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Exercices – Seconde Serie A – Fonctions

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Exercices — Fonctions

Systèmes d'équations linéaires · Fonctions — généralités et exemples · Statistiques

Seconde Série A · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre IV — Systèmes d'équations linéaires

1

QCM — Résolution de systèmes

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

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1
Réponse : a. $2x+(3x-2)=8 \iff 5x=10 \iff x=2$, puis $y=3(2)-2=4$.
2
Réponse : a. En additionnant les deux équations : $2x=12 \iff x=6$, puis $y=10-6=4$.
3
Réponse : a. La première équation est le double de la seconde ($2x+4y=8 \iff x+2y=4$) : c'est la même droite, donc une infinité de solutions.
4
Réponse : a. $x-y$ ne peut valoir à la fois $3$ et $5$ : les deux droites sont parallèles et distinctes, aucune solution commune.
2

Situation d'intégration — Commerçante de pagnes à Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une commerçante de pagnes de Bobo-Dioulasso vend deux modèles, $A$ et $B$. Un premier client achète $3$ pagnes $A$ et $2$ pagnes $B$ pour $9\,500$ F. Un second client achète $2$ pagnes $A$ et $5$ pagnes $B$ pour $15\,500$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un pagne $A$ et $y$ le prix d'un pagne $B$, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque modèle de pagne.

1
Système. $\begin{cases}3x+2y=9\,500\\2x+5y=15\,500\end{cases}$
2
Combinaison. On multiplie la première équation par $5$ et la seconde par $2$ : $15x+10y=47\,500$ et $4x+10y=31\,000$. En soustrayant : $11x=16\,500$, donc $x=1\,500$.
3
Report. $3(1\,500)+2y=9\,500 \iff 4\,500+2y=9\,500 \iff y=2\,500$.
4
Conclusion. Le pagne $A$ coûte $1\,500$ F, le pagne $B$ coûte $2\,500$ F.
3

Problème — Visite scolaire au musée de Ouagadougou

Difficile Problème
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Problème. Un groupe scolaire de $40$ personnes (élèves et accompagnateurs) visite un musée de Ouagadougou. Le billet élève coûte $300$ F, le billet accompagnateur coûte $800$ F. La recette totale est de $15\,000$ F.

Partie A. 1) En notant $x$ le nombre d'élèves et $y$ le nombre d'accompagnateurs, écrire le système traduisant la situation.

Partie B. 2) Résoudre ce système par substitution.

Partie C. 3) Vérifier le résultat et l'interpréter. 4) Si le groupe avait été composé uniquement d'élèves (toujours $40$ personnes), quelle aurait été la recette totale ? Comparer à la recette réelle.

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A.1
$\begin{cases}x+y=40\\300x+800y=15\,000\end{cases}$
B.2
$x=40-y$. En substituant : $300(40-y)+800y=15\,000 \iff 12\,000-300y+800y=15\,000 \iff 500y=3\,000 \iff y=6$. Alors $x=40-6=34$.
C.3
Vérification : $300\times34+800\times6=10\,200+4\,800=15\,000$. Correct. Le groupe compte $34$ élèves et $6$ accompagnateurs.
C.4
Avec $40$ élèves uniquement : $300\times40=12\,000$ F, soit $3\,000$ F de moins que la recette réelle de $15\,000$ F — les billets accompagnateurs, plus chers, augmentent sensiblement la recette.

Chapitre V — Fonctions, généralités et exemples

1

QCM — Variations, fonctions de référence

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une fonction affine $x\mapsto ax+b$ est décroissante sur $\mathbb R$ si :
a) $a<0$   b) $a>0$   c) $a=0$   d) $b<0$

2) La fonction carré $x\mapsto x^2$ est :
a) paire, décroissante sur $\,]-\infty;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$   b) impaire   c) toujours croissante   d) constante

3) Pour $f(x)=2x-3$, l'image de $4$, $f(4)$, vaut :
a) $5$   b) $8$   c) $-1$   d) $11$

4) Pour une fonction affine par intervalle représentée par une ligne brisée, un « point de cassure » correspond à :
a) un changement de coefficient directeur entre deux tronçons   b) une valeur interdite   c) un maximum global   d) l'ordonnée à l'origine

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1
Réponse : a. Le coefficient directeur $a$ donne le sens de variation : $a<0$ → décroissante.
2
Réponse : a. Parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, minimum $0$ en $x=0$.
3
Réponse : a. $f(4)=2\times4-3=5$.
4
Réponse : a. C'est exactement la définition d'un point de cassure d'une fonction affine par intervalle.
2

Situation d'intégration — Facture d'électricité à Ouagadougou

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

La société d'électricité facture $80$ F le kWh pour les $50$ premiers kWh consommés dans le mois, puis $120$ F le kWh au-delà. Soit $f(x)$ le montant facturé (en F) pour une consommation de $x$ kWh.

Consigne : Exprimer $f(x)$ pour $0\le x\le50$, puis pour $x>50$. Calculer la facture pour une consommation de $75$ kWh. Un ménage dispose d'un budget de $8\,000$ F pour l'électricité du mois : déterminer, en nombre entier de kWh, la consommation maximale qu'il peut se permettre.

