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Exercices – Seconde Serie C – Algebre

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Exercices — Algèbre

Calcul dans ℝ · Équations et inéquations du second degré · Systèmes linéaires

Seconde Série C · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre I — Calcul dans ℝ

1

QCM — Ordre, distance, majorants

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sachant $0\le x<1$, le bon classement de $x$, $x^2$ et $\sqrt x$ est :
a) $x^2<x<\sqrt x$   b) $\sqrt x<x<x^2$   c) $x<x^2<\sqrt x$   d) $\sqrt x<x^2<x$

2) La distance entre $-7$ et $4$ vaut :
a) $11$   b) $-3$   c) $3$   d) $-11$

3) Sachant $|x-5|\le2$, l'intervalle correspondant est :
a) $[3;7]$   b) $[-3;7]$   c) $[3;-7]$   d) $\,]3;7[$

4) Pour $E=\,]2;6]$, le réel $6$ est :
a) un majorant de $E$, et c'est son maximum   b) un majorant de $E$, mais pas son maximum   c) un minorant de $E$   d) ni majorant ni minorant de $E$

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1
Réponse : a. Pour $0\le x<1$ : élever au carré rend plus petit, la racine rend plus grand : $x^2<x<\sqrt x$.
2
Réponse : a. $|4-(-7)|=|11|=11$.
3
Réponse : a. $|x-5|\le2 \iff 5-2\le x\le5+2 \iff x\in[3;7]$.
4
Réponse : a. $6\in E$ (crochet fermé à droite) et tout $x\in E$ vérifie $x\le6$ : $6$ est bien un majorant appartenant à $E$, donc c'est le maximum.
2

Situation d'intégration — Chauffeur de taxi-brousse à Fada N'Gourma

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Un chauffeur de taxi-brousse à Fada N'Gourma sait que la consommation de son véhicule est comprise entre $7{,}5$ et $8{,}2$ litres aux $100$ km selon l'état de la route, et que le prix du litre d'essence varie entre $750$ et $780$ F selon la station-service.

Consigne : En utilisant les propriétés des encadrements de réels strictement positifs, encadrer le coût en carburant pour un trajet de $100$ km, puis en déduire un encadrement du coût pour un trajet de $250$ km.

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1
Coût pour 100 km. Consommation et prix sont deux réels strictement positifs : $7{,}5\times750\le\text{coût}\le8{,}2\times780$, soit $5\,625\le\text{coût}\le6\,396$ F.
2
Coût pour 250 km. $250$ km $=2{,}5\times100$ km : on multiplie l'encadrement par $2{,}5$ (positif, l'ordre est conservé) : $5\,625\times2{,}5\le\text{coût}\le6\,396\times2{,}5$, soit $14\,062{,}5\le\text{coût}\le15\,990$ F.
3

Problème — Majorants, minorants et inégalité triangulaire

Difficile Problème
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Problème. On considère l'ensemble $F=\{x\in\mathbb R\ /\ -3\le x<5\}$.

Partie A. 1) Le réel $5$ est-il un majorant de $F$ ? Est-ce le maximum de $F$ ? Justifier. 2) Le réel $-3$ est-il un minorant de $F$ ? Est-ce le minimum de $F$ ? Justifier.

Partie B. 3) Sachant $|x-1|<4$, déterminer l'intervalle ouvert correspondant, et vérifier qu'il est inclus dans $F$.

Partie C. 4) Sachant toujours $|x-1|<4$, majorer $|2x-3|$ en écrivant $2x-3=2(x-1)-1$ et en utilisant l'inégalité triangulaire.

A.1
Tout $x\in F$ vérifie $x<5$ : $5$ est un majorant. Mais $5\notin F$ (borne exclue) : ce n'est pas le maximum, $F$ n'a pas de maximum.
A.2
Tout $x\in F$ vérifie $x\ge-3$ : $-3$ est un minorant. Et $-3\in F$ (borne incluse) : c'est bien le minimum, $\min F=-3$.
B.3
$|x-1|<4 \iff -4<x-1<4 \iff -3<x<5$, soit $x\in\,]-3;5[$. Comme $]-3;5[\subset[-3;5[=F$ (tout élément de l'intervalle ouvert est bien dans $F$), l'inclusion est vérifiée.
C.4
$|2x-3|=|2(x-1)-1|\le|2(x-1)|+|{-1}|=2|x-1|+1$ (inégalité triangulaire). Comme $|x-1|<4$ : $|2x-3|<2\times4+1=9$.

Chapitre II — Équations et inéquations du second degré

1

QCM — Discriminant, racines, signe

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $3x^2-5x+2$ vaut :
a) $1$   b) $49$   c) $-1$   d) $25$

2) Les racines de $x^2-3x+2=0$ sont :
a) $1$ et $2$   b) $-1$ et $-2$   c) $2$ et $-1$   d) $3$ et $-1$

3) La forme canonique de $x^2-4x+1$ est :
a) $(x-2)^2-3$   b) $(x-2)^2+3$   c) $(x+2)^2-3$   d) $(x-4)^2+1$

4) Le signe de $-x^2+x+2$ pour $x\in\,]-1;2[$ est :
a) positif   b) négatif   c) nul   d) indéterminé

1
Réponse : a. $\Delta=(-5)^2-4\times3\times2=25-24=1$.
2
Réponse : a. Somme $=3$, produit $=2$ → racines $1$ et $2$.
3
Réponse : a. $\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$, $\beta=P(2)=4-8+1=-3$, soit $(x-2)^2-3$.
4
Réponse : a. Racines $-1$ et $2$, $a=-1<0$ : signe opposé à $a$ entre les racines, donc positif (on vérifie avec $x=0$ : $-0+0+2=2>0$).
2

