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Exercices — Première Série C et E — Dénombrement & Statistiques

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Exercices — Dénombrement & Statistiques

Cardinal d'un ensemble fini · Arrangements, combinaisons & binôme · Statistiques à une variable

Première Série C et E · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre 1 — Cardinal d'un ensemble fini

1

QCM — Cardinal, réunion, produit cartésien

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un lycée de Fada N'Gourma, 150 élèves pratiquent le football, 90 le basketball, et 40 pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins l'un des deux sports ?
a) $200$   b) $240$   c) $150$   d) $280$

2) Un menu de cantine propose 5 entrées et 3 desserts. Le nombre de menus (entrée, dessert) possibles est :
a) $15$   b) $8$   c) $25$   d) $10$

3) Un ensemble $E$ a pour cardinal $4$. Le nombre de parties de $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$) est :
a) $16$   b) $8$   c) $24$   d) $4$

4) Un code PIN à 4 chiffres (chiffres de $0$ à $9$, répétitions autorisées) : le nombre de codes possibles est :
a) $10\,000$   b) $5\,040$   c) $210$   d) $40$

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1
Réponse : a. $\mathrm{Card}(A\cup B)=150+90-40=200$.
2
Réponse : a. $5\times3=15$.
3
Réponse : a. $2^4=16$.
4
Réponse : a. $10^4=10\,000$.
2

Situation d'intégration — Langues renforcées, lycée de Tenkodogo

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Dans un lycée de Tenkodogo comptant $250$ élèves, $160$ élèves étudient l'anglais renforcé, $95$ étudient l'espagnol, et $30$ étudient les deux langues renforcées à la fois.

Consigne :

1) Combien d'élèves étudient au moins une des deux langues renforcées ?

2) Le proviseur souhaite savoir combien d'élèves n'étudient aucune des deux langues renforcées, afin de leur proposer un club de soutien. Répondre à sa question.

1
$\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)=160+95-30=225$ élèves.
2
Sur les $250$ élèves du lycée, $225$ étudient au moins une des deux langues renforcées. Le nombre d'élèves n'en étudiant aucune est donc $250-225=25$ élèves : c'est ce groupe que le proviseur peut cibler pour le club de soutien.
3

Problème — Club scientifique, réunion et produit cartésien

Difficile Problème
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Un club scientifique de Ouagadougou compte $60$ lycéens. On note $A$ l'ensemble des membres aimant les mathématiques et $B$ l'ensemble des membres aimant la physique. On donne $\mathrm{Card}(A)=38$, $\mathrm{Card}(B)=29$ et $\mathrm{Card}(A\cup B)=52$.

Partie A. 1) Calculer $\mathrm{Card}(A\cap B)$. 2) En déduire le nombre de membres n'aimant ni l'une ni l'autre matière.

Partie B. Le bureau du club comprend deux postes indépendants : « responsable communication » et « responsable logistique ». Le règlement intérieur n'interdit pas qu'une même personne occupe les deux postes à la fois. 3) Combien de répartitions (responsable communication, responsable logistique) sont possibles parmi les $60$ membres ?

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A.1
$\mathrm{Card}(A\cap B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cup B)=38+29-52=15$.
A.2
Sur les $60$ membres, $52$ aiment au moins une des deux matières : $60-52=8$ membres n'aiment ni l'une ni l'autre.
B.3
Chaque poste est attribué indépendamment parmi les $60$ membres, avec possibilité de cumul : il s'agit d'un couple (2-uplet avec répétition), donc $60\times60=3\,600$ répartitions possibles.