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1
Pour $0\le x\le50$. $f(x)=80x$.
2
Pour $x>50$. Les $50$ premiers kWh coûtent $80\times50=4\,000$ F, puis chaque kWh supplémentaire coûte $120$ F : $f(x)=4\,000+120(x-50)=120x-2\,000$.
3
Facture pour 75 kWh. $f(75)=120\times75-2\,000=9\,000-2\,000=7\,000$ F.
4
Budget de 8 000 F. On résout $120x-2\,000\le8\,000 \iff 120x\le10\,000 \iff x\le83{,}33...$. Le ménage peut consommer au plus $83$ kWh.
3

Problème — Location de vélos à Ouagadougou

Difficile Problème
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Problème. Une société de location de vélos à Ouagadougou facture un forfait de $1\,000$ F pour les $3$ premières heures d'utilisation (heures incluses dans le forfait), puis $200$ F par heure supplémentaire au-delà. Soit $g(x)$ le prix (en F) pour $x$ heures d'utilisation, $x\ge0$.

Partie A. 1) Exprimer $g(x)$ pour $0\le x\le3$, puis pour $x>3$. 2) Calculer $g(2)$ et $g(5)$.

Partie B. 3) Un client paie $1\,800$ F pour une utilisation de plus de $3$ heures. Déterminer le nombre d'heures $x$ qu'il a utilisé le vélo.

Partie C. 4) $g$ est-elle une fonction affine par intervalle ? Justifier et donner le coefficient directeur de chaque tronçon.

A.1-2
$g(x)=1\,000$ pour $0\le x\le3$ ; $g(x)=1\,000+200(x-3)$ pour $x>3$. $g(2)=1\,000$ F (dans le forfait). $g(5)=1\,000+200\times2=1\,400$ F.
B.3
$1\,000+200(x-3)=1\,800 \iff 200(x-3)=800 \iff x-3=4 \iff x=7$. Le client a utilisé le vélo $7$ heures.
C.4
Oui : $g$ est constante (affine de coefficient $0$) sur $[0;3]$, puis affine de coefficient directeur $200$ sur $\,]3;+\infty[$ — deux tronçons affines de coefficients différents, courbe en ligne brisée avec un point de cassure en $x=3$.

Chapitre VI — Statistiques

1

QCM — Vocabulaire, moyenne, médiane, histogramme

Facile QCM
▼

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une série a pour effectifs $3,7,6,3,1$. L'effectif total est :
a) $20$   b) $15$   c) $18$   d) $25$

2) Pour une série de $20$ individus (effectif pair), la médiane se situe entre :
a) la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ valeur triées   b) la $9^{\text e}$ et la $10^{\text e}$   c) uniquement la $10^{\text e}$   d) uniquement la $11^{\text e}$

3) Dans un histogramme, ce qui doit être proportionnel à l'effectif d'une classe est :
a) l'aire du rectangle   b) la hauteur du rectangle   c) la largeur du rectangle   d) le périmètre

4) La classe modale d'une série regroupée en classes est :
a) la classe de plus grand effectif   b) la classe la plus large   c) la première classe   d) la classe contenant la moyenne

1
Réponse : a. $3+7+6+3+1=20$.
2
Réponse : a. Effectif pair $2n=20$ : médiane entre la $n^{\text e}=10^{\text e}$ et la $(n+1)^{\text e}=11^{\text e}$ valeur.
3
Réponse : a. L'aire, pas seulement la hauteur — important quand les classes n'ont pas toutes la même largeur.
4
Réponse : a. Par définition, la classe modale est celle de plus grand effectif.
2

Situation d'intégration — Résultats d'un contrôle de mathématiques

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un enseignant de mathématiques regroupe les notes sur $20$ de ses $25$ élèves à un contrôle en classes : $[0;5[$ : $2$ élèves ; $[5;10[$ : $6$ élèves ; $[10;15[$ : $11$ élèves ; $[15;20]$ : $6$ élèves. Le proviseur souhaite savoir si une séance de soutien s'impose : il fixe le seuil de déclenchement à $30\,\%$ d'élèves en situation d'échec (note strictement inférieure à $10$).

Consigne : Vérifier l'effectif total, déterminer la classe modale, calculer le nombre d'élèves ayant une note inférieure à $10$ ainsi que le pourcentage correspondant, et conclure si le proviseur doit déclencher la séance de soutien.

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1
Effectif total. $2+6+11+6=25$. Correct.
2
Classe modale. $[10;15[$ (effectif $11$, le plus grand).
3
Élèves en échec. Notes $<10$ : $2+6=8$ élèves. Pourcentage : $\dfrac{8}{25}=32\,\%$.
4
Conclusion. $32\,\%>30\,\%$ : le seuil est dépassé, le proviseur doit déclencher la séance de soutien.
3

Problème — Ventes d'un vendeur de recharges à Ouahigouya

Difficile Problème
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Problème. Un vendeur de recharges téléphoniques à Ouahigouya relève le nombre de recharges vendues chaque jour sur $10$ jours :

Ventes (valeur)56789
Effectif24211

Partie A. 1) Vérifier que l'effectif total est bien $10$, puis déterminer le mode.

Partie B. 2) Calculer la moyenne des ventes journalières.

Partie C. 3) Déterminer la médiane de cette série.

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A.1
$2+4+2+1+1=10$. Correct. Mode $=6$ (effectif $4$, le plus grand).
B.2
$\bar x=\dfrac{5\times2+6\times4+7\times2+8\times1+9\times1}{10}=\dfrac{10+24+14+8+9}{10}=\dfrac{65}{10}=6{,}5$.
C.3
Effectifs cumulés : $2$ (jusqu'à $5$), $6$ (jusqu'à $6$), $8$ (jusqu'à $7$). Effectif total $10$ (pair) : médiane entre la $5^{\text e}$ et la $6^{\text e}$ valeur triées, toutes deux égales à $6$ (rangs $3$ à $6$). Médiane $=6$.
Mode hors-ligne — données en cache