Exercices — Trigonométrie
Bases & angle de vecteurs · Formules d'addition & duplication · Équations & triangles
Première Série D · Format Bac : QCM · Situation d'intégration · Problème
Chapitre XVI — Bases orthonormées & angle de deux vecteurs
QCM — Bases orthonormées & angle de vecteurs
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Un couple $(\vec i,\vec j)$ est une base orthonormée directe si :
a) $\vec i$ et $\vec j$ sont unitaires seulement b) $\vec i$ et $\vec j$ sont orthogonaux seulement c) $\vec i,\vec j$ unitaires, orthogonaux, et $\vec j$ obtenu par rotation de $+90°$ de $\vec i$ d) $\vec i,\vec j$ unitaires et colinéaires
2) Dans une base orthonormée directe, on donne $\vec u(1;1)$ et $\vec v(-1;1)$. Le cosinus de $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$ vaut :
a) $0$ b) $1$ c) $\dfrac12$ d) $-1$
3) Si $\vec u\cdot\vec v=0$ et $\det(\vec u,\vec v)>0$, alors $(\vec u,\vec v)$ forme :
a) deux vecteurs colinéaires de même sens b) deux vecteurs colinéaires de sens contraire c) une base orthonormée directe (à un facteur près) d) une base orthonormée indirecte (à un facteur près)
4) Pour $\vec u(3;-4)$ (donc $\|\vec u\|=5$), le vecteur unitaire $\vec v$ tel que $(\vec u,\vec v)$ soit orthonormée directe est :
a) $\left(\dfrac45;\dfrac35\right)$ b) $\left(-\dfrac45;-\dfrac35\right)$ c) $\left(\dfrac35;\dfrac45\right)$ d) $\left(-\dfrac35;\dfrac45\right)$
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Situation d'intégration — Orientation d'un panneau solaire
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un technicien installe un panneau solaire sur le toit d'un centre de santé à Ouagadougou. Sur le support métallique, deux tiges de fixation définissent, dans un repère orthonormé direct lié au support (unité : décimètre), les vecteurs directeurs $\vec u(5;0)$ et $\vec v(3;4)$.
Le cahier des charges du fournisseur impose que l'angle $\theta$ entre les deux tiges soit strictement supérieur à $30°$, afin d'assurer un écoulement correct de l'eau de pluie en saison des pluies et d'éviter toute stagnation susceptible d'endommager le panneau.
Consigne : Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$, en déduire une valeur approchée de $\theta$ en degrés (arrondie à l'unité), puis dire si l'installation respecte la contrainte du cahier des charges.
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Problème — Triangle et base directe/indirecte
Difficile ProblèmeProblème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(1;2)$, $B(6;5)$, $C(-2;7)$.
Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.
Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.
Chapitre XVII — Formules d'addition, duplication & linéarisation
QCM — Addition, duplication, linéarisation
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) En écrivant $105°=45°+60°$, la valeur exacte de $\cos(105°)$ est :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ b) $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$ c) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ d) $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$
2) Sachant $\sin a=\dfrac45$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, la valeur de $\cos(2a)$ est :
a) $\dfrac{7}{25}$ b) $-\dfrac{7}{25}$ c) $\dfrac{9}{25}$ d) $-\dfrac{9}{25}$
3) La forme linéarisée de $\cos^2x$ est :
a) $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ b) $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ c) $1+\cos(2x)$ d) $\dfrac{\cos(2x)}{2}$
4) Pour écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$, la valeur de $R$ est :
a) $2$ b) $\sqrt3$ c) $4$ d) $1$
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Situation d'intégration — Tension d'une ligne SONABEL
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier de Bobo-Dioulasso. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.
Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.
Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.
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Problème — Étude et résolution d'une fonction trigonométrique
Difficile ProblèmeProblème — On pose $f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x$ pour $x\in\mathbb R$.
Partie A. 1) Montrer, à l'aide des formules de duplication, que $f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$. 2) Écrire $\cos(2x)+\sin(2x)$ sous la forme $R\cos(2x-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. 3) En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$ sur $\mathbb R$, ainsi qu'une valeur de $x$ pour laquelle le maximum est atteint.
Partie B. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $f(x)=1$.
Chapitre XVIII — Équations trigonométriques & résolution de triangles
QCM — Équations trigonométriques & triangles
Facile QCMExercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$ b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$ c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$ d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$
2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$ c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$ d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$
3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$ b) $14$ c) $2$ d) $100$
4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$ b) $12$ c) $24$ d) $3$
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Situation d'intégration — Bornage d'un terrain à Bobo-Dioulasso
Moyen SituationExercice 2 — Situation d'intégration
Un géomètre est chargé d'établir le titre foncier d'un terrain triangulaire $ABC$ à Bobo-Dioulasso. À l'aide d'un théodolite, il mesure deux côtés depuis le sommet $A$ : $AB=45$ m et $AC=60$ m, ainsi que l'angle $\widehat{BAC}=50°$ entre ces deux côtés. Le troisième côté $BC$ longe une parcelle voisine déjà bornée et n'est pas directement mesurable sur le terrain.
Consigne : Calculer la longueur $BC$ (arrondie au mètre) à l'aide de la loi des cosinus, puis calculer l'aire du terrain (arrondie au mètre carré), nécessaire à l'établissement du titre foncier.
On donne $\cos50°\approx0{,}643$ et $\sin50°\approx0{,}766$.
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Problème — Équation trigonométrique et résolution d'un triangle
Difficile ProblèmeProblème.
Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.
Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).