Exercices — Complexes & Arithmétique
Nombres complexes · Travaux pratiques · Arithmétique
Partie 2 sur 5 · Terminale C
🔵 Chapitre IV — Nombres complexes : calculs
Produit sous forme algébrique
FacileExercice 1 — Produit sous forme algébrique
Calculer $(2+3i)(1-2i)$ sous forme algébrique.
$$(2+3i)(1-2i) = 2-4i+3i-6i^2.$$
$-6i^2 = 6$, donc l'expression devient $2+6-4i+3i = 8-i$.
$(2+3i)(1-2i) = 8-i$.
Module et argument
FacileExercice 2 — Module et argument
Déterminer le module et un argument de $z = -1+i\sqrt{3}$.
$|z| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
$\cos\theta = \dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$, donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$.
$z = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right) = 2e^{i2\pi/3}$.
Quotient et conjugué
MoyenExercice 3 — Quotient et conjugué
Écrire sous forme algébrique $z = \dfrac{3-i}{1+2i}$, puis déterminer son conjugué $\bar z$.
$$z = \frac{(3-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{3-6i-i+2i^2}{1+4}.$$
$$z = \frac{3-2-7i}{5} = \frac{1-7i}{5}.$$
$z = \dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{5}i$, donc $\bar z = \dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5}i$.
Racines carrées d'un complexe
DifficileExercice 4 — Racines carrées d'un complexe
Déterminer les racines carrées de $-3+4i$.
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On cherche $w=x+iy$ tel que $w^2=-3+4i$ : $x^2-y^2=-3$ et $2xy=4$.
$|{-3+4i}| = \sqrt{9+16} = 5$, donc $x^2+y^2 = 5$.
$x^2 = \dfrac{5-3}{2} = 1$ et $y^2 = \dfrac{5+3}{2} = 4$, donc $x=\pm1$, $y=\pm2$.
$2xy=4>0$ impose $x$ et $y$ de même signe. Les racines carrées sont $\mathbf{1+2i}$ et $\mathbf{-1-2i}$.
Puissance via la formule de Moivre
DifficileExercice 5 — Puissance via la formule de Moivre
Calculer $(1+i)^8$ en utilisant la forme trigonométrique.
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$|1+i| = \sqrt2$ et $\arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}$.
$$(1+i)^8 = (\sqrt2)^8\left(\cos\frac{8\pi}{4}+i\sin\frac{8\pi}{4}\right) = 2^4\big(\cos 2\pi+i\sin 2\pi\big).$$
$(1+i)^8 = 16\times1 = 16$.
Linéarisation par les formules d'Euler
DifficileExercice 6 — Linéarisation par les formules d'Euler
Linéariser $\cos^2\theta\sin\theta$ (l'exprimer comme somme de sinus/cosinus d'angles multiples de $\theta$).
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$$\cos^2\theta\sin\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{2}\times\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$
$$\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{2} = \frac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}{4}.$$
En développant $(e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta})(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$, les termes se regroupent en $\big(e^{3i\theta}-e^{-3i\theta}\big)+\big(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\big)$.
Comme $e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}=2i\sin(k\theta)$, le numérateur vaut $2i(\sin3\theta+\sin\theta)$, d'où $$\cos^2\theta\sin\theta = \frac{2i(\sin3\theta+\sin\theta)}{8i} = \frac{\sin3\theta+\sin\theta}{4}.$$
🔵 Chapitre V — Nombres complexes : travaux pratiques
Équation du second degré (1)
FacileExercice 1 — Équation du second degré
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z+5=0$.
$\Delta = 4-20=-16<0$, donc $\sqrt{-\Delta}=4$.
$$z = \frac{-2\pm4i}{2}.$$
$\mathbb{S} = \{-1+2i\,;\,-1-2i\}$.
Équation du second degré (2)
FacileExercice 2 — Équation du second degré
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$.
$\Delta = 16-52=-36<0$, donc $\sqrt{-\Delta}=6$.
$$z = \frac{4\pm6i}{2}.$$
$\mathbb{S} = \{2+3i\,;\,2-3i\}$.
Équation de degré 3 avec racine évidente
MoyenExercice 3 — Équation de degré 3
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3-4z^2+6z-4=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle évidente.
$P(2) = 8-16+12-4=0$ : $z=2$ est racine.
$$z^3-4z^2+6z-4 = (z-2)(z^2-2z+2).$$
$z^2-2z+2=0$ : $\Delta=4-8=-4$, $\sqrt{-\Delta}=2$, racines $\dfrac{2\pm2i}{2}=1\pm i$.
$\mathbb{S} = \{2\,;\,1+i\,;\,1-i\}$.
Racines cubiques de l'unité et $z^3=8$
DifficileExercice 4 — Racines cubiques de l'unité et $z^3=8$
Déterminer les racines cubiques de l'unité et vérifier que leur somme est nulle. En déduire les solutions de $z^3=8$.
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$1$, $j=e^{i2\pi/3}=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}$, $j^2=e^{i4\pi/3}=-\tfrac12-i\tfrac{\sqrt3}{2}$.
