Exercices — Éq. diff., Suites & Intégrale
Équations différentielles · Suites numériques · Calcul intégral
Partie 3 sur 5 · Terminale C
🔵 Chapitre VII — Équations différentielles
Équation du premier ordre
FacileExercice 1 — Équation du premier ordre
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+3y=0$ avec $y(0)=2$.
$y = Ce^{-3x}$, $C\in\mathbb{R}$.
$y(0)=C=2$.
$y = 2e^{-3x}$.
Second ordre, $\Delta>0$
FacileExercice 2 — Second ordre, $\Delta>0$
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-5y'+6y=0$.
$r^2-5r+6=0$, $\Delta=25-24=1$.
$r = \dfrac{5\pm1}{2}$, soit $r=3$ ou $r=2$.
$y = Ae^{3x}+Be^{2x}$, $A,B\in\mathbb{R}$.
Oscillateur : forme amplitude-phase
MoyenExercice 3 — Forme amplitude-phase
Résoudre $y''+4y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=2$, puis écrire la solution sous forme amplitude-phase.
$\omega=2$ : $y = A\cos2x+B\sin2x$.
$y(0)=A=1$. $y'(x)=-2A\sin2x+2B\cos2x$, donc $y'(0)=2B=2 \Rightarrow B=1$.
$y=\cos2x+\sin2x$.
$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, $\tan\varphi=1 \Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{4}$. $$y = \sqrt2\cos\!\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Équation avec second membre
DifficileExercice 4 — Équation avec second membre
Résoudre $y'-3y=e^{2x}$ avec $y(0)=4$.
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$y'-3y=0 \Rightarrow y_H = Ce^{3x}$.
On cherche $y_p=ke^{2x}$ : $y_p'-3y_p = 2ke^{2x}-3ke^{2x}=-ke^{2x}=e^{2x}$, donc $k=-1$.
$y = Ce^{3x}-e^{2x}$.
$y(0)=C-1=4 \Rightarrow C=5$. $$y = 5e^{3x}-e^{2x}.$$
Racine double, second ordre
DifficileExercice 5 — Racine double
Résoudre $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$.
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$r^2-2r+1=(r-1)^2=0$ : racine double $r=1$.
$y = (Ax+B)e^x$.
$y(0)=B=1$. $y'(x)=(A+Ax+B)e^x$, donc $y'(0)=A+B=3 \Rightarrow A=2$.
$y = (2x+1)e^x$.
Application : oscillateur harmonique
DifficileExercice 6 — Oscillateur harmonique
Un système masse-ressort sans frottement obéit à $x''+9x=0$, avec $x(0)=2$ et $x'(0)=0$. Déterminer $x(t)$, son amplitude et sa période.
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$\omega=3$ : $x(t)=A\cos3t+B\sin3t$.
$x(0)=A=2$. $x'(t)=-3A\sin3t+3B\cos3t$, donc $x'(0)=3B=0 \Rightarrow B=0$.
$x(t)=2\cos3t$.
Amplitude $R=2$ (déjà en forme réduite), période $T=\dfrac{2\pi}{3}$.
🔵 Chapitre VIII — Suites numériques
Démonstration par récurrence
FacileExercice 1 — Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.
Pour $n=0$ : $3^0=1 \ge 2\times0+1=1$. ✓
On suppose $3^n \ge 2n+1$. Alors $$3^{n+1} = 3\times3^n \ge 3(2n+1) = 6n+3 = (2n+3)+4n \ge 2n+3 = 2(n+1)+1$$ (car $4n\ge0$).
La propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Suite arithmétique
FacileExercice 2 — Suite arithmétique
Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-3$ et $u_0=10$. Calculer $u_{15}$ et $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.
$u_{15} = u_0+15r = 10-45 = -35$.
$$S = \frac{16(u_0+u_{15})}{2} = 8\times(10-35) = 8\times(-25) = -200.$$
Monotonie et limite d'une suite $u_n=f(n)$
MoyenExercice 3 — Monotonie et limite
Étudier la monotonie de $u_n = \dfrac{n+3}{n+1}$ pour $n\ge0$, puis déterminer sa limite.
$$u_{n+1}-u_n = \frac{n+4}{n+2}-\frac{n+3}{n+1} = \frac{(n+4)(n+1)-(n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}.$$
$(n^2+5n+4)-(n^2+5n+6) = -2$, donc $u_{n+1}-u_n = \dfrac{-2}{(n+2)(n+1)} < 0$ : $(u_n)$ est strictement décroissante.
$u_n = 1+\dfrac{2}{n+1} \longrightarrow 1$ quand $n\to+\infty$.
Point fixe : suite récurrente en $\sqrt{\ }$
DifficileExercice 4 — Point fixe
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.
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Si $0\le u_n<2$, alors $u_n+2<4$, donc $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}<2$. Comme $u_0=1<2$, on a $u_n<2$ pour tout $n$.