Chapitre 2 — Arrangements, combinaisons & binôme

1

QCM — Arrangements, combinaisons, binôme

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un podium (1ʳᵉ, 2ᵉ, 3ᵉ place) doit être établi parmi 10 athlètes lors d'une course scolaire à Dédougou. Le nombre de podiums possibles est :
a) $720$   b) $1\,000$   c) $120$   d) $30$

2) Une délégation de 4 élèves (rôles interchangeables) doit être choisie parmi 12 candidats. Le nombre de délégations possibles est :
a) $495$   b) $11\,880$   c) $20\,736$   d) $66$

3) Dans le développement de $(x+y)^5$, le coefficient de $x^3y^2$ est :
a) $10$   b) $5$   c) $20$   d) $15$

4) Par convention, $0!$ est égal à :
a) $1$   b) $0$   c) indéfini   d) $-1$

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1
Réponse : a. Ordre important, sans répétition : $A_{10}^3=10\times9\times8=720$.
2
Réponse : a. Ordre indifférent : $C_{12}^4=\dfrac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=\dfrac{11\,880}{24}=495$.
3
Réponse : a. Ligne $n=5$ du triangle de Pascal : $1,5,10,10,5,1$. Le coefficient de $x^3y^2$ est $C_5^2=10$.
4
Réponse : a. $0!=1$ par convention.
2

Situation d'intégration — Tombola de fin d'année, lycée de Banfora

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Lors de la fête de fin d'année d'un lycée de Banfora, une tombola est organisée : $8$ lots différents doivent être distribués à $8$ élèves différents, tirés au sort parmi les $40$ élèves participants. Chaque élève tiré ne peut remporter qu'un seul lot, et l'ordre du tirage détermine quel lot chacun reçoit (le premier élève tiré reçoit le lot n°1, le deuxième le lot n°2, etc.).

Consigne :

1) S'agit-il d'un arrangement ou d'une combinaison ? Justifier.

2) Écrire, sans le calculer entièrement, le produit donnant le nombre de répartitions différentes des 8 lots.

3) Le comité change finalement d'avis : les 8 lots sont en réalité identiques (des bons d'achat de même valeur). Écrire, sans le calculer entièrement, le nombre de façons de choisir les 8 élèves gagnants parmi les 40, dans ce nouveau cas.

1
L'ordre compte (les lots sont différents et associés à un rang de tirage précis), et il n'y a pas de répétition (un élève ne peut gagner qu'une fois) : c'est un arrangement.
2
$A_{40}^8=40\times39\times38\times37\times36\times35\times34\times33$ (produit de 8 facteurs consécutifs décroissants à partir de 40).
3
Les lots étant désormais identiques, l'ordre du tirage n'a plus d'importance : il s'agit d'une combinaison, $C_{40}^8=\dfrac{A_{40}^8}{8!}$ — le même produit qu'en 2), divisé par $8!$ pour ne plus tenir compte de l'ordre.
3

Problème — Jury d'évaluation et développement du binôme

Difficile Problème
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Partie A. Un jury de 3 personnes (rôles interchangeables) doit être formé parmi 15 enseignants d'un lycée de Ouahigouya pour évaluer un concours de mathématiques. Parmi ces 15 enseignants, 6 enseignent les mathématiques.

1) Combien de jurys de 3 personnes peut-on former parmi les 15 enseignants ?

2) Combien de ces jurys ne comportent aucun professeur de mathématiques ?

3) En déduire le nombre de jurys comportant au moins un professeur de mathématiques.

Partie B. 4) Développer $(2x-3)^4$ à l'aide du triangle de Pascal.

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A.1
$C_{15}^3=\dfrac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=\dfrac{2\,730}{6}=455$ jurys possibles.
A.2
Aucun professeur de mathématiques : on choisit les 3 membres parmi les $15-6=9$ autres enseignants. $C_9^3=\dfrac{9\times8\times7}{6}=\dfrac{504}{6}=84$ jurys.
A.3
Au moins un professeur de mathématiques $=$ total $-$ aucun $=455-84=371$ jurys.
B.4
Ligne $n=4$ du triangle de Pascal : $1,4,6,4,1$. $$(2x-3)^4=(2x)^4+4(2x)^3(-3)+6(2x)^2(-3)^2+4(2x)(-3)^3+(-3)^4$$ $$=16x^4-96x^3+216x^2-216x+81.$$

Chapitre 3 — Statistiques à une variable

1

QCM — Étendue, variance, écart-type

Facile QCM
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Pour la série constante $4,4,4,4$, la variance vaut :
a) $0$   b) $4$   c) $16$   d) $1$