Situation d'intégration — Tableau en bois d'une menuisière de Ouahigouya

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière de Ouahigouya découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

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1
Aire. $A(x)=x(2x-4)=2x^2-4x$.
2
Inéquation. $2x^2-4x\ge96 \iff 2x^2-4x-96\ge0$. On divise par $2$ : $x^2-2x-48\ge0$.
3
Résolution. $\Delta=4+192=196=14^2$, racines $\dfrac{2\pm14}{2}$, soit $-6$ et $8$. $a=1>0$ : positif à l'extérieur des racines, donc $x\in\,]-\infty;-6]\cup[8;+\infty[$.
4
Avec $x>2$. Seule la branche $[8;+\infty[$ est compatible. L'aire est d'au moins $96$ cm² pour $x\ge8$ cm.
3

Problème — Étude complète de $Q(x)=2x^2-x-6$

Difficile Problème
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Problème. On considère $Q(x)=2x^2-x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$, puis factoriser $Q(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $Q(x)\le0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $Q$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

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A.1
$Q(2)=8-2-6=0$ : $2$ est bien racine. Coefficients indéterminés ou racine évidente : $Q(x)=(x-2)(2x+3)$ (on vérifie : $2x^2+3x-4x-6=2x^2-x-6$, correct).
B.2
Racines $2$ et $-\dfrac32$, $a=2>0$ : négatif entre les racines. Solution : $x\in\left[-\dfrac32;2\right]$.
C.3
$\alpha=\dfrac14$, $\beta=Q\!\left(\dfrac14\right)=2\times\dfrac1{16}-\dfrac14-6=\dfrac18-\dfrac14-6=-\dfrac{49}{8}=-6{,}125$. Forme canonique : $Q(x)=2\left(x-\dfrac14\right)^2-\dfrac{49}{8}$. Minimum $-\dfrac{49}{8}=-6{,}125$, atteint en $x=\dfrac14$.

Chapitre III — Systèmes linéaires

1

QCM — Déterminant, résolution, inéquations

Facile QCM
▼
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le déterminant du système $\begin{cases}2x+3y=7\\4x+6y=9\end{cases}$ vaut :
a) $0$   b) $12$   c) $-12$   d) $24$

2) Pour ce même système, sachant que $2\times(2x+3y)=4x+6y=14\ne9$, le système admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) exactement deux solutions

3) Le système $\begin{cases}x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;2)$   c) $(2;-3)$   d) $(-2;3)$

4) L'inéquation $2x+y\le6$ partage le plan en :
a) deux demi-plans séparés par la droite $2x+y=6$   b) un cercle   c) deux droites parallèles   d) une parabole

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1
Réponse : a. $D=2\times6-3\times4=12-12=0$.
2
Réponse : a. $D=0$ (droites parallèles), et les deux équations ne sont pas proportionnelles ($14\ne9$) : les droites sont distinctes, aucune solution.
3
Réponse : a. De la seconde équation : $y=2x-1$. En substituant : $x+3(2x-1)=11 \iff 7x=14 \iff x=2$, puis $y=3$.
4
Réponse : a. C'est la définition même de la résolution graphique d'une inéquation linéaire à deux inconnues.
2

Situation d'intégration — Coopérative d'engrais de Léo

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole de Léo achète de l'engrais NPK et de l'urée. Un premier lot de $5$ sacs de NPK et $3$ sacs d'urée coûte $116\,000$ F. Un second lot de $3$ sacs de NPK et $6$ sacs d'urée coûte $120\,000$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un sac de NPK et $y$ le prix d'un sac d'urée, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque type de sac.

1
Système. $\begin{cases}5x+3y=116\,000\\3x+6y=120\,000\end{cases}$
2
Combinaison. On multiplie la première équation par $2$ : $10x+6y=232\,000$. En soustrayant la seconde équation : $10x+6y-(3x+6y)=232\,000-120\,000$, soit $7x=112\,000$, donc $x=16\,000$.
3
Report. $3(16\,000)+6y=120\,000 \iff 48\,000+6y=120\,000 \iff y=12\,000$.
4
Conclusion. Le sac de NPK coûte $16\,000$ F, le sac d'urée coûte $12\,000$ F.
3

Problème — Transport pour une cérémonie à Ouahigouya

Difficile Problème
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Problème. Une association de Ouahigouya organise le transport pour une cérémonie, avec des motos-taxis ($3$ places, $4\,000$ F chacune) et des taxis ($4$ places, $7\,000$ F chacun). Elle dispose d'au plus $6$ motos-taxis et $4$ taxis, doit transporter au moins $30$ personnes, avec un budget maximal de $50\,000$ F. On note $x$ le nombre de motos-taxis et $y$ le nombre de taxis utilisés.

Partie A. 1) Écrire le système de contraintes traduisant la situation.

Partie B. 2) Le couple $(x,y)=(2,4)$ convient-il ? Justifier précisément.

Partie C. 3) Le couple $(x,y)=(6,3)$ convient-il ? Justifier, et calculer le coût total dans ce cas.

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A.1
$\begin{cases}3x+4y\ge30\\4\,000x+7\,000y\le50\,000\\0\le x\le6\\0\le y\le4\end{cases}$
B.2
Transport : $3\times2+4\times4=6+16=22<30$. La contrainte de transport n'est pas respectée : ce couple ne convient pas, même si le budget ($8\,000+28\,000=36\,000\le50\,000$) est correct.
C.3
Transport : $3\times6+4\times3=18+12=30\ge30$ ok. Budget : $4\,000\times6+7\,000\times3=24\,000+21\,000=45\,000\le50\,000$ ok. Bornes : $x=6\le6$, $y=3\le4$ ok. Ce couple convient, pour un coût total de $45\,000$ F.
Mode hors-ligne — données en cache