Pour $x\in[-1;2[$, $\sqrt{x+2}>x \iff x+2>x^2 \iff (x-2)(x+1)<0$, vrai sur cet intervalle. Donc $u_{n+1}>u_n$ : $(u_n)$ est strictement croissante.
Croissante et majorée par $2$ : $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.
$f(x)=\sqrt{x+2}$ continue, donc $\ell=\sqrt{\ell+2}$, soit $\ell^2-\ell-2=0=(\ell-2)(\ell+1)$. Comme $\ell\ge0$, $\ell=2$.
Divergence de la série harmonique
DifficileExercice 5 — Divergence de la série harmonique
Soit $u_n = 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n$ pour $n\ge1$. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante et que $u_{2n}-u_n \ge \dfrac12$ pour tout $n\ge1$. En déduire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
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$u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{n+1}>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante.
$$u_{2n}-u_n = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$$ ($n$ termes), chacun $\ge \dfrac{1}{2n}$, donc $u_{2n}-u_n \ge n\times\dfrac{1}{2n} = \dfrac12$.
Si $(u_n)$ convergeait vers $\ell$, alors $u_{2n}-u_n \to \ell-\ell=0$, ce qui contredit $u_{2n}-u_n\ge\dfrac12$.
$(u_n)$ est croissante et ne converge pas, donc elle n'est pas majorée : d'après le théorème de la limite monotone, $u_n \to +\infty$.
Suite auxiliaire géométrique
DifficileExercice 6 — Suite auxiliaire géométrique
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
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$f(x)=\dfrac{2x+3}{4}$ : $\ell=\dfrac{2\ell+3}{4} \iff 4\ell=2\ell+3 \iff \ell=\dfrac32$.
$$v_{n+1}=u_{n+1}-\frac32 = \frac{2u_n+3}{4}-\frac32 = \frac{2u_n-3}{4} = \frac{2\left(u_n-\frac32\right)}{4} = \frac{v_n}{2}.$$
$(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$, de premier terme $v_0=u_0-\dfrac32=\dfrac32$. Donc $v_n = \dfrac32\times\left(\dfrac12\right)^n$, et $$u_n = v_n+\frac32 = \frac{3}{2^{n+1}}+\frac32.$$
$\dfrac{3}{2^{n+1}} \to 0$, donc $u_n \to \dfrac32$.
🔵 Chapitre IX — Calcul intégral
Intégrale d'un polynôme
FacileExercice 1 — Intégrale d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.
Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$.
$$\big[x^3-x^2+x\big]_0^2 = (8-4+2)-0 = 6.$$
$\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx = 6$.
Intégrale de $1/x$
FacileExercice 2 — Intégrale de $1/x$
Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.
Une primitive de $1/x$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$.
$$\big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = 1.$$
$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1$.
Valeur moyenne d'une fonction
MoyenExercice 3 — Valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$.
$$\mu = \frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx.$$
$$\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9.$$
$\mu = \dfrac{9}{3} = 3$.
Double intégration par parties
DifficileExercice 4 — Double intégration par parties
Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$ à l'aide de deux intégrations par parties successives.
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$u'=e^x$, $v=x^2$ (donc $u=e^x$, $v'=2x$) : $$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - \int 2xe^x\,dx.$$
Sur $\int 2xe^x\,dx$ : $u'=e^x$, $v=2x$ : $$\int 2xe^x\,dx = 2xe^x - \int 2e^x\,dx = 2xe^x-2e^x.$$
$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x-2xe^x+2e^x+C = (x^2-2x+2)e^x+C.$$
En $x=1$ : $(1-2+2)e=e$. En $x=0$ : $2e^0=2$. $$\int_0^1 x^2e^x\,dx = e-2.$$
Aire entre deux paraboles
DifficileExercice 5 — Aire entre deux courbes
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $y=4-x^2$ et $y=x^2$.
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$4-x^2\ge x^2 \iff x^2\le2 \iff x\in[-\sqrt2\,;\sqrt2]$.
$$\mathcal{A} = \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \big[(4-x^2)-x^2\big]\,dx = \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx.$$
$$\mathcal{A} = 2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx = 2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2} = 2\left(4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}\right).$$
$$\mathcal{A} = 2\times\frac{8\sqrt2}{3} = \frac{16\sqrt2}{3}\ \text{u.a.}$$
Volume d'un solide de révolution
DifficileExercice 6 — Volume de révolution
Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de $(Ox)$ de la courbe $y=e^{-x}$ sur $[0\,;1]$.
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$$V = \pi\int_0^1 \big(e^{-x}\big)^2\,dx = \pi\int_0^1 e^{-2x}\,dx.$$
Une primitive de $e^{-2x}$ est $-\dfrac12 e^{-2x}$.
$$\left[-\frac12e^{-2x}\right]_0^1 = -\frac12e^{-2}+\frac12 = \frac{1-e^{-2}}{2}.$$
$$V = \frac{\pi}{2}\big(1-e^{-2}\big)\ \text{u.v.}$$