Exercices — Transformations du plan
Homothéties & translations · Rotations
Première Série D · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème
Chapitre XXII — Homothéties et translations
QCM — Homothéties et translations
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une homothétie de rapport $k=1$ est en réalité :
a) une rotation b) une translation c) une symétrie d) l'identité seulement si le centre est l'origine
2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$. L'image de $A(3;1)$ est :
a) $(-6;-2)$ b) $(6;2)$ c) $(-3;-1)$ d) $(1;3)$
3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=4$ est :
a) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $-4$ b) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $\dfrac14$ c) la translation de vecteur $\overrightarrow{\Omega\Omega}$ d) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $4$
4) $h_1$ de rapport $k_1=3$ et $h_2$ de rapport $k_2=\dfrac13$ (centres distincts) ont pour composée :
a) une homothétie de rapport $1$ b) une translation c) une homothétie de rapport $9$ d) l'identité
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Situation d'intégration — Plan de lotissement à Koudougou
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un géomètre de Koudougou doit agrandir le plan d'une parcelle pour un dossier de lotissement. Sur le plan original, un sommet $A$ du terrain a pour coordonnées $A(2;3)$ et un autre sommet $B(4;-1)$, dans un repère dont l'origine $\Omega(0;0)$ est le coin de référence du lotissement. Le règlement impose un agrandissement de rapport $k=2{,}5$ pour établir le plan final.
Consigne : Déterminer les coordonnées des points $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$ par cette homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2{,}5$. Calculer ensuite les distances $AB$ et $A'B'$, et vérifier que $A'B'=2{,}5\times AB$ (propriété de conservation des distances à un facteur $k$ près).
Problème — Composée de deux homothéties donnant une translation
Difficile ProblèmeProblème — Soit $h_1$ l'homothétie de centre $A(1;2)$, rapport $k_1=2$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B(4;0)$, rapport $k_2=\dfrac12$.
Partie A. 1) Justifier que $h_1\circ h_2$ est une homothétie-translation et calculer son rapport. 2) En déduire précisément la nature de $h_1\circ h_2$.
Partie B. Déterminer le vecteur de cette translation, en calculant l'image de $O(0;0)$ par $h_1\circ h_2$ (calculer d'abord $h_2(O)$, puis $h_1$ appliqué à ce résultat).
Partie C. Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. 1) Donner l'expression analytique de $h_1\circ h_2$ sous la forme $(x';y')$ en fonction de $(x;y)$. 2) Vérifier la cohérence de cette expression avec le résultat de la Partie B en substituant $x=0$, $y=0$.
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Chapitre XXIII — Rotations
QCM — Rotations et symétries orthogonales
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La réciproque de la rotation de centre $O$ et d'angle $65°$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $65°$ b) la rotation de centre $O$, angle $-65°$ c) la rotation de centre $O$, angle $115°$ d) une translation
2) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $30°$. $r_2$ : rotation de centre $O$, angle $80°$. $r_2\circ r_1$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $50°$ b) la rotation de centre $O$, angle $110°$ c) la rotation de centre $O$, angle $-50°$ d) une homothétie
3) L'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Oy)$ est :
a) $(x;y)\mapsto(x;-y)$ b) $(x;y)\mapsto(-x;y)$ c) $(x;y)\mapsto(-x;-y)$ d) $(x;y)\mapsto(y;x)$
4) Une rotation conserve :
a) uniquement les distances b) uniquement les angles c) les distances et les angles d) rien de particulier
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Situation d'intégration — Motif décoratif en fer forgé
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un artisan de Ouagadougou conçoit un motif décoratif circulaire pour une porte en fer forgé, en répétant un même triangle par rotations successives de même centre $O$ (centre du motif). Le premier triangle a un sommet en $P(6;0)$. L'artisan veut répartir $3$ copies du triangle (dont l'original) régulièrement sur le cercle complet.
Consigne : Déterminer l'angle de chaque rotation successive pour obtenir une répartition régulière en $3$ copies, puis calculer les coordonnées du sommet $P$ après la première rotation (donner les valeurs exactes, ainsi qu'un arrondi à $0{,}01$ près). Justifier enfin que la composée des $3$ rotations successives ramène le point $P$ exactement à sa position initiale.
Problème — Composée d'une rotation et d'une symétrie orthogonale
Difficile ProblèmeProblème — Dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Ox)$.
Partie A. 1) On admettra que $r$ a pour expression analytique $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Vérifier la cohérence de cette expression sur le point $(1;0)$ (l'image doit être un point à distance $1$ de $O$, obtenu par une rotation d'un quart de tour). 2) Donner l'expression analytique de $s$.
Partie B. Soit $M(3;-2)$. 1) Calculer les coordonnées de $r(M)$. 2) Calculer les coordonnées de $s\bigl(r(M)\bigr)$ (composée $s\circ r$ appliquée à $M$). 3) Calculer les coordonnées de $r\bigl(s(M)\bigr)$ (composée $r\circ s$). Les deux composées donnent-elles le même résultat ?
Partie C. Sachant que $r$ et $s$ sont toutes deux des isométries fixant $O$, que peut-on dire des distances $OM$ et $O\bigl[s\circ r(M)\bigr]$ ? Vérifier ce résultat par le calcul.
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