Exercices — Fonctions
Généralités sur les fonctions · Fonctions de référence · Fonctions circulaires
Seconde Série C · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème
Chapitre IV — Généralités sur les fonctions
QCM — Image, antécédent et variation
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$ b) $2$ c) $-8$ d) $10$
2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$ b) $[-4;1]$ c) $[-3;4]$ d) $[1;4]$
3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$ b) $-2$ et $6$ c) $6$ et $6$ d) $-2$ et $-2$
4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$ b) $[2;+\infty[$ c) $[0;4]$ d) $\mathbb{R}$
Situation d'intégration — Coopérative de karité de Banfora
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative de transformation de karité de Banfora produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.
Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.
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Problème — Trajectoire d'un jet d'eau
Difficile ProblèmeProblème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée de Fada N'Gourma, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.
1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.
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Chapitre V — Fonctions de référence
QCM — Les cinq fonctions de référence
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire b) impaire c) ni paire ni impaire d) périodique
2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$ b) $[0;+\infty[$ c) $\mathbb{R}^*$ d) $]-\infty;0]$
3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$ b) croissante sur $\mathbb{R}$ c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement d) ni croissante ni décroissante
4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite b) une translation de $5$ vers la gauche c) une dilatation de rapport $5$ d) une symétrie
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Situation d'intégration — Achat de tissu en gros à Ouahigouya
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un commerçant de tissus de Ouahigouya achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.
Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?
Problème — Trois fonctions déplacées
Difficile ProblèmeProblème.
Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.
Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.
Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.
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Chapitre VI — Fonctions circulaires
QCM — Cercle trigonométrique et angles associés
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\cos\!\left(\dfrac\pi3\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt3}2$ c) $\dfrac{\sqrt2}2$ d) $1$
2) $\sin\!\left(-\dfrac\pi6\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$ b) $-\dfrac12$ c) $\dfrac{\sqrt3}2$ d) $-\dfrac{\sqrt3}2$
3) $\cos(\pi-x)$ est égal à :
a) $\cos x$ b) $-\cos x$ c) $\sin x$ d) $-\sin x$
4) L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac12$ est :
a) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ b) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ seulement c) $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$ d) $x=\dfrac\pi2+2k\pi$
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Situation d'intégration — Pivot d'irrigation à Léo
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un ingénieur agricole installe un pivot d'irrigation circulaire dans un champ près de Léo. Le bras d'arrosage tourne autour d'un centre $O$ et arrose un cercle de rayon $50$ m. La position du bout du bras, repérée par l'angle $x$ (en radians) parcouru depuis la direction $(1;0)$, a pour coordonnées $(50\cos x\,;\,50\sin x)$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées du bout du bras lorsque $x=\dfrac\pi3$. 2) Après un quart de tour supplémentaire (angle total $x=\dfrac{5\pi}6$), calculer les nouvelles coordonnées en utilisant une relation d'angles associés. 3) Une zone sensible se trouve au point $(50;0)$. Pour quel(s) angle(s) $x\in[0;2\pi[$ le bras passe-t-il par ce point ?
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Problème — Horloge décorative de Ziniaré
Difficile ProblèmeProblème. Un artisan de Ziniaré fabrique une horloge décorative circulaire, dont les repères sont positionnés sur un cercle trigonométrique de rayon $1$ (à l'échelle).
Partie A.
1) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ en justifiant avec les angles associés ($\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3$).
2) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ sachant que $\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi6$.
Partie B.
3) Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0;2\pi[$.
4) Résoudre $\cos x=-1$ sur $[0;2\pi[$ et interpréter géométriquement.