa fonction de répartition, et l'espérance de gain.
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Pairs $\{2,4,6,8,10\}$ (5 numéros, gain $500$) ; impairs $<5$ : $\{1,3\}$ (2 numéros, gain $100$) ; le reste $\{5,7,9\}$ (3 numéros, gain $0$).
$P(X=0)=\dfrac{3}{10}$, $P(X=100)=\dfrac{2}{10}=\dfrac15$, $P(X=500)=\dfrac{5}{10}=\dfrac12$.
$F(x)=0$ si $x<0$ ; $F(x)=\dfrac{3}{10}$ si $0\le x<100$ ; $F(x)=\dfrac12$ si $100\le x<500$ ; $F(x)=1$ si $x\ge500$.
$$E(X) = 0(0{,}3)+100(0{,}2)+500(0{,}5) = 20+250 = 270 \text{ F}.$$
Détermination d'un paramètre
DifficileExercice 6 — Détermination d'un paramètre
Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-1)=p$, $P(X=1)=2p$, $P(X=2)=3p$. Déterminer $p$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
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$p+2p+3p=6p=1 \Rightarrow p=\dfrac16$.
$P(X=-1)=\dfrac16$, $P(X=1)=\dfrac13$, $P(X=2)=\dfrac12$.
$$E(X) = (-1)\frac16+1\cdot\frac13+2\cdot\frac12 = -\frac16+\frac26+\frac66 = \frac76.$$
$E(X^2)=1\cdot\frac16+1\cdot\frac13+4\cdot\frac12=\frac16+\frac26+\frac{12}{6}=\frac{15}{6}=\frac52$. $$V(X) = \frac52-\left(\frac76\right)^2 = \frac{90}{36}-\frac{49}{36} = \frac{41}{36}\approx1{,}14.$$