Exercices — Fonctions numériques
Comportement global & limites · Dérivation · Application de la dérivation & bijection
Première Série C et E · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème
Chapitre 1 — Comportement global & limites
QCM — Limites et asymptotes
Facile QCMExercice 1 — QCM autour de $s(x)=\dfrac{5x+2}{x-3}$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $s(x)$ s'écrit sous la forme $a+\dfrac{b}{x-3}$ avec :
a) $s(x)=5+\dfrac{17}{x-3}$ b) $s(x)=5+\dfrac{2}{x-3}$ c) $s(x)=5-\dfrac{17}{x-3}$ d) $s(x)=5+\dfrac{15}{x-3}$
2) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}s(x)$ vaut :
a) $5$ b) $0$ c) $+\infty$ d) $17$
3) $\displaystyle\lim_{x\to3^+}s(x)$ vaut :
a) $+\infty$ b) $-\infty$ c) $5$ d) $0$
4) L'asymptote verticale de la courbe de $s$ est la droite d'équation :
a) $x=3$ b) $x=5$ c) $y=5$ d) $y=3$
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Situation d'intégration — Coût moyen de production, Koudougou
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Une entreprise de transformation de céréales installée à Koudougou modélise le coût moyen de production (en FCFA par sac), en fonction du nombre $x$ de sacs produits par jour, par $C(x)=\dfrac{2000x+150\,000}{x}$ pour $x\in[1;+\infty[$ (nombre entier de sacs).
Consigne :
1) Écrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac bx$.
2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$, et interpréter ce résultat pour le gérant en termes de coût moyen minimal envisageable.
3) Combien de sacs faut-il produire par jour au minimum pour que le coût moyen descende strictement sous $2\,050$ FCFA par sac ?
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographique
Difficile ProblèmeSoit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
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Chapitre 2 — Dérivation en un point & sur un intervalle
QCM — Dérivées, tangente
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $h(x)=x^3-2x$. $h'(x)$ est égal à :
a) $3x^2-2$ b) $3x^2-2x$ c) $x^2-2$ d) $3x-2$
2) Avec la même fonction $h$, $h'(2)$ vaut :
a) $10$ b) $8$ c) $12$ d) $6$
3) Soit $h_2(x)=x^2-3x$. L'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x=1$ est :
a) $y=-x-1$ b) $y=-x+1$ c) $y=x-1$ d) $y=-2x+1$
4) Soit $k(x)=\dfrac1{x+1}$. $k'(x)$ est égal à :
a) $\dfrac{-1}{(x+1)^2}$ b) $\dfrac1{(x+1)^2}$ c) $\dfrac{-1}{x+1}$ d) $\dfrac1{x+1}$
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Situation d'intégration — Taxi-brousse Ouahigouya–Ouagadougou
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un taxi-brousse effectue le trajet Ouahigouya–Ouagadougou. La distance parcourue (en km), en fonction du temps $t$ (en heures) depuis le départ, est modélisée par $d(t)=-5t^2+50t$ pour $t\in[0;5]$ (le taxi ralentit progressivement en fin de trajet à l'approche de la capitale).
Consigne :
1) Calculer $d'(t)$, qui représente la vitesse instantanée (en km/h) à l'instant $t$.
2) Calculer la vitesse du taxi à $t=1$ h puis à $t=4$ h. Que remarque-t-on ?
3) À quel instant $t\in[0;5]$ la vitesse instantanée est-elle nulle ? Que peut-on en déduire sur le trajet à cet instant ?
Problème — Dérivée, tangente et factorisation d'un polynôme
Difficile ProblèmeSoit $p(x)=x^3-3x+2$, définie sur $\mathbb R$.
Partie A. 1) Calculer $p'(x)$. 2) Résoudre $p'(x)=0$. 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse $x=2$.
Partie B. 4) Vérifier que $p(1)=0$. En déduire les réels $a,b$ tels que $p(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$, puis résoudre complètement l'équation $p(x)=0$ dans $\mathbb R$.
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Chapitre 3 — Application de la dérivation & bijection
QCM — Signe de la dérivée, théorème de la bijection
Facile QCMExercice 1 — QCM autour de $r(x)=x^2-4x+3$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $r'(x)$ est égal à :
a) $2x-4$ b) $x-4$ c) $2x-2$ d) $2x+4$
2) $r'(x)$ s'annule en :
a) $x=2$ b) $x=4$ c) $x=-2$ d) $x=0$
3) Sur l'intervalle $[2;5]$, la fonction $r$ est :
a) strictement croissante b) strictement décroissante c) constante d) ni croissante ni décroissante
4) D'après le théorème de la bijection, $r$ réalise une bijection de $[2;5]$ vers :
a) $[-1;8]$ b) $[-4;8]$ c) $[0;8]$ d) $[-1;5]$
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Situation d'intégration — Dosage d'engrais, technicien agricole de Pouytenga
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un technicien agricole de Pouytenga doit déterminer la quantité $x$ (en kg) d'engrais NPK à épandre sur une parcelle, pour que le rendement modélisé par $R(x)=-x^2+10x-9$ (rendement en quintaux, pour $x\in[1;9]$) atteigne exactement $R(x)=15$ quintaux, seuil fixé par la coopérative.
Consigne :
1) Calculer $R'(x)$ et étudier son signe sur $[1;9]$.
2) On se place sur l'intervalle $[5;9]$. Montrer que $R$ y réalise une bijection vers un intervalle que l'on précisera.
3) En déduire s'il existe une unique quantité $x\in[5;9]$ vérifiant $R(x)=15$, puis la déterminer en résolvant l'équation.
Problème — Bijection monotone et courbe de $|f|$
Difficile ProblèmeSoit $t(x)=x^2-2x-3$, définie sur $\mathbb R$.
Partie A. 1) Étudier le signe de $t'(x)$ et dresser le sens de variation de $t$ (on précisera son minimum). 2) Montrer que l'équation $t(x)=0$ admet une unique solution dans $[3;6]$ à l'aide du théorème de la bijection monotone, puis la déterminer.
Partie B. 3) Factoriser complètement $t(x)$ et en déduire toutes les racines de $t$ sur $\mathbb R$. 4) Sur quel intervalle la courbe de $|t|$ diffère-t-elle de celle de $t$ ?
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