2) L'étendue d'une série statistique est définie par :
a) $x_{\max}-x_{\min}$   b) la moyenne des écarts à la moyenne   c) la somme des carrés des écarts   d) le carré de l'écart-type

3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$   b) $\dfrac1n\sum x_i^2+\bar x^2$   c) $\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)$   d) $\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i^2$

4) Pour la série $3,5,7,9,11$, la moyenne $\bar x$ vaut :
a) $7$   b) $5$   c) $6$   d) $8$

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1
Réponse : a. Toutes les valeurs sont égales à la moyenne : aucune dispersion, $V=0$.
2
Réponse : a. L'étendue est $x_{\max}-x_{\min}$.
3
Réponse : a. « Moyenne des carrés moins carré de la moyenne » : $V=\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$.
4
Réponse : a. $\bar x=\dfrac{3+5+7+9+11}{5}=\dfrac{35}{5}=7$.
2

Situation d'intégration — Comparaison de deux classes, lycée de Ziniaré

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux classes de Première C d'un même lycée de Ziniaré ont composé le même devoir de mathématiques. Notes de la classe A (sur 5 élèves) : $8,\ 10,\ 10,\ 12,\ 10$. Notes de la classe B (sur 5 élèves) : $4,\ 8,\ 10,\ 12,\ 16$.

Consigne :

1) Vérifier que les deux classes ont la même moyenne.

2) Calculer la variance de chaque classe à l'aide de la formule simplifiée.

3) Le proviseur veut savoir quelle classe est la plus homogène (la moins dispersée), pour décider laquelle nécessite un soutien ciblé. Répondre à sa question en justifiant.

1
Classe A : $\bar x_A=\dfrac{8+10+10+12+10}{5}=\dfrac{50}{5}=10$. Classe B : $\bar x_B=\dfrac{4+8+10+12+16}{5}=\dfrac{50}{5}=10$. Même moyenne : $10$.
2
Classe A : $\dfrac1n\sum x_i^2=\dfrac{64+100+100+144+100}{5}=\dfrac{508}{5}=101{,}6$, donc $V_A=101{,}6-100=1{,}6$. Classe B : $\dfrac1n\sum x_i^2=\dfrac{16+64+100+144+256}{5}=\dfrac{580}{5}=116$, donc $V_B=116-100=16$.
3
$V_A=1{,}6\ll V_B=16$ : la classe A est nettement plus homogène (moins dispersée) que la classe B, malgré une moyenne identique. C'est la classe B qui nécessiterait un soutien ciblé (ses résultats sont beaucoup plus étalés autour de la moyenne).
3

Problème — Comparaison de deux séries à moyenne identique

Difficile Problème
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Partie A. Une série statistique de 6 valeurs a pour moyenne $12$ et pour variance $9$.

1) Quel est l'écart-type de cette série ?

2) En utilisant la formule simplifiée de la variance, calculer $\sum x_i^2$ pour cette série.

Partie B. On considère une deuxième série de 6 notes : $6,\ 9,\ 12,\ 12,\ 15,\ 18$.

3) Calculer la moyenne et la variance de cette deuxième série à l'aide de la formule simplifiée.

4) Les deux séries ont-elles la même dispersion ? Laquelle est la plus dispersée ?

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A.1
$\sigma=\sqrt V=\sqrt9=3$.
A.2
De $V=\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$, on tire $\sum x_i^2=n(V+\bar x^2)=6\times(9+144)=6\times153=918$.
B.3
Moyenne : $\dfrac{6+9+12+12+15+18}{6}=\dfrac{72}{6}=12$. $\dfrac1n\sum x_i^2=\dfrac{36+81+144+144+225+324}{6}=\dfrac{954}{6}=159$, donc $V=159-144=15$.
B.4
Les deux séries ont la même moyenne ($12$) mais des variances différentes : $9$ pour la première, $15$ pour la deuxième. La deuxième série est donc plus dispersée que la première, bien qu'elles partagent la même moyenne.
Mode hors-ligne — données en cache