Exercices — Géométrie de l'espace
Vecteurs, droites & plans · Orthogonalité · Sphère & surfaces de niveau
Première Série C et E · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème
Chapitre 1 — Vecteurs, repères, droites & plans de l'espace
QCM — Vecteurs, droites, plans de l'espace
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $A(1;2;-1)$ et $B(3;-1;2)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(2;-3;3)$ b) $(2;3;3)$ c) $(4;1;1)$ d) $(-2;3;-3)$
2) Une droite $D$ dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ et passant par $A(0;1;-2)$ admet pour représentation paramétrique :
a) $\begin{cases}x=2t\\y=1-t\\z=-2+3t\end{cases}$ b) $\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=-2-3t\end{cases}$ c) $\begin{cases}x=t\\y=1-2t\\z=-2+3t\end{cases}$ d) $\begin{cases}x=2t\\y=-1+t\\z=3-2t\end{cases}$
3) Les vecteurs $\vec u(1;2;0)$, $\vec v(0;1;1)$, $\vec w(1;5;3)$ sont :
a) coplanaires, avec $\vec w=\vec u+3\vec v$ b) coplanaires, avec $\vec w=2\vec u+\vec v$ c) non coplanaires d) colinéaires deux à deux
4) Le plan $P$ a pour équation $3x-2y+z-5=0$. Le point $M(1;2;4)$ appartient-il à $P$ ?
a) Non, car $3(1)-2(2)+4-5=-2\neq0$ b) Oui c) Non, car $M$ n'a pas 3 coordonnées d) Impossible à déterminer
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Situation d'intégration — Pylône de télécommunication à Kaya
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un ingénieur installe un pylône de télécommunication à Kaya, modélisé par une droite $D$ de l'espace. Le pied du pylône est au point $A(0;0;0)$ (au sol) et le pylône est dirigé par le vecteur $\vec u(1;2;12)$ (la troisième coordonnée représente l'altitude en mètres).
Consigne :
1) Donner une représentation paramétrique de $D$.
2) Un technicien doit fixer un hauban au point du pylône situé à $24$ m d'altitude ($z=24$). Déterminer les coordonnées $x$ et $y$ de ce point.
3) Un second pylône identique est installé au point $B(10;0;0)$, dirigé par le même vecteur $\vec u$. Les droites représentant les deux pylônes sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.
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Problème — Plan déterminé par 3 points et position d'une droite
Difficile ProblèmePartie A. Soit $A(1;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(2;1;-1)$.
1) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2) Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan).
3) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.
Partie B. Soit le plan $P$ d'équation $x+y-z-1=0$.
4) Le point $D(2;3;4)$ appartient-il à $P$ ?
5) La droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vec v(1;1;1)$ est-elle incluse dans $P$, parallèle à $P$ sans lui appartenir, ou sécante à $P$ ? Préciser, le cas échéant, le point d'intersection.
Chapitre 2 — Orthogonalité dans l'espace
QCM — Produit scalaire, vecteur normal, perpendicularité
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$ b) colinéaires c) égaux d) coplanaires seulement
2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$ b) $34$ c) $10$ d) $\sqrt{10}$
3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$ b) $(3;1;2)$ c) $(-3;-1;2)$ d) $(3;-1;-2)$
4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$ b) parallèles c) confondus d) ni perpendiculaires ni parallèles
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Situation d'intégration — Charpente d'un chantier scolaire à Bobo-Dioulasso
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Sur le chantier de rénovation d'un lycée de Bobo-Dioulasso, un charpentier installe une poutre métallique verticale. Il place un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ où le sol correspond au plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et l'axe $(Oz)$ est vertical (unité : le mètre). Le toit plat du bâtiment est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=6$ (soit $0x+0y+z-6=0$), et la poutre par la droite $D$ dirigée par $\vec u(0;0;1)$, passant par le point $A(3;2;0)$ au sol.
Consigne :
1) Donner le vecteur normal du plan $P$.
2) Le charpentier affirme que sa poutre $D$ est perpendiculaire au toit $P$. A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'un produit scalaire (ou d'une comparaison de vecteurs).
3) Un second appui est prévu, dirigé par le vecteur $\vec v(1;0;1)$. Cet appui est-il, lui aussi, perpendiculaire au toit $P$ ?
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Problème — Triangle rectangle dans l'espace et plans perpendiculaires
Difficile ProblèmePartie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.
1) Calculer la distance $AB$.
2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.
3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.
4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?
Chapitre 3 — Sphère, distance & surfaces de niveau
QCM — Sphère, distance point-plan
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La sphère de centre $\Omega(2;-1;3)$ et de rayon $R=4$ a pour équation :
a) $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16$ b) $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4$ c) $(x+2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=16$ d) $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=8$
2) Une sphère de rayon $R=5$ est coupée par un plan situé à distance $d=3$ du centre. Le rayon du cercle d'intersection est :
a) $4$ b) $3$ c) $\sqrt{34}$ d) $2$
3) Si la distance $d$ du centre d'une sphère à un plan est égale au rayon $R$, le plan est :
a) tangent à la sphère b) sécant c) extérieur d) confondu avec la sphère
4) La distance du point $M_0(1;1;1)$ au plan $P:\ x+y+z-6=0$ est :
a) $\sqrt3$ b) $3$ c) $1$ d) $3\sqrt3$
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Situation d'intégration — Réservoir sphérique d'une ONG à Diébougou
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Une ONG installe un réservoir d'eau sphérique surélevé à Diébougou pour alimenter une pompe solaire. Le réservoir a un rayon $R=6$ m et son centre est au point $\Omega(0;0;10)$ dans un repère orthonormé où le sol correspond au plan $z=0$ (unité : le mètre).
Consigne :
1) Donner l'équation cartésienne de la sphère représentant le réservoir.
2) Le plancher horizontal de la plateforme technique est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=7$. Calculer la distance du centre $\Omega$ à ce plan.
3) En déduire si le plancher $P$ coupe le réservoir, lui est tangent, ou lui est extérieur — et donner, le cas échéant, le rayon du cercle d'intersection.
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Problème — Surfaces de niveau et forme canonique d'une sphère
Difficile ProblèmePartie A. Soit $A(2;0;0)$ et $B(-2;0;0)$.
1) Déterminer et reconnaître l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=40$.
2) Déterminer et reconnaître l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2-MB^2=16$.
Partie B. On considère la surface $S:\ x^2+y^2+z^2-4x+2y-4=0$.
3) Mettre l'équation de $S$ sous forme canonique et déterminer son centre et son rayon.
4) Le point $C(3;-2;1)$ appartient-il à $S$ ?