$1+j+j^2 = 1+\left(-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\left(-\tfrac12-i\tfrac{\sqrt3}{2}\right) = 0$.
Puisque $8=2^3$, les solutions sont $2$, $2j$, $2j^2$.
$\mathbb{S} = \{2\,;\,-1+i\sqrt3\,;\,-1-i\sqrt3\}$.
Nature d'un triangle par les complexes
DifficileExercice 5 — Nature d'un triangle
Soit $A(1+i)$, $B(4+2i)$, $C(4i)$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
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$z_B-z_A = 3+i$ et $z_C-z_A = -1+3i$, donc $$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{-1+3i}{3+i}.$$
$$\frac{(-1+3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{-3+i+9i-3i^2}{10} = \frac{10i}{10} = i.$$
Module $=1$ et argument $=\dfrac{\pi}{2}$.
$ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$ (car $AC=AB$ et l'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}$).
Lieu géométrique : alignement
DifficileExercice 6 — Lieu géométrique
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-2i}{z+2}$ soit un réel non nul.
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Soit $A(-2)$ et $B(2i)$ ; l'expression s'écrit $\dfrac{z-z_B}{z-z_A}$.
$\dfrac{z-z_B}{z-z_A} \in \mathbb{R} \iff \arg\!\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) \equiv 0\ [\pi] \iff M$, $A$, $B$ alignés.
Le quotient doit être non nul (donc $M\neq B$) et défini (donc $M\neq A$).
L'ensemble cherché est la droite $(AB)$ privée des points $A$ et $B$.
🔵 Chapitre VI — Arithmétique
Division euclidienne d'un entier négatif
FacileExercice 1 — Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de $-52$ par $7$.
On cherche $q$ tel que $7q$ soit juste en-dessous de $-52$ : $7\times(-8) = -56$.
$r = -52-(-56) = 4$, et bien $0\le4<7$.
$-52 = 7\times(-8)+4$ : quotient $q=-8$, reste $r=4$.
Reste d'une puissance par congruence
FacileExercice 2 — Reste d'une puissance
Déterminer le reste de la division de $2^{20}$ par $7$.
$2^3 = 8 \equiv 1\ [7]$.
$2^{20} = 2^{18}\times2^2 = (2^3)^6\times4 \equiv 1^6\times4\ [7]$.
$2^{20} \equiv 4\ [7]$ : le reste est $4$.
PGCD par l'algorithme d'Euclide et PPCM
MoyenExercice 3 — PGCD et PPCM
Déterminer $\text{pgcd}(391,299)$ par l'algorithme d'Euclide, puis en déduire $\text{ppcm}(391,299)$.
$$391 = 299\times1+92 \qquad 299 = 92\times3+23 \qquad 92 = 23\times4+0.$$
Le dernier reste non nul est $23$ : $\text{pgcd}(391,299)=23$.
$$\text{ppcm}(391,299) = \frac{391\times299}{23} = 17\times299 = 5083.$$
Identité de Bézout sur un exemple
DifficileExercice 4 — Identité de Bézout
En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple d'entiers $(u,v)$ tel que $253u+161v=\text{pgcd}(253,161)$.
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$$253=161\times1+92 \quad 161=92\times1+69 \quad 92=69\times1+23 \quad 69=23\times3+0.$$ Donc $\text{pgcd}(253,161)=23$.
$23 = 92-69\times1$.
Comme $69=161-92$ : $23 = 92-(161-92) = 2\times92-161$.
Comme $92=253-161$ : $23 = 2(253-161)-161 = 2\times253-3\times161$. Le couple $(u,v)=(2,-3)$ convient.
Équation diophantienne (théorème de Gauss)
DifficileExercice 5 — Équation diophantienne
Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $7x-4y=3$.
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$\text{pgcd}(7,4)=1$ divise $3$ : l'équation admet des solutions entières.
$7\times(-3)-4\times(-6) = -21+24 = 3$ : $(x_0,y_0)=(-3,-6)$ convient.
Si $(x,y)$ est solution, $7(x-x_0) = 4(y-y_0)$. Comme $\text{pgcd}(4,7)=1$, le théorème de Gauss donne $4\mid(x-x_0)$, donc $x=x_0+4k$.
$x=-3+4k$ et $y=-6+7k$ : $$\mathbb{S} = \{(-3+4k\,;\,-6+7k),\ k\in\mathbb{Z}\}.$$
Divisibilité par congruence
DifficileExercice 6 — Divisibilité par congruence
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$.
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$3^{2n+1}+2^{n+2} = 3\times9^n+4\times2^n$.
$9\equiv2\ [7]$, donc $9^n\equiv2^n\ [7]$, d'où $3\times9^n\equiv3\times2^n\ [7]$.
$$3\times9^n+4\times2^n \equiv 3\times2^n+4\times2^n = 7\times2^n\ [7].$$
$7\times2^n \equiv 0\ [7]$, donc $3^{2n+1}+2^{n+2} \equiv 0\ [7]$ : le nombre est divisible par $7$ pour tout $n$.
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