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Exercices — Première Série A — Fonctions numériques

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Exercices — Fonctions numériques

Comportement global & limites · Dérivation, tangente · Application de la dérivation

Première Série A · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème

0 exercices affichés

Chapitre VII — Comportement global et limites d'une fonction

1

QCM — Comportement global et limites

Facile QCM
▼
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$. En écrivant $f(x)=3+\dfrac{c}{x-2}$, la valeur de $c$ est :
a) 5   b) $-5$   c) 3   d) $-1$

2) La limite de $f$ en $+\infty$ (avec $f(x)=3+\dfrac5{x-2}$) est :
a) 3   b) 5   c) $+\infty$   d) 0

3) La courbe de $f$ admet pour asymptote verticale :
a) $y=3$   b) $x=2$   c) $x=3$   d) $y=2$

4) Soit $r(x)=-(x-3)^2+7$. La courbe de $r$ admet :
a) un maximum en $(3;7)$   b) un minimum en $(3;7)$   c) un maximum en $(-3;7)$   d) un minimum en $(-3;-7)$

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1
Réponse : a. $3x-1=3(x-2)+5$, donc $f(x)=3+\dfrac5{x-2}$ : $c=5$.
2
Réponse : a. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac5{x-2}\to0$, donc $f(x)\to3$.
3
Réponse : b. Le dénominateur $x-2$ s'annule en $x=2$ : asymptote verticale $x=2$.
4
Réponse : a. $r(x)=-(x-3)^2+7$ est de la forme $-(x-a)^2+k$ : maximum $r(3)=7$ en $x=3$.
2

Situation d’intégration — Séchage de mangues à Bobo-Dioulasso

Moyen Situation
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Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de mangues séchées de Bobo-Dioulasso envisage d'acheter une nouvelle machine de séchage. Le coût moyen de production, en FCFA par kilogramme, pour une production journalière de $x$ kg ($x>10$), est modélisé par $C(x)=\dfrac{500x-3\,000}{x-10}$.

Consigne : Écrire $C(x)$ sous la forme $500+\dfrac{c}{x-10}$, déterminer la limite de $C(x)$ quand $x\to+\infty$ et interpréter ce résultat, puis déterminer le comportement de $C(x)$ quand $x\to10^+$ et expliquer pourquoi la coopérative doit produire nettement plus de 10 kg par jour pour rester rentable.

1
Écriture sous forme utile. $500(x-10)=500x-5\,000$, donc $500x-3\,000=500(x-10)+2\,000$. On obtient $C(x)=500+\dfrac{2\,000}{x-10}$.
2
Limite en $+\infty$. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{2\,000}{x-10}\to0$, donc $C(x)\to500$ : la droite $y=500$ est asymptote horizontale — $500$ FCFA/kg est le coût plancher que la coopérative ne pourra jamais descendre en dessous, même en produisant énormément.
3
Comportement en $10^+$. Quand $x\to10^+$, $x-10\to0^+$, donc $\dfrac{2\,000}{x-10}\to+\infty$ et $C(x)\to+\infty$.
4
Interprétation. Si la production journalière s'approche de 10 kg, le coût moyen explose (les coûts fixes de la machine se répartissent sur trop peu de kilogrammes) : la coopérative doit produire nettement plus que 10 kg/jour pour que le coût moyen se rapproche du plancher de $500$ FCFA/kg et rester rentable.
3

Problème — Asymptotes et étude graphique

Difficile Problème
▼
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Problème.

Partie A. Soit $m(x)=\dfrac{4x-5}{x+1}$.
1) Écrire $m(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$.
2) Déterminer les limites de $m$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis en déduire une asymptote.
3) Déterminer les limites de $m$ en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$, puis en déduire une seconde asymptote.

Partie B. Soit $t(x)=-(x+3)^2+5$.
4) Donner le tableau de variations de $t$ et les coordonnées du sommet de sa courbe.
5) Résoudre l'équation $t(x)=0$.

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A.1
$4x-5=4(x+1)-9$, donc $m(x)=4-\dfrac9{x+1}$ : $a=4$, $b=-9$.
A.2
Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac9{x+1}\to0$, donc $m(x)\to4$ dans les deux cas : la droite $y=4$ est asymptote horizontale.
A.3
Quand $x\to(-1)^+$, $x+1\to0^+$ donc $-\dfrac9{x+1}\to-\infty$ : $m(x)\to-\infty$. Quand $x\to(-1)^-$, $x+1\to0^-$ donc $-\dfrac9{x+1}\to+\infty$ : $m(x)\to+\infty$. La droite $x=-1$ est asymptote verticale.
B.4
$t(x)=-(x+3)^2+5$ est de la forme $-(x-a)^2+k$ avec $a=-3$, $k=5$ : maximum $t(-3)=5$. $t$ est croissante sur $]-\infty;-3]$, décroissante sur $[-3;+\infty[$.
B.5
$-(x+3)^2+5=0\iff(x+3)^2=5\iff x+3=\pm\sqrt5\iff x=-3\pm\sqrt5$.

Chapitre VIII — Dérivation : nombre dérivé et tangente

1

QCM — Nombre dérivé et tangente

Facile QCM
▼
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La dérivée de $f(x)=x^4$ est :
a) $4x^3$   b) $x^3$   c) $4x^4$   d) $3x^3$

2) Soit $g(x)=\dfrac1x$. $g'(2)$ vaut :
a) $-\dfrac14$   b) $\dfrac14$   c) $-2$   d) $2$

3) Soit $h(x)=\sqrt x$. $h'(9)$ vaut :
a) $\dfrac16$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $\dfrac1{18}$

4) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2 est :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x+5$   d) $y=2x-3$

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1
Réponse : a. $(x^n)'=nx^{n-1}$ donne $(x^4)'=4x^3$.
2
Réponse : a. $g'(x)=-\dfrac1{x^2}$, donc $g'(2)=-\dfrac14$.
3
Réponse : a. $h'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, donc $h'(9)=\dfrac1{2\times3}=\dfrac16$.
4
Réponse : a. $y=f(2)+f'(2)(x-2)=5-3(x-2)=5-3x+6=-3x+11$.
2

Situation d’intégration — Fabrique de vélos de Ouagadougou

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une petite entreprise de Ouagadougou fabrique des vélos. Son bénéfice journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ vélos produits ($x\in[0;12]$), est modélisé par $B(x)=-\dfrac12x^2+6x-10$. Le directeur veut savoir, pour une production actuelle de $x=4$ vélos, si le bénéfice progresse encore ou commence déjà à ralentir, afin de décider s'il est pertinent d'augmenter légèrement la production.

Consigne : Calculer $B'(x)$, puis $B'(4)$, interpréter le signe du résultat pour conseiller le directeur, et donner l'équation de la tangente à la courbe de $B$ au point d'abscisse 4.

1
Dérivée. $B'(x)=-x+6$.
2
Valeur en $x=4$. $B'(4)=-4+6=2$.
3
Interprétation. $B'(4)=2>0$ : le bénéfice est encore croissant à $x=4$ vélos. Le directeur peut donc augmenter la production, au moins légèrement, sans risquer de faire baisser le bénéfice.
4
Tangente en $a=4$. $B(4)=-8+24-10=6$. Tangente : $y=B(4)+B'(4)(x-4)=6+2(x-4)=2x-2$.
3

Problème — Dérivation et règle du quotient

Difficile Problème
▼
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Problème.

Partie A. Soit $p(x)=x^3-3x$.
1) Calculer $p'(x)$.
2) Calculer $p'(0)$, $p'(1)$ et $p'(-1)$.
3) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse 0.

Partie B. Soit $q(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$, définie pour $x\neq3$.
4) Calculer $q'(x)$ à l'aide de la règle du quotient.
5) Calculer $q'(1)$ et en déduire le sens de variation de $q$ sur $]-\infty;3[$.

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A.1
$p'(x)=3x^2-3$.
A.2
$p'(0)=-3$, $p'(1)=3-3=0$, $p'(-1)=3-3=0$.
A.3
$p(0)=0$. Tangente : $y=p(0)+p'(0)(x-0)=0-3x=-3x$.
B.4
Avec $u(x)=x+1$, $u'(x)=1$, $v(x)=x-3$, $v'(x)=1$ : $q'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{(x-3)-(x+1)}{(x-3)^2}=\dfrac{-4}{(x-3)^2}$.
B.5
$q'(1)=\dfrac{-4}{(1-3)^2}=\dfrac{-4}4=-1<0$. Le dénominateur $(x-3)^2$ est toujours strictement positif et le numérateur $-4$ est toujours négatif : $q'(x)<0$ pour tout $x\neq3$. La fonction $q$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;3[$.

Chapitre IX — Application de la dérivation et fonctions associées

1

QCM — Application de la dérivation

Facile QCM
▼
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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'(x)=0$ pour tout $x$. On peut affirmer que $f$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut rien dire

2) Soit $g$ dérivable sur $I$ avec $g'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$. $g$ est alors :
a) constante sur $I$   b) croissante sur $I$   c) décroissante sur $I$   d) non dérivable

3) Soit $s(x)=x^2-6x+5$. La valeur de $x$ qui annule $s'(x)$ est :
a) 3   b) 5   c) 6   d) $-3$

4) Pour tracer la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$, là où $f(x)<0$, on :
a) supprime la portion de courbe   b) la laisse identique   c) la replie par symétrie par rapport à $(Ox)$   d) la translate vers le haut

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1
Réponse : c. Si $f'$ est nulle sur $\mathbb R$, alors $f$ est constante sur $\mathbb R$ (résultat admis).
2
Réponse : b. Si $g'$ est positive sur $I$, alors $g$ est croissante sur $I$ (résultat admis).
3
Réponse : a. $s'(x)=2x-6$, qui s'annule pour $x=3$.
4
Réponse : c. Là où $f(x)<0$, $|f(x)|=-f(x)$ : la courbe est repliée vers le haut, par symétrie par rapport à l'axe $(Ox)$.
2

Situation d’intégration — Production de jus de mangue à Banfora

Moyen Situation
▼

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une entreprise de Banfora produit du jus de mangue en bouteilles. Le coût total journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ centaines de bouteilles produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $K(x)=x^2-8x+20$. Le gérant souhaite déterminer la production qui minimise ce coût, afin de fixer un objectif journalier réaliste.

Consigne : Étudier le signe de $K'(x)$, dresser le sens de variation de $K$, puis en déduire la production optimale (en nombre de bouteilles) et le coût minimal correspondant.

1
Dérivée. $K'(x)=2x-8$, qui s'annule en $x=4$.
2
Signe et variations. $K'(x)<0$ pour $x<4$ (décroissante sur $[0;4]$) et $K'(x)>0$ pour $x>4$ (croissante sur $[4;10]$) : $K$ admet un minimum en $x=4$.
3
Coût minimal. $K(4)=16-32+20=4$.
4
Conclusion. $x=4$ centaines de bouteilles, soit une production optimale de $400$ bouteilles par jour, pour un coût minimal de $4$ milliers de FCFA, soit $4\,000$ FCFA.
3

Problème — Étude complète et fonctions associées

Difficile Problème
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Problème. Soit $f(x)=x^2-2x-3$.

Partie A.
1) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
3) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.

Partie B.
4) Décrire la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$ : sur quels intervalles coïncide-t-elle avec $f$, sur lequel est-elle repliée, et quelle est la valeur du maximum local obtenu par ce repli ?
5) On pose $g(x)=f(x+2)$. Donner l'expression développée de $g(x)$ et calculer $g(0)$.

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A.1
$f'(x)=2x-2$, qui s'annule en $x=1$, négative avant, positive après : $f$ est décroissante sur $]-\infty;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$, avec un minimum $f(1)=1-2-3=-4$.
A.2
$f(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ (racines évidentes : somme $2$, produit $-3$, donc $-1$ et $3$). $f(x)=0\iff x=-1$ ou $x=3$.
A.3
$f$ est négative entre ses racines (sur $]-1;3[$) et positive à l'extérieur (sur $]-\infty;-1[\,\cup\,]3;+\infty[$).
B.4
La courbe de $|f|$ coïncide avec celle de $f$ sur $]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[$ (où $f\geqslant0$), et est repliée par symétrie par rapport à $(Ox)$ sur $[-1;3]$ (où $f<0$). Le repli fait apparaître un maximum local en $x=1$, de valeur $|f(1)|=|-4|=4$.
B.5
$g(x)=f(x+2)=(x+2)^2-2(x+2)-3=x^2+4x+4-2x-4-3=x^2+2x-3$. $g(0)=-3$ (cohérent : $g(0)=f(2)=4-4-3=-3$).
Mode hors-ligne — données